Sucesión “imaginaria pura”

Esta semana es hoy lunes cuando os traigo el problema semanal. Ahí va el enunciado:

Sea $i=\sqrt{-1}$ . Demostrar que

$\displaystyle{i^{i^{\cdot^{\cdot^{i}}}}}$

esto es, la sucesión $i, i^i, i^{(i^i)}, i^{(i^{(i^i)})},\ldots$ , es convergente (en $\mathbb{C}$ ), considerándose en la potenciación compleja

$u^v=e^{v \cdot ln(u)}$

como la rama principal del logaritmo.

No se pide dar una expresión cerrada del límite, sino demostrar la convergencia de la sucesión (vamos, que el límite existe).

Que se os dé bien.

Éste no es el problema de la serie Desafíos GaussianosyGuijarro. El viernes tendréis el primero de ellos.

13 comentarios

Francis | 5 de March de 2012 | 09:22

Bonito ejercicio. Para los interesados, el valor del límite se obtiene usando la función W de Lambert.
Eder Contreras | 5 de March de 2012 | 09:40

Que bonito problema, lástima que no poseo de las teorías necesarias para interpretar bien un número elevado a un complejo @_@
Tito Eliatron | 5 de March de 2012 | 12:35

^DiAmOnD^: Tal y como defines la recurrencia
$a_0=i,\quad a_{n+1}=(a_n)^i$ ,
el resultado es cícliclo:

$a_0=i$
$a_1=(a_0)^i=i^i=e^{i Log(i)}=e^{-\pi/2}$
$a_2=(a_1)^i=e^{i Log(a_1)}=e^{i\ln(a_1)}=e^{-i\pi/2}=-i$
$a_3=(a_2)^i=e^{i Log(a_2)}=e^{i(-i\pi/2)}=e^{/pi/2}$
$a_4=(a_3)^i=e^{i Log(a_3)}=e^{i\ln(a_3)}e^{i\pi/2}=i=a_0$

Creo que la definición correcta de la recurrencia sería ésta:
$A_0=i,\quad A_{n+1}=i^{A_n}$
Trackback | 5 Mar, 2012

Bitacoras.com
gaussianos | 5 de March de 2012 | 16:23

Cierto Tito Eliatron. YA está arreglado. Muchas gracias por el aviso
AM | 5 de March de 2012 | 18:43

@Tito_Eliatron:

Efectivamente la sucesión es la siguiente

$a_0 = i ,\quad a_{n+1} = i^{a_n}$

Con lo que el resultado cíclico que muestras no es exactamente lo que sale en la sucesión…
GOB | 6 de March de 2012 | 14:20

Aporto la solución numérica.

0.438282936727032 + 0.360592471871385 · i
Alriga | 6 de March de 2012 | 18:35

Con un EXCEL y 300 iteraciones obtengo el mismo resultado numérico que GOB:
0,43828293672703 + 0,3605924718714 i
es decir, un módulo de 0,567555 y un argumento de 39,445464º
Pero ni idea de demostrar la convergencia.
Ignacius | 6 de March de 2012 | 21:35

En Oeis.org podeis ver la respuesta con más decimales:

La parte entera en: http://oeis.org/A077589

0.43828293672703211162697516355126482426789735164639460360922124049579153222269569…

Y la parte imaginaria en: http://oeis.org/A077590

0.36059247187138548595294052690600065382657703078602700474145129838046019521150773
Sebastian Martin Ruiz | 7 de March de 2012 | 11:09

Si llamo Y=i^i^i^i^i…… tenemos en el límite i^Y=Y. Por tanto i=Y^(1/Y) Hay que resolver esta ecuación de punto fijo.
Ignacius | 7 de March de 2012 | 17:29

En WolframAlfa.com podeis ver el desarrollo de 2 (i/pi) W(-i pi/2)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=+2+%28i%2Fpi%29+W%28-i+pi%2F2%29&t=ietb01
M | 8 de March de 2012 | 17:07

Como bien ha dejado entrever Sebastián Martín Ruiz, se trata de verificar que la función $g(z)=i^z$ admite un punto fijo (en un determinado conjunto a determinar). Tenemos que

$g(z)=exp(i\frac{\pi}{2}z)=exp(-\frac{\pi}{2} Im\;z)\cdot exp(i\frac{\pi}{2}Re\;z)$ ,

y es directo comprobar que $g(z)$ aplica la semibanda $\{z/\; 0\leq Re\;z\leq 1,\;Im\;z\geq 0\}$ en el sector circular $\mathcal{W}=\{w/\;|w|\leq 1,\;0\leq Arg(w)\leq \frac{\pi}{2}\}$ . En particular, $g(\mathcal{W})\subseteq \mathcal{W}$ , siendo $\mathcal{W}$ cerrado y convexo. Del teorema del punto fijo de Brouwer para convexos y cerrados (http://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fixed-point_theorem#Statement) se deduce la existencia de al menos un punto fijo $z$ para $g$ :

$\exists z\in \mathcal{W}:\;z=g(z)=i^z=i^{i^z}=i^{i^{i^z}}=\ldots=i^{i^{i^{i^{i^{\vdots}}}}}.$

(Por otra parte, dicho punto fijo es único en $\mathcal{W}$ como consecuencia del teorema de Denjoy-Wolff: http://en.wikipedia.org/wiki/Denjoy%E2%80%93Wolff_theorem#Statement).
Tito Eliatron | 13 de March de 2012 | 13:30

Denjoy-Wolf…

Me ha encantado esta demostración,.