Comments on: Suma armónica http://gaussianos.com/suma-armonica/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Sep 2010 11:49:48 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: M http://gaussianos.com/suma-armonica/#comment-9905 M Tue, 20 Jan 2009 22:48:59 +0000 http://gaussianos.com/?p=859#comment-9905 efectivamente, la cosa estaba en descomponer la suma ($latex S$) como $latex S=\left(\frac{H_{k+1}}{1}-\frac{H_{k+1}}{2}\right)+\left(\frac{H_{k+2}}{2}-\frac{H_{k+2}}{3}\right)+\left(\frac{H_{k+3}}{3}-\frac{H_{k+3}}{4}\right)+\ldots$ $latex S=H_{k+1}+\frac{1}{2(k+2)}+\frac{1}{3(k+3)}+\ldots$ (ya que $latex H_{j+1}-H_j=\frac{1}{j+1}$) y si $latex k\neq 0$, $latex S=H_{k+1}+\frac{1}{k}\left(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{k+2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{k+3}\right)+\ldots\right)$ y así, tras sumar la serie telescópica, se obtiene el valor que da fede en el primer comentario. efectivamente, la cosa estaba en descomponer la suma (S) como

S=\left(\frac{H_{k+1}}{1}-\frac{H_{k+1}}{2}\right)+\left(\frac{H_{k+2}}{2}-\frac{H_{k+2}}{3}\right)+\left(\frac{H_{k+3}}{3}-\frac{H_{k+3}}{4}\right)+\ldots

S=H_{k+1}+\frac{1}{2(k+2)}+\frac{1}{3(k+3)}+\ldots (ya que H_{j+1}-H_j=\frac{1}{j+1})

y si k\neq 0, S=H_{k+1}+\frac{1}{k}\left(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{k+2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{k+3}\right)+\ldots\right)

y así, tras sumar la serie telescópica, se obtiene el valor que da fede en el primer comentario.

]]> By: Tobar http://gaussianos.com/suma-armonica/#comment-9904 Tobar Tue, 20 Jan 2009 22:07:42 +0000 http://gaussianos.com/?p=859#comment-9904 opinaba que..., Las series armónicas generalizadas se definen de la siguiente forma: $latex \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{an+b}$ sin embargo, principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes. definimos el n-ésimo número armónico como: $latex H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}$ y… $latex \int_1^n {1 \over x}\, dx$ , que crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n. ademas esto tiene el valor del logaritmo natural de n, y aplicacion grande en la teoria de numeros. $latex \lim_{n \to \infty} H_n - \log(n) = \gamma$ que es el valor de la constante de euler-mascheroni. opinaba que…, Las series armónicas generalizadas se definen de la siguiente forma: \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{an+b}

sin embargo, principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.

definimos el n-ésimo número armónico como: H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}

y… \int_1^n {1 \over x}\, dx , que crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n.

ademas esto tiene el valor del logaritmo natural de n, y aplicacion grande en la teoria de numeros.
\lim_{n \to \infty} H_n - \log(n) = \gamma
que es el valor de la constante de euler-mascheroni.

]]> By: hernan http://gaussianos.com/suma-armonica/#comment-9903 hernan Tue, 20 Jan 2009 21:51:15 +0000 http://gaussianos.com/?p=859#comment-9903 Siguiendo con mi procedimiento, siguen estos dos resultados intermedios (los escribo con ejemplos, creo que resulta más claro que escribirlo en general). Por un lado $latex \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \cdots = \frac{1}{4}$ $latex \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \cdots = \frac{1}{5}$ etc. Y por el otro lado $latex \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots = 1$ $latex \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots = (1 + \frac{1}{2}) \frac{1}{2}$ $latex \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{3 \cdot 6} + \cdots = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \frac{1}{3}$ Y así. Reagrupando los términos de la serie se obtiene el resultado de fede. Siguiendo con mi procedimiento, siguen estos dos resultados intermedios (los escribo con ejemplos, creo que resulta más claro que escribirlo en general).

Por un lado
\frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \cdots = \frac{1}{4}

\frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \cdots = \frac{1}{5}

etc. Y por el otro lado

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots = 1

$latex \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} +
\frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots = (1 + \frac{1}{2}) \frac{1}{2}$

\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{3 \cdot 6} + \cdots = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \frac{1}{3}

Y así. Reagrupando los términos de la serie se obtiene el resultado de fede.

]]> By: fede http://gaussianos.com/suma-armonica/#comment-9902 fede Tue, 20 Jan 2009 20:36:00 +0000 http://gaussianos.com/?p=859#comment-9902 Se puede empezar demostrando $latex \displaystyle \sum_1^n (a_i - a_{i+1} ) b_i $ $latex \displaystyle = a_1b_1 + \sum_1^{n-1} a_{i+1} (b_{i+1}-b_i) - a_{n+1}b_n $ Se puede empezar demostrando
\displaystyle \sum_1^n (a_i - a_