Sucesión recurrente

El problema de esta semana es el siguiente:

Definimos la siguiente sucesión recurrente:

x_0=1
x_{n+1}=3x_n+\lfloor \sqrt{5} x_n \rfloor, \, \forall n\ge 0 (siendo \lfloor a \rfloor la parte entera de a, es decir, el mayor número entero menor o igual que a)

En particular, se tiene que x_1=5, \, x_2=26, \, x_3=136 y x_4=712.

Calcular el valor de x_{2009}.

Como siempre, aunque los cálculos informáticos pueden ser interesantes, se pide un procedimiento matemático para la resolución del problema.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. a mí me pasó también, ver varios signos +, pero solamente desde el popup del coso de google reader de igoogle, acá en el sitio se ve bien.

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  2. Veo que x_{n+1}=x_n\cdot x_1+x_{n-1}+x_{n-2}+\ldots+x_0, lo cual permite expresar el valor en términos de potencias de x_1. Con esto parece que debe salir ya. A ver si a la noche con más tiempo…

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  3. Expresando la iteración de Gaby en forma matricial (y diagonalizando) se obtiene
    x_n=\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{5}\right)(3+\sqrt{5})^n+\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)(3-\sqrt{5})^n.

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  4. A partir de lo que dice Gaby es ya fácil. Es una combinación lineal de exponenciales siendo las bases las raíces de la ecuación de segundo grado x^2 – 6x + 4 = 0 y los coeficientes los ajustados mediante el uso de los dos primeros términos de la sucesión.

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  5. Para probar la recurrencia de Gaby nos liamos un poco con la parte entera y escribimos a partir de la definición

    x_{n+1}\leq (3+\sqrt{5})x_n<x_{n+1}+1 \,(n\geq 0) (1)

    y trasladando índices e invirtiendo el 3+\sqrt{5}:

    (3-\sqrt{5})x_n\leq 4 x_{n-1}<(3-\sqrt{5})(x_n+1) \,(n\geq 1) (2)

    De la segunda desigualdad de (1) y la primera de (2) obtenemos sumando que 6x_n-4x_{n-1}<x_{n+1}+1.

    De la primera de (1) y la segunda de (2) obtenemos al sumar que x_{n+1}+4x_{n-1}<6x_n+(3-\sqrt{5}), lo cual nos da al tratarse de cantidades enteras x_{n+1}+4x_{n-1}\leq 6x_n.

    De ambas cosas, x_{n+1}\leq 6x_n-4x_{n-1}<x_{n+1}+1, que nos da la recurrencia de gaby.

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  6. Serían x_1=3+\sqrt{5} \\ x_1=3-\sqrt{5}
    Y por lo tanto la combinación lineal sería:
    N=c_1e^{(3+\sqrt{5})x}+c_2e^{(3-\sqrt{5})x}
    1=c_1+c_2 \\ 5=c_1e^{(3+\sqrt{5})1}+c_2e^{(3-\sqrt{5})1}
    Donde c_1=\frac{1}{3} y c_2=5e^{\sqrt{5}-3}-\frac{e^{2\sqrt{5}}}{3}
    Con lo que para n=2009 daría por resultado: 9.543256412 \cdot 10^4567
    No se si es el resultado buscado pero se ha hecho lo que se ha podido.

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