Soluciones en progresión geométrica

Después de un tiempo de descanso vuelven los problemas semanales a Gaussianos. El de esta semana es el siguiente:

Determina todos los valores reales del parámetro a para los cuales la ecuación

16x^4-ax^3+(2a+17)x^2-ax+16=0

tiene exactamente cuatro raíces reales distintas que forman una progresión geométrica y determina dichas raíces.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. Con n=1, a=39,5, que es el mínimo valor de a admisible.
    El último coeficiente era n^3t

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  2. Luis,

    Obitienes que tn = 4/tn^3, al igual que t = 4/tn^3. Por tanto, se trata de dos pares de raíces inversas una de la otra, cosa que por otra parte ya sabíamos, puesto que el polinomio es invariante bajo el cambio x –> 1/x’. con poco más se llega a la única solución a = 170 y raíces {1/8, 1/2, 2, 8}

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  3. Lo que propone Luis no sé si es correcto. No acabo de segirlo todo muy bien, pero aunque esté bien está el problema de resolver esas ecuaciones con los coeficientes. Yo no pongo nada de mi solución de momento para reventar el problema, pero como consejo recomiendo probar que un número es raíz si y sólo si su inverso también lo es (a partir de ahí con ese dato extra es mucho más sencillo).

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  4. La primera igualdad es tn = 4/(tn^2) evidentemente. Las soluciones serán entonces {1/d, 1/c, c, d}. A partir de aqui es muy fácil relacionar c con d, y por Cardano-Vieta calcular su valor.

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  5. Precisamente de las relaciones de Cardano se obtiene fácilmente que, como el producto de las raíces es igual a 16/16, x.x.r.x.r^2.x.r^3=1, o sea x^4.r^6=1 y x^2=1/r^3, siendo x la primera raíz y r la razón..

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  6. Haciendo unas cuantas modificaciones es lo mismo que decir:

      x^{4} - \cfrac{a}{16} x^{3} + \cfrac{2a+17}{16} x^{2} - \cfrac{a}{16} x + 1 = 0

    Y segun el enunciado (progresión geométrica)

      (x-x_{1})(x-r \cdot x_{1})(x-r^{2} \cdot x_{1})(x-r^{3} \cdot x_{1}) = 0

    Desarrollando

      x^{4} - (r^{3}+r^{2}+r+1) x_{1} \cdot x^{3} + (r^{5}+r^{4}+2r^{3}+r^{2}+r) x_{1}^{2} \cdot x^{2} - (r^{6}+r^{5}+r^{4}+r^{3}) x_{1}^{3} \cdot x + r^{6} \cdot x_{1}^{4} = 0

    Igualando coeficientes

      \begin{matrix}  (1) & \cfrac{a}{16}  & = & (r^{3}+r^{2}+r+1) x_{1} \\   & & & \\  (2) & \cfrac{2a+17}{16} & = & (r^{5}+r^{4}+2r^{3}+r^{2}+r) x_{1}^{2} \\   & & & \\  (3) & \cfrac{a}{16} & = & (r^{6}+r^{5}+r^{4}+r^{3}) x_{1}^{3} \\   & & & \\  (4) & 1  & = & r^{6} \cdot x_{1}^{4}  \end{matrix}

    de (2)

      a = \cfrac{16r^{4}+16r^{3}+15r^{2}+16r+16}{2r^{2}}

    de (4)

      x_{1} = \cfrac{1}{r^{3/2}}

    Dando valores a r

      \begin{matrix}  r=1 & a=\cfrac{79}{2} & \\  & & \\  r=2 & a=\cfrac{123}{2} & \\  & & \\  r=3 & a=\cfrac{1927}{18} & \\  & & \\  r=4 & a=170 & x_{1} = \cfrac{1}{8}  \end{matrix}

    Y hasta ahi llegue.

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  7. a = 170 es el único valor entero (creo), pero no el único valor real. a = 39,5 no era correcto, porque las cuatro soluciones son iguales. Para cualquier valor mayor de a se cumple lo solicitado.

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  8. 39,5 es el mínimo de la función que escribí en el primer comentario.

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  9. La única solución con las cuatro raíces distintas en progresión geométrica es a = 170. Del hecho de que el polinomio sea simétrico, deducimos que si c es una raíz, también lo es 1/c. Sean entonces las raíces {1/d, 1/c, c, d}, ordenadas de menor a mayor. Debe ser:

    c/(1/c) = d/c ===> d = c^3

    Las raíces son por tanto de la forma {1/c^3, 1/c, c, c^3}. Aplicando las relaciones de Cardano-Vieta obtenemos para el término de grado 4 (y de grado 2):

    (c^6 + c^4 + c^2 + 1)/c^3 = a/16 (1)

    y para el de grado 3,

    (c^8 + c^6 + 2c^4 + c^2 + 1)/c^4 = (2a + 17)/16 (2)

    Cualquiera de ellas, pero especialmente la (2), sugiere la solución c = 2, de la que se obtiene a = 170, y es inmediato ver que reune todos los requisitos. Queda por ver que es la única.

    Eliminemos la a entre ambas ecuaciones,

    (16c^8 + 16c^6 + 15c^4 + 16c^2 + 16)/(2c^4) = 16(c^6 + c^4 + c^2 + 1)/c^3

    que simplificanda conduce a la ecuación polinómica de octavo grado:

    16c^8 – 32c^7 + 16c^6 – 32c^5 + 15c^4 – 32c^3 + 16c^2 – 32c + 16 = 0 (3)

    Esta ecuación, como era de esperar, vuelve a ser simétrica y sabemos que c = 2 es una solución, por lo que c = 1/2 es otra. Dividiendo por (c-2)(2c – 1), nos queda:

    8c^6 + 4c^5 + 10c^4 + 5c^3 + 10c^2 + 4c + 8 = 0

    Dividiendo por c^3

    8c^3 + 4c^2 + 10c + 5 + 10/c + 4/c^2 + 8/c^3 = 0

    Hagamos el cambio de variable q = c + 1/c

    q^2 – 2 = c^2 + 1/c^2

    q^3 = (c^3 + 1/c^3) + 3(c + 1/c)

    8(q^3 – 3q) + 4(q^2 – 2) + 10q + 5 = 0

    8q^3 + 4q^2 – 14q – 3 = 0

    Por Ruffini, obtenermos la raíz racional q = -3/2, y resolviendo la ecuación de 2º grado resultante, las irracionales (1 +/- rq(2))/2 (utilizo rq para indicar la raíz cuadrada).

    Las tres están comprendidas en el intervalo (-2, 2), en el que la función f(c) = c + 1/c no toma valores como es bien sabido: 2 <= |c + 1/c| , con la igualdad solo para c = +/-1

    Por tanto, no hay otras soluciones reales de (3) que c = 2 y c = 1/2, que conducen ambas al valor a = 170 y las raíces {1/8, 1/2, 2, 4}.

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