Srinivasa Ramanujan, el enigmático genio matemático indio

Que Godfrey Harold Hardy, uno de los matemáticos más importantes de su época (primera mitad del siglo XX), le haga caso a una de tus cartas es para estar contento. Pero si además te acoge en su “seno matemático”, tomando en consideración tus resultados y trabajando contigo, y te considera un 100 es su escala matemática del 1 al 100 (Hardy se daba a él mismo un 25, a su compañero Littlewood un 30 y a David Hilbert un 80) es que eres bueno, realmente bueno. Y así era en el caso de nuestro protagonista, Srinivasa Ramanujan, que nacido un día como hoy, 22 de diciembre, hace 125 años.

Srinivasa RamanujanPoco hay que añadir a la información sobre Srinivasa Aiyangar Ramanujan que puede encontrarse a través de internet. Ramanujan nació en la India el 22 de diciembre de 1887 y, aun habiendo recibido educación a nivel escolar, podemos decir que fue un matemático autodidacta. Según lo que se cuenta, fue un prodigio matemático desde pequeño, pero no siguió la línea que se suele asociar a un matemático profesional. Él escribía sus resultados en su cuaderno, con una notación propia y sin demostraciones.

Con esto no sería muy extraño que cualquier matemático profesional pasara un poco de lo que Ramanujan pudiera decir. Alrededor de 1912 Srinivasa envió cartas a varios matemáticos importantes del Reino Unido y casi nadie le dio importancia…excepto Hardy (que, por cierto, estuvo a punto de tirarla). El bueno de G. H. Hardy se sentó con su compañero Littlewood a intentar demostrar todos los teoremas que este enigmático personaje les había enviado…

…y lo consiguieron con muchos, pero no con todos, aunque en palabras del propio Hardy

…forzoso es que fueran verdaderas, porque de no serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria para inventarlas.

Godfrey Harold HardyLas fórmulas y teoremas que contenía el texto enviado por Ramanujan eran enrevesados, complejos, sin demasiada información sobre el “lugar de las matemáticas” de donde podían haber salido…pero parecían ser ciertos. Esto cautivó de tal manera a Hardy que invitó a Ramanujan a Inglaterra para trabajar con él. En 1914 nuestro protagonista llegaba al país anglosajón, y tan buena fue la colaboración que en tres años Ramanujan ya era miembro de la Royal Society de Londres.

Srinivasa Ramanujan trabajó principalmente en teoría de números, encontrando identidades relacionadas con el número pi y el número e o los números primos. Como decimos, en general sus fórmulas son muy enrevesadas, pero en su mayoría verdaderas (a posteriori se ha descubierto que algunos de sus resultados era incorrectos), y algunas de ellas se han convertido en potentes herramientas para calcular grandes cantidades de decimales de, principalmente, el número pi. Quizás la más conocida sea ésta:

\displaystyle{\cfrac{1}{\pi} = \cfrac{2 \sqrt{2}}{9801} \sum^{\infty}_{k=0} \cfrac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}}

que nos da 8 decimales exactos de pi en cada iteración. Tremendo, ¿verdad?

Pero quizás la anécdota más conocida asociada a Ramanujan es la del taxi. La salud de Ramanujan no era demasiado buena, y empeoró después de enfermar de tuberculosis. Por ello volvió a India, donde no llegó a recuperarse y falleció en 1920. El caso es que antes de todo esto Ramanujan realizaba visitas forzosas al hospital con relativa frecuencia. En una de ellas recibió la visita de Hardy, y cuenta la leyenda que este le dijo algo así como:

He venido en un taxi con el número 1729, un número nada interesante.

A lo que Ramanujan contesto:

¡No! ¡Es un número muy interesante! Es el número entero positivo más pequeño que puede expresarse como la suma de dos cubos de dos formas distintas.

Y era cierto. El número 1729, conocido como el número de Hardy-Ramanujan, cumple la propiedad comentada por Ramanujan, ya que:

1729=1^3+12^3=9^3+10^3

No quiero ni imaginar la cara que debió poner Hardy en ese momento…

Esta propiedad inspiró la definición de los números Taxicab, Ta(n) (A011541 en la OEIS), que para todo n número entero positivo simbolizan el menor número entero positivo que se puede escribir como suma de dos cubos de n formas distintas. Así:

\begin{matrix} Ta(1)=2=1^3+1^3 \\ Ta(2)=1729=1^3+12^3=9^3+10^3 \\ Ta(3)=87539319=167^3+436^3=228^3+423^3=255^3+414^3 \\ \dots \end{matrix}

Hay otras muchas fórmulas, identidades, funciones, constantes y conjeturas relacionadas con Ramanujan. Os invito a que exploréis los enlaces del final del artículo para descubrirlas.

