Soluciones enteras

Segundo problema de la semana. Vamos con él:

Encontrar todas las soluciones enteras de la ecuación:

p \; (x+y)=x \; y

siendo p un número primo.

Suerte.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. ¿Se puede hacer por fuerza bruta con un programa de ordenador?

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  2. Despejando se tiene que:

    x = p\;(x+y)\;/\;y

    Y que

    y = p\;(x+y)\;/\;x

    Dado que p es primo, y que tanto x como y deben ser enteros, se tiene que x tiene que ser múltiplo de y, y que y tiene que ser múltiplo de x.

    Es decir, que x=y

    El problema se puede reescribir ahora así:

    2 \; p \; x = x ^2

    Despejando se tiene que

    x = y = 0

    o

    x = y = 2 \; p

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  3. También tenemos las de la forma:

    x=(1+p)p
    y=1+p

    y las de la forma:

    x=(1-p)p
    y=p-1

    con p primo cualquiera

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  4. despejo x, queda: x=py/(y-p)

    lo podemos hacer porque si y=p,
    px+pp=px -> pp=0 -> p=0 no nos vale

    Seguimos, para que eso sea entero, tiene que ocurrir una de 3:
    a) que y-p=1, ya tenemos una solución, y=p+1 x=p(p+1)
    b) que y-p “cancele” la p de arriba, es decir que y-p sea multiplo de p (porque p es primo). Entonces
    y-p = rp -> y = p(r+1) = ps
    x=pps/(ps-p) = ps/(s-1) y aquí tenemos 2 opciones
    i) s=2 -> x=y=2p otra solución
    ii) s=p+1 -> y=p(p+1) x=p+1 solución simétrica a la primera
    c) que (y-p) sea algún divisor de y, pero…
    Si y=ab con (y-p)=a, ab-p=a luego p=0(mod a) luego a=1 ó a=p
    si a=1 estamos en el 1er caso
    si a=p en el segundo…

    Nos quedan tres soluciones, dos de ellas equivalentes
    x=2p, y=2p
    x=p+1, y=p(p+1)
    x=p(p+1), y=p+1

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  5. cierto, me falta que y-p=-1, de donde sale
    y=p-1
    x=p(1-p)

    gracias mandanga!!

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  6. Las 4 soluciones de Sive y de Mandanga son correctas. Aunque el razonamiento de Sive no es fetén y por eso no le salen todas las soluciones. No es indispensable que x e y sean iguales, y Pérez muestra las otras posibilidades.

    El desarrollo de Pérez prueba que estas 4 soluciones son las únicas posibles. Falta añadir el caso trivial x=y=0, y las soluciones negativas a su desarrollo, pero a parte de eso, caso cerrado.

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  7. Bueno, aunque tengamos caso cerrado añado mi solución.

    “p(x+y)” obviamente es múltiplo de p, por lo que “xy” también debe serlo. Para ello “x” y/ó “y” deben ser múltiplos de “p”.

    Tomando “x=np” siendo “n” un número entero:
    p(np+y)=npy
    [y ahora con “n” distinto de 1]
    y=pn/(n-1)

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  8. Procedimiento… asi lo creo yo.

    p(x+y)=xy

    px+py=xy

    py=xy-px

    x=py/y-p

    y por otro lado…

    y=px/x-p

    que por ende x y p, y, p e y, no pueden ser de igual valor absoluto.(magnitud, mismo numero).

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  9. A ver una de las soluciones que hemos encontrado ha sido:

    p=2
    x=3
    y=6

    Y creo que no hay más.

    Un Abrazo! 🙂

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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