Soluciones enteras

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Segundo problema de la semana. Vamos con él:

Encontrar todas las soluciones enteras de la ecuación:

$p \; (x+y)=x \; y$

siendo $p$ un número primo.

Suerte.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 23 de December de 2008
Categorías: Juegos | Imprime este post

Sin comentarios

juantxorena | 23 de December de 2008 | 09:26

¿Se puede hacer por fuerza bruta con un programa de ordenador?
Trackback | 23 Dec, 2008

Bitacoras.com
Sive | 23 de December de 2008 | 11:14

Despejando se tiene que:

$x = p\;(x+y)\;/\;y$

Y que

$y = p\;(x+y)\;/\;x$

Dado que $p$ es primo, y que tanto $x$ como $y$ deben ser enteros, se tiene que $x$ tiene que ser múltiplo de $y$ , y que $y$ tiene que ser múltiplo de $x$ .

Es decir, que $x=y$

El problema se puede reescribir ahora así:

$2 \; p \; x = x ^2$

Despejando se tiene que

$x = y = 0$

o

$x = y = 2 \; p$
mandanga | 23 de December de 2008 | 11:30

También tenemos las de la forma:

x=(1+p)p
y=1+p

y las de la forma:

x=(1-p)p
y=p-1

con p primo cualquiera
Pérez | 23 de December de 2008 | 11:34

despejo x, queda: x=py/(y-p)

lo podemos hacer porque si y=p,
px+pp=px -> pp=0 -> p=0 no nos vale

Seguimos, para que eso sea entero, tiene que ocurrir una de 3:
a) que y-p=1, ya tenemos una solución, y=p+1 x=p(p+1)
b) que y-p “cancele” la p de arriba, es decir que y-p sea multiplo de p (porque p es primo). Entonces
y-p = rp -> y = p(r+1) = ps
x=pps/(ps-p) = ps/(s-1) y aquí tenemos 2 opciones
i) s=2 -> x=y=2p otra solución
ii) s=p+1 -> y=p(p+1) x=p+1 solución simétrica a la primera
c) que (y-p) sea algún divisor de y, pero…
Si y=ab con (y-p)=a, ab-p=a luego p=0(mod a) luego a=1 ó a=p
si a=1 estamos en el 1er caso
si a=p en el segundo…

Nos quedan tres soluciones, dos de ellas equivalentes
x=2p, y=2p
x=p+1, y=p(p+1)
x=p(p+1), y=p+1
Pérez | 23 de December de 2008 | 11:37

cierto, me falta que y-p=-1, de donde sale
y=p-1
x=p(1-p)

gracias mandanga!!
Gulliver | 23 de December de 2008 | 11:52

Las 4 soluciones de Sive y de Mandanga son correctas. Aunque el razonamiento de Sive no es fetén y por eso no le salen todas las soluciones. No es indispensable que x e y sean iguales, y Pérez muestra las otras posibilidades.

El desarrollo de Pérez prueba que estas 4 soluciones son las únicas posibles. Falta añadir el caso trivial x=y=0, y las soluciones negativas a su desarrollo, pero a parte de eso, caso cerrado.
Shavart | 24 de December de 2008 | 22:52

Bueno, aunque tengamos caso cerrado añado mi solución.

“p(x+y)” obviamente es múltiplo de p, por lo que “xy” también debe serlo. Para ello “x” y/ó “y” deben ser múltiplos de “p”.

Tomando “x=np” siendo “n” un número entero:
p(np+y)=npy
[y ahora con "n" distinto de 1]
y=pn/(n-1)
Tobar | 26 de December de 2008 | 22:14

Procedimiento… asi lo creo yo.

$p(x+y)=xy$

$px+py=xy$

$py=xy-px$

$x=py/y-p$

y por otro lado…

$y=px/x-p$

que por ende x y p, y, p e y, no pueden ser de igual valor absoluto.(magnitud, mismo numero).
Moein Akbarof | 14 de January de 2009 | 15:18

A ver una de las soluciones que hemos encontrado ha sido:

p=2
x=3
y=6

Y creo que no hay más.

Un Abrazo!
^DiAmOnD^ | 14 de January de 2009 | 16:02

Moein, sí, hay más. Echa un ojo a los comentarios.