Y para finalizar un par de cosas. Hay dos premios importantes en matemáticas a nivel internacional en honor a Ramanujan:

  • El Premio Ramanujan, entregado por el International Centre for Theoretical Physics (ICTP) y la International Mathematical Union (IMU) que se concede anualmente desde 2005 a matemáticos de países en desarrollo que hayan destacado en sus investigaciones y que tengan como mucho 45 años el 31 de diciembre del año en cuestión.
  • El Premio SASTRA Ramanujan, que entrega la Shanmugha Arts, Science, Technology & Research Academy (SASTRA), también desde 2005, a matemáticos de como mucho 32 años que hayan realizado aportaciones importantes y novedosas a algún campo relacionado con los estudios que realizó el propio Ramanujan.

Y hubo (parece que paró hace un tiempo) una revista de matemáticas dedicada a las áreas de influencia del trabajo de Ramanujan, llamada The Ramanujan Journal, a cuyos números puedes accederse haciendo click en este enlace.


Fuentes y enlaces relacionados:


Esta entrada participa en la Edición 3,141592653 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Elisa desde Que no te aburran las M@tes.

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

19 Comentarios

  1. La editorial Anagrama tiene publicada una versión novelada de la relación matemática entre Hardy y Ramanujan : “El contable hindú”, de David Leavitt. ( “The indian clerk”, en la versión oríginal).

    Saludos.

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  2. Muy Bueno el Post!, estoy leyendo la novela que comenta Juajo VLM, realmente interesante.
    Saludos desde la Patagonia

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  3. Hola

    Hay un error en el enlace a los números de The Ramanujan Journal que está al final del texto.

    Saludos,
    maykel

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  4. Qué bien escribes, joer. A ver si un día de estos te animas y publicas algo en papel/ebook, seguro que te quedaría de lujo.

    Me voy a pillar The Indian clerk para los reyes 🙂

    Gracias!

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  5. Muchas gracias Jose. La verdad es que eso de publicar algo en papel/ebook es una idea que me ronda la cabeza desde hace un tiempo. A ver si encuentro el momento y me pongo a ello 🙂

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  6. Busco poder demostrar que no hay solución en enteros positivos para la ecuación
    a^3+1 = b^3+b^3
    Lo mismo para
    a^3 -1 = b^3+b^3

    Alguien tiene alguna idea de cómo enfocarlo y demostrarlo ?

    Y lo mismo para
    a^4+1 = b^4+b^4

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  7. Gracias Fede.

    Esto era lo que estaba buscando y demuestra que no puede haber coeficientes binomiales que sean cubos porque para que C(a^3,2) = a^3(a^3-1)/2 sea un cubo a^3-1 = 2b^3 debe de tener una solución en enteros. Y para el caso C(a^3+1,2)= (a^3+1)a^3/2 debe de haber soluciones enteras para a^3+1 = 2b^3. No las hay en ambos casos, demostrado por Euler. Además C(m,n+1) = C(m,n)*(m-n)/(n+1) por lo que no puede haber C(a^3,n) n>2 ni C(a^3+1,n) n>2 que sean cubos, por lo que no hay ningún coeficiente binomial que pueda ser cubo.
    Par demostrar el caso de los cuadrados y que C(50,3) es el único binomial C(m,n) con n>2 que es cuadrado, basta con resolver en un proceso algorítmico sencillo y elemental el sistema doble de ecuaciones de Pell (o asimiladas a Pell) a^2 – 3k^2 = 1 y a^2 – 2b^2 = -1 que nos da como única solución a = 7, k=4, b=5 y que C(a^2+1,3) tiene la única solución a=7; mientras se demuestra fácilmente que C(a^2,3) no puede nunca ser un cuadrado porque (m-n)/(n+1) debe de ser cuadrado con m=a^2 y n=2 –> (a^2-2)/3 = k^2 –> a^2 = 3k^2 + 2 , pero todos los cuadrados son 0, 1 o 4 módulo 8 y por tanto 3*k^2 + 2 es respectivamente 2, 5 o 6 módulo 8 y no puede ser un cuadrado.
    Por otra parte C(50,4) = C(50,3)*(50-3)/4 no es un cuadrado puesto que 47/4 no es un cuadrado. Todo queda demostrado de manera sencilla y elemental sin apelar a grandes y difíciles teoremas de la teoría de los números.
    Claro está que la cosa se puede complicar mucho par potencias superiores a 3.
    Paul Erdös consiguió demostrar que la única potencia a^l, para todo l, posible para los binomiales, era C(50,3). Encontré su demostración que aún no he leído ni entendido bien con Google:

    http://www.renyi.hu/~p_erdos/1951-05.pdf en que demuestra que C(n,k) x^l para k>3. Quedan los casos k=2 y k=3 que no sé si él mismo los demostró en otro lugar o alguien más lo demostró posteriormente.

