Suma armónica

El problema de esta semana es el siguiente:

Hallar razonadamente el valor de la suma

\displaystyle{ \cfrac{H_{k+1}}{1\cdot 2} +\cfrac{H_{k+2}}{2\cdot 3}+\cfrac{H_{k+3}}{3\cdot 4}+\cfrac{H_{k+4}}{4\cdot 5}+\ldots }

siendo k\geq 0 un número entero y H_j el j-ésimo número armónico: H_j=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{j}

Suerte.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

16 Comentarios

  1. Las series armónicas generalizadas se definen de la siguiente forma: $latex $

    sin embargo, principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.

    definimos el n-ésimo número armónico como: $latex $

    y… $latex $ , que crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n.

    ademas esto tiene el valor del logaritmo natural de n, y aplicacion grande en la teoria de numeros.

    $latex $

    que es el valor de la constante de euler-mascheroni.

    Publica una respuesta
  2. Parece que como paso intermedio habrìa que demostrar esta:

    Sea $latex $

    Entonces $latex $

    (La saqué por tanteo, y se demuestra fácil por inducción, pero me pregunto si no habrá otra manera)

    Publica una respuesta
  3. Bueno, cuando mandé el comentario anterior me tiró un error de php, y ahora veo que las fórmulas se perdieron (el preview anduvo bien, sin embargo). Intento de nuevo:

    Sea $latex $

    Entonces $latex $

    Publica una respuesta
  4. No hay caso. Por si a alguien le sirve, el error es:

    Warning: htmlspecialchars() expects at most 3 parameters, 4 given in /usr/home/gaussianos/www/wp-content/plugins/wp-latex.php on line 50

    Warning: Cannot modify header information – headers already sent by (output started at /usr/home/gaussianos/www/wp-content/plugins/wp-latex.php:50) in /usr/home/gaussianos/www/wp-content/plugins/subscribe-to-comments.php on line 817

    Publica una respuesta
  5. Pero, elemental Watson, no hace falta inducción completa, basta darse cuenta que, por ej:

    $latex $

    con lo cual

    $latex $

    Publica una respuesta
  6. Prueba latex $latex $.
    Me parece que hay algun problema en el plugin.
    Hay que volver a la versión anterior.

    Publica una respuesta
  7. Ups…

    Se cambió el plugin de \LaTeX. Ya he vuelto al plugin anterior. Le echaremos un ojo al nuevo a ver si encontramos el problema.

    Siento los errores. Si queréis podéis reescribir los comentarios que habéis dejado.

    Publica una respuesta
  8. A ver ahora. Decía que como paso intermedio habrìa que demostrar esta:

    Sea $latex \displaystyle
    S_k = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} +
    + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{(k-1) \cdot k}
    $
    Entonces \displaystyle S_k = \frac{k-1}{k}

    Se demuestra fácil por inducción, o también advirtiendo que, por ej,

    \frac{1}{3 . 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}

    con lo cual

    \frac{1}{1 . 2} + \frac{1}{2 . 3} + \frac{1}{3 . 4} = (1- \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4}=\frac{3}{4}

    Publica una respuesta
  9. Siguiendo con mi procedimiento, siguen estos dos resultados intermedios (los escribo con ejemplos, creo que resulta más claro que escribirlo en general).

    Por un lado
    \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \cdots = \frac{1}{4}

    \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \cdots = \frac{1}{5}

    etc. Y por el otro lado

    \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots = 1

    $latex \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} +
    \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots = (1 + \frac{1}{2}) \frac{1}{2}$

    \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{3 \cdot 6} + \cdots = (1 + \frac{1}{2} +  \frac{1}{3}) \frac{1}{3}

    Y así. Reagrupando los términos de la serie se obtiene el resultado de fede.

    Publica una respuesta
  10. opinaba que…, Las series armónicas generalizadas se definen de la siguiente forma: \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{an+b}

    sin embargo, principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.

    definimos el n-ésimo número armónico como: H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}

    y… \int_1^n {1 \over x}\, dx , que crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n.

    ademas esto tiene el valor del logaritmo natural de n, y aplicacion grande en la teoria de numeros.
     \lim_{n \to \infty} H_n - \log(n) = \gamma
    que es el valor de la constante de euler-mascheroni.

    Publica una respuesta
  11. efectivamente, la cosa estaba en descomponer la suma (S) como

    S=\left(\frac{H_{k+1}}{1}-\frac{H_{k+1}}{2}\right)+\left(\frac{H_{k+2}}{2}-\frac{H_{k+2}}{3}\right)+\left(\frac{H_{k+3}}{3}-\frac{H_{k+3}}{4}\right)+\ldots

    S=H_{k+1}+\frac{1}{2(k+2)}+\frac{1}{3(k+3)}+\ldots (ya que H_{j+1}-H_j=\frac{1}{j+1})

    y si k\neq 0, S=H_{k+1}+\frac{1}{k}\left(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{k+2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{k+3}\right)+\ldots\right)

    y así, tras sumar la serie telescópica, se obtiene el valor que da fede en el primer comentario.

    Publica una respuesta

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *