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Suma armónica

El problema de esta semana es el siguiente:

Hallar razonadamente el valor de la suma

\displaystyle{ \cfrac{H_{k+1}}{1\cdot 2} +\cfrac{H_{k+2}}{2\cdot 3}+\cfrac{H_{k+3}}{3\cdot 4}+\cfrac{H_{k+4}}{4\cdot 5}+\ldots }

siendo k\geq 0 un número entero y H_j el j-ésimo número armónico: H_j=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{j}

Suerte.

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Autor: ^DiAmOnD^ |  Publicado el 20 de Enero de 2009
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Categorías: Juegos |  Imprime este post Imprime este post

16 comentarios

  1. fede | 20 de Enero de 2009 | 15:26

    A mí me sale de momento
    si k=0, \dfrac{\pi^2}{6}
    si k>0, H_k(1 + \dfrac{1}{k}) .

  2. M | 20 de Enero de 2009 | 16:06

    muy buena, fede. Así es.

  3. Tobar | 20 de Enero de 2009 | 16:20

    Las series armónicas generalizadas se definen de la siguiente forma: $latex $

    sin embargo, principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.

    definimos el n-ésimo número armónico como: $latex $

    y… $latex $ , que crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n.

    ademas esto tiene el valor del logaritmo natural de n, y aplicacion grande en la teoria de numeros.

    $latex $

    que es el valor de la constante de euler-mascheroni.

  4. hernan | 20 de Enero de 2009 | 19:58

    Parece que como paso intermedio habrìa que demostrar esta:

    Sea $latex $

    Entonces $latex $

    (La saqué por tanteo, y se demuestra fácil por inducción, pero me pregunto si no habrá otra manera)

  5. hernan | 20 de Enero de 2009 | 20:00

    Bueno, cuando mandé el comentario anterior me tiró un error de php, y ahora veo que las fórmulas se perdieron (el preview anduvo bien, sin embargo). Intento de nuevo:

    Sea $latex $

    Entonces $latex $

  6. hernan | 20 de Enero de 2009 | 20:01

    No hay caso. Por si a alguien le sirve, el error es:

    Warning: htmlspecialchars() expects at most 3 parameters, 4 given in /usr/home/gaussianos/www/wp-content/plugins/wp-latex.php on line 50

    Warning: Cannot modify header information – headers already sent by (output started at /usr/home/gaussianos/www/wp-content/plugins/wp-latex.php:50) in /usr/home/gaussianos/www/wp-content/plugins/subscribe-to-comments.php on line 817

  7. hernan | 20 de Enero de 2009 | 20:13

    Pero, elemental Watson, no hace falta inducción completa, basta darse cuenta que, por ej:

    $latex $

    con lo cual

    $latex $

  8. hernan | 20 de Enero de 2009 | 20:18

    Ufa.
    Has cambiado de version de php o de plugin para latex?

    http://uk2.php.net/manual/en/function.htmlspecialchars.php
    (segun eso, para esa version de htmlspecialchars hay que tener php 5.2.3 o mayor)

  9. fede | 20 de Enero de 2009 | 20:37

    Prueba latex $latex $.
    Me parece que hay algun problema en el plugin.
    Hay que volver a la versión anterior.

  10. gaussianos | 20 de Enero de 2009 | 22:02

    Ups…

    Se cambió el plugin de \LaTeX. Ya he vuelto al plugin anterior. Le echaremos un ojo al nuevo a ver si encontramos el problema.

    Siento los errores. Si queréis podéis reescribir los comentarios que habéis dejado.

  11. fede | 20 de Enero de 2009 | 22:05

    Prueba. x^2 .

  12. hernan | 20 de Enero de 2009 | 22:06

    A ver ahora. Decía que como paso intermedio habrìa que demostrar esta:

    Sea $latex \displaystyle
    S_k = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} +
    + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{(k-1) \cdot k}
    $
    Entonces \displaystyle S_k = \frac{k-1}{k}

    Se demuestra fácil por inducción, o también advirtiendo que, por ej,

    \frac{1}{3 . 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}

    con lo cual

    \frac{1}{1 . 2} + \frac{1}{2 . 3} + \frac{1}{3 . 4} = (1- \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4}=\frac{3}{4}

  13. fede | 20 de Enero de 2009 | 22:36

    Se puede empezar demostrando
    \displaystyle \sum_1^n (a_i - a_{i+1} ) b_i \displaystyle = a_1b_1 + \sum_1^{n-1} a_{i+1} (b_{i+1}-b_i) - a_{n+1}b_n

  14. hernan | 20 de Enero de 2009 | 23:51

    Siguiendo con mi procedimiento, siguen estos dos resultados intermedios (los escribo con ejemplos, creo que resulta más claro que escribirlo en general).

    Por un lado
    \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \cdots = \frac{1}{4}

    \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \cdots = \frac{1}{5}

    etc. Y por el otro lado

    \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots = 1

    $latex \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} +
    \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots = (1 + \frac{1}{2}) \frac{1}{2}$

    \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{3 \cdot 6} + \cdots = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \frac{1}{3}

    Y así. Reagrupando los términos de la serie se obtiene el resultado de fede.

  15. Tobar | 21 de Enero de 2009 | 0:07

    opinaba que…, Las series armónicas generalizadas se definen de la siguiente forma: \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{an+b}

    sin embargo, principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.

    definimos el n-ésimo número armónico como: H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}

    y… \int_1^n {1 \over x}\, dx , que crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n.

    ademas esto tiene el valor del logaritmo natural de n, y aplicacion grande en la teoria de numeros.
    \lim_{n \to \infty} H_n - \log(n) = \gamma
    que es el valor de la constante de euler-mascheroni.

  16. M | 21 de Enero de 2009 | 0:48

    efectivamente, la cosa estaba en descomponer la suma (S) como

    S=\left(\frac{H_{k+1}}{1}-\frac{H_{k+1}}{2}\right)+\left(\frac{H_{k+2}}{2}-\frac{H_{k+2}}{3}\right)+\left(\frac{H_{k+3}}{3}-\frac{H_{k+3}}{4}\right)+\ldots

    S=H_{k+1}+\frac{1}{2(k+2)}+\frac{1}{3(k+3)}+\ldots (ya que H_{j+1}-H_j=\frac{1}{j+1})

    y si k\neq 0, S=H_{k+1}+\frac{1}{k}\left(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{k+2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{k+3}\right)+\ldots\right)

    y así, tras sumar la serie telescópica, se obtiene el valor que da fede en el primer comentario.

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