Sucesión “imaginaria pura”

Esta semana es hoy lunes cuando os traigo el problema semanal. Ahí va el enunciado:

Sea i=\sqrt{-1}. Demostrar que

\displaystyle{i^{i^{\cdot^{\cdot^{i}}}}}

esto es, la sucesión i, i^i, i^{(i^i)}, i^{(i^{(i^i)})},\ldots, es convergente (en \mathbb{C}), considerándose en la potenciación compleja

u^v=e^{v \cdot ln(u)}

como la rama principal del logaritmo.

No se pide dar una expresión cerrada del límite, sino demostrar la convergencia de la sucesión (vamos, que el límite existe).

Que se os dé bien.


Éste no es el problema de la serie Desafíos GaussianosyGuijarro. El viernes tendréis el primero de ellos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. Bonito ejercicio. Para los interesados, el valor del límite se obtiene usando la función W de Lambert.

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  2. Que bonito problema, lástima que no poseo de las teorías necesarias para interpretar bien un número elevado a un complejo @_@

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  3. ^DiAmOnD^: Tal y como defines la recurrencia
    a_0=i,\quad a_{n+1}=(a_n)^i,
    el resultado es cícliclo:

    a_0=i
    a_1=(a_0)^i=i^i=e^{i Log(i)}=e^{-\pi/2}
    a_2=(a_1)^i=e^{i Log(a_1)}=e^{i\ln(a_1)}=e^{-i\pi/2}=-i
    a_3=(a_2)^i=e^{i Log(a_2)}=e^{i(-i\pi/2)}=e^{/pi/2}
    a_4=(a_3)^i=e^{i Log(a_3)}=e^{i\ln(a_3)}e^{i\pi/2}=i=a_0

    Creo que la definición correcta de la recurrencia sería ésta:
    A_0=i,\quad A_{n+1}=i^{A_n}

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  4. @Tito_Eliatron:

    Efectivamente la sucesión es la siguiente

    a_0 = i ,\quad a_{n+1} = i^{a_n}

    Con lo que el resultado cíclico que muestras no es exactamente lo que sale en la sucesión…

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  5. Aporto la solución numérica.

    0.438282936727032 + 0.360592471871385 · i

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  6. Con un EXCEL y 300 iteraciones obtengo el mismo resultado numérico que GOB:
    0,43828293672703 + 0,3605924718714 i
    es decir, un módulo de 0,567555 y un argumento de 39,445464º
    Pero ni idea de demostrar la convergencia.

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  7. En Oeis.org podeis ver la respuesta con más decimales:

    La parte entera en: http://oeis.org/A077589

    0.43828293672703211162697516355126482426789735164639460360922124049579153222269569…

    Y la parte imaginaria en: http://oeis.org/A077590

    0.36059247187138548595294052690600065382657703078602700474145129838046019521150773

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  8. Como bien ha dejado entrever Sebastián Martín Ruiz, se trata de verificar que la función g(z)=i^z admite un punto fijo (en un determinado conjunto a determinar). Tenemos que

    g(z)=exp(i\frac{\pi}{2}z)=exp(-\frac{\pi}{2} Im\;z)\cdot exp(i\frac{\pi}{2}Re\;z),

    y es directo comprobar que g(z) aplica la semibanda \{z/\; 0\leq Re\;z\leq 1,\;Im\;z\geq 0\} en el sector circular \mathcal{W}=\{w/\;|w|\leq 1,\;0\leq Arg(w)\leq \frac{\pi}{2}\}. En particular, g(\mathcal{W})\subseteq \mathcal{W}, siendo \mathcal{W} cerrado y convexo. Del teorema del punto fijo de Brouwer para convexos y cerrados (http://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fixed-point_theorem#Statement) se deduce la existencia de al menos un punto fijo z para g:

    \exists z\in \mathcal{W}:\;z=g(z)=i^z=i^{i^z}=i^{i^{i^z}}=\ldots=i^{i^{i^{i^{i^{\vdots}}}}}.

    (Por otra parte, dicho punto fijo es único en \mathcal{W} como consecuencia del teorema de Denjoy-Wolff: http://en.wikipedia.org/wiki/Denjoy%E2%80%93Wolff_theorem#Statement).

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