    Y en tal caso se hubiera demostrado que 2b^n -a^n = +/- 1 no tiene nunca solución para todo n.

    PS: Revisen por favor esta demostración pues soy a la vez amateur y bastante despistado, pudiera contener errores en plural.

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  8. Acabo de leer el PDF de la supuesta demostración de Paul Erdös de que no existen binomiales C(n,k)= x^l si k>3 y no hay manera de entenderlo. Creo que alguien ha manipulado el documente y amputado trozos enteros de él o incluso añadido cosas falsas. Hay varios estamentos que son incomprehensibles e incluso contradictorios y no se entiende para nada la demostración. Si alguien la entiende, que sea majo/maja y la explique aquí. Repito que creo que han manipulado ese texto demostrativo de Paul Erdös.

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  9. Ya había leído y visto en documentales algo de la vida de este genio hindú.
    Pero lo nuevo para mí aquí fue lo de los números Taxiscab. Que se hacen con potencias de 3.

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  10. mi novio martin esteban weber es un genio y x eso se quedó pelado y ojeroso.el está doctorado en la escuela lamada vicor angel perez

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  11. por internet estan para bajar todos sus ‘NOTEBOOKS’ gratis 🙂 es bastante recomendable leerlos , aunque son sorprendentes y no parecen debidos (los resultados) al trabajo duro sino a una especie de mentalidad subconsciente que escupia las ideas.

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  12. Cáncer y Bolsa: de Fractales a Atractores:
    Por Carlos Torres Miranda

    NOTAS:

    a) FRACTALES: se basan en ecuaciónes matemáticas complejas (imaginarias o
    analíticas).
    Se representan ecuaciones con números complejos.
    Ejemplo: el fractal de Mandelbrut (en la naturaleza).
    b) ATRACTORES: se basan en patrones que se generan al repetir un mismo
    experimento matemático o físico-químico infinitas veces,
    Se representan sistemas de ecuaciones diferenciales.
    Ejemplo: el atractor de Lorenz (usado para controlar
    fenómenos atmosféricos).
    c) CONSTANTES: son claves para la concatenación de a) y b), igualándolas.
    d) TRADING FINANCIERO: Hay dos claros atractores: el de los beneficios y
    el de las pérdidas

    PROCESOS:

    1.- CÁNCER:

    Creo firmemente que para los Cánceres, en los Fractales y los Atractores (comocontraesencia a los Fractales), se encuentra la llave de un método para la sanación, por métodos puramente MATEMÁTICOS, y no bioquímicos, del Cáncer, con la inestimable ayuda subordinada de otras disciplinas.
    El Cáncer como proceso caótico desarrollado como un fractal se ordenaría y confinaría en su/s Atractor/es Asociado/s correspondiente/s.
    Es decir, analizando el Fractal, se hallaría su Atractor Asociado (ó recíprocamente), se confinaría el Cáncer en él, y sería lo que se examinara exhaustivamente para curar los Cánceres, así como otras enfermedades. Esto convertiría el Cáncer en una entelequia (o recuerdo).

    2. BOLSA:
    Intercambiando “CÁNCER” por “BOLSA”, tal vez se podría controlar asimismo el
    Mercado, es decir, las Cotizaciones de los Valores de los Mercados Bursátiles de la
    Bolsa.
    Como volvemos a tratar con teorías como las del Orden y el Caos,
    en Ambientes de Incertidumbre ó de Certidumbre con Riesgo Fijado en el caso del
    Mercado, se haría nuevamente considerando éste como un Fractal que generaría
    Resultados económicos (Beneficios ó Pérdidas).
    La Economía mundial podría ir mejor con éstos patrones: Fractales que se
    mejorarían posteriormente con Atractores, maximizando ó minimizando a
    conveniencia los Resultados, económicos ú otros, en aras ó con la Utilidad, de
    funcionar mejor todo.

    ANEXO

    Ya se habla de que las tres teorías más punteras de la física actualmente pueden ser:
    Relativista o de lo grande (Lorentz, Einstein …)
    Cuántica o de lo pequeño (Heisenberg, Bohr…)
    Orden y Caos o de lo caótico (fractal de Mandelbrut, atractor de Lorenz …)

    CARLOS TORRES MIRANDA
    LICENCIADO EN MATEMÁTICAS

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