[...] El algoritmo de Chudnovsky es un algoritmo creado por David Volfovich Chudnovsky y Gregory Volfovich Chudnovsky, hermanos y matemáticos ucranianos nacionalizados estadounidenses, mediante el cual podemos obtener muy buenas aproximaciones del número Pi. Se basa en la siguiente expresión relacionada con el número Pi que encontró Ramanujan: [...]

Ya había leído y visto en documentales algo de la vida de este genio hindú.
Pero lo nuevo para mí aquí fue lo de los números Taxiscab. Que se hacen con potencias de 3.

Este es el texto que encontré Googleando por Internet:

http://www.renyi.hu/~p_erdos/1951-05.pdf

Acabo de leer el PDF de la supuesta demostración de Paul Erdös de que no existen binomiales C(n,k)= x^l si k>3 y no hay manera de entenderlo. Creo que alguien ha manipulado el documente y amputado trozos enteros de él o incluso añadido cosas falsas. Hay varios estamentos que son incomprehensibles e incluso contradictorios y no se entiende para nada la demostración. Si alguien la entiende, que sea majo/maja y la explique aquí. Repito que creo que han manipulado ese texto demostrativo de Paul Erdös.

Gracias Fede.

Esto era lo que estaba buscando y demuestra que no puede haber coeficientes binomiales que sean cubos porque para que C(a^3,2) = a^3(a^3-1)/2 sea un cubo a^3-1 = 2b^3 debe de tener una solución en enteros. Y para el caso C(a^3+1,2)= (a^3+1)a^3/2 debe de haber soluciones enteras para a^3+1 = 2b^3. No las hay en ambos casos, demostrado por Euler. Además C(m,n+1) = C(m,n)*(m-n)/(n+1) por lo que no puede haber C(a^3,n) n>2 ni C(a^3+1,n) n>2 que sean cubos, por lo que no hay ningún coeficiente binomial que pueda ser cubo.
Par demostrar el caso de los cuadrados y que C(50,3) es el único binomial C(m,n) con n>2 que es cuadrado, basta con resolver en un proceso algorítmico sencillo y elemental el sistema doble de ecuaciones de Pell (o asimiladas a Pell) a^2 – 3k^2 = 1 y a^2 – 2b^2 = -1 que nos da como única solución a = 7, k=4, b=5 y que C(a^2+1,3) tiene la única solución a=7; mientras se demuestra fácilmente que C(a^2,3) no puede nunca ser un cuadrado porque (m-n)/(n+1) debe de ser cuadrado con m=a^2 y n=2 –> (a^2-2)/3 = k^2 –> a^2 = 3k^2 + 2 , pero todos los cuadrados son 0, 1 o 4 módulo 8 y por tanto 3*k^2 + 2 es respectivamente 2, 5 o 6 módulo 8 y no puede ser un cuadrado.
Por otra parte C(50,4) = C(50,3)*(50-3)/4 no es un cuadrado puesto que 47/4 no es un cuadrado. Todo queda demostrado de manera sencilla y elemental sin apelar a grandes y difíciles teoremas de la teoría de los números.
Claro está que la cosa se puede complicar mucho par potencias superiores a 3.
Paul Erdös consiguió demostrar que la única potencia a^l, para todo l, posible para los binomiales, era C(50,3). Encontré su demostración que aún no he leído ni entendido bien con Google:

http://www.renyi.hu/~p_erdos/1951-05.pdf en que demuestra que C(n,k) x^l para k>3. Quedan los casos k=2 y k=3 que no sé si él mismo los demostró en otro lugar o alguien más lo demostró posteriormente.

Y en tal caso se hubiera demostrado que 2b^n -a^n = +/- 1 no tiene nunca solución para todo n.

PS: Revisen por favor esta demostración pues soy a la vez amateur y bastante despistado, pudiera contener errores en plural.

Robín,
para los cubos se demuestra en Euler, Elementos de Algebra, vol II, artículo 247:
http://books.google.es/books?id=mqI-AAAAYAAJ&hl=es&pg=PA234#v=onepage&q&f=false

Busco poder demostrar que no hay solución en enteros positivos para la ecuación
a^3+1 = b^3+b^3
Lo mismo para
a^3 -1 = b^3+b^3

Alguien tiene alguna idea de cómo enfocarlo y demostrarlo ?

Y lo mismo para
a^4+1 = b^4+b^4

[...] Srinivasa Ramanujan, el enigmático genio matemático indio: http://gaussianos.com/srinivasa-ramanujan-el-enigmatico-genio-matematico-indio/, tercera [...]

Muchas gracias Jose. La verdad es que eso de publicar algo en papel/ebook es una idea que me ronda la cabeza desde hace un tiempo. A ver si encuentro el momento y me pongo a ello

Qué bien escribes, joer. A ver si un día de estos te animas y publicas algo en papel/ebook, seguro que te quedaría de lujo.

Me voy a pillar The Indian clerk para los reyes

Gracias!