Subtangentes y subnormales de la parábola en la antigüedad

Apolonio de Perga (siglo III a.C.), en la carta de introducción al libro V de las Cónicas, escribe:

“Apolonio a Átalo, Salud. Te envío el quinto libro de las Cónicas, con esta carta:

En este libro se encuentran proposiciones sobre las líneas máximas y mínimas.

Has de saber que nuestros predecesores y contemporáneos sólo han investigado un poco las mínimas, y han mostrado, gracias a ello, cuáles son las rectas que tocan (tangentes) a las secciones y también la recíproca, es decir, lo que sucede a las rectas que tocan a las secciones de forma que si eso sucede, las rectas son tangentes.

Por nuestra parte, hemos mostrado estas cosas en el primer libro, sin utilizar las líneas mínimas para demostrarlas……”

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.


La propiedad mencionada, directa y recíproca, que cumplen las tangentes y demostrada en el libro I, en el caso particular de la parábola es:
Una recta (verde) que pasa por un punto de la prolongación de un diámetro de la parábola y por un punto de la parábola es tangente a la parábola en ese punto si y solo si el extremo del diámetro es el punto medio del segmento (marrón) entre:
  • la intersección de la recta con el diámetro y
  • la intersección del diámetro con la linea (naranja) trazada desde el punto de la parábola en la dirección de las ordenadas correspondiente al diámetro.

El applet GeoGebra de la derecha ilustra el enunciado anterior. Si el diámetro es el eje de la parábola, el segmento marrón es el segmento subtangente, en terminología moderna.

Apolonio demuestra esto en I.33 y I.35 como dice, sin usar "líneas mínimas", para cualquier diámetro de la parábola. Suponemos que los geómetras anteriores solo habían considerado el eje, es decir, el diámetro perpendicular a su correspondiente dirección de ordenadas, según la definición de Apolonio.
A continuación expongo una demostración de la propiedad anterior, para el caso del eje, usando las "líneas mínimas".

Desde el siglo IV a.C. se sabía que en una parábola (hasta Apolonio llamada "sección del cono rectángulo") el cuadrado de la ordenada es igual a un rectángulo cuya base es el segmento del eje entre el vértice y la ordenada y cuya altura es un segmento constante que Apolonio llamó lado recto. Si $latex 2p$ es la longitud del lado recto, en nuestra notación $latex y^2 = 2px$.

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.


Por lo que cuenta Apolonio en la carta prólogo del libro V, sus predecesores debieron conocer la proposición 8 de ese libro, que demuestra:

Sea P un punto situado en el eje de una parábola 2px=y^2, tal que su distancia al vértice es mayor que la mitad p del lado recto.
Sea Q un punto a una distancia p de P en dirección al vértice.
Sea K la intersección de la perpendicular al eje por Q con la parábola.
Entonces el segmento PK es el mínimo de de todos los segmentos entre P y la parábola y para cualquier segmento PH, \ \ PH^2 = PK^2 + QT^2, donde H es un punto de la parábola y T el pie de la perpendicular desde H al eje.

En la figura está indicada la demostración que da Apolonio.

La circunferencia con centro P y radio PK es tangente a la cónica en K, porque PK es el segmento mínimo. La tangente a la circunferencia en K será también tangente a la cónica. Entonces el segmento mínimo es perpendicular a la tangente en su extremo. Esta es la proposición V.27, que Apolonio demuestra de otra forma.

Si los predecesores de Apolonio obtenían la propiedad de las subtangentes a partir de las líneas mínimas también habían demostrado esa proposición.

A la proyección PQ sobre el eje de la normal (o perpendicular) a la tangente en el punto K se la denomina hoy subnormal. Entonces las proposiciones anteriores V.8 y V.27 implican que la subnormal en la parábola es constante e igual a la mitad del lado recto para todos los puntos K de la parábola.

A partir de ese resultado obtenemos la propiedad de la subtangente como se indica en la figura siguiente:

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.




De esta forma pudieron demostrar los antiguos, antes de Apolonio, la propiedad de la subtangente en la parábola, usando, como dice Apolonio, la propiedad de las "lineas mínimas".

Esta es una nueva colaboración enviada por nuestro gran colaborador fede. Si estás interesado en colaborar con Gaussianos mediante algún artículo o alguna sugerencia, utiliza el formulario de contacto o el mail que aparecen en la sección Contacto.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Apolonio de Perga (siglo III a.C.), en la carta de introducción al libro V…
  2. El teorema de Dositeo | Guirnalda matemática - […] usa la propiedad de la normal de la parábola, conocida en el siglo III a.C. según Apolonio en el…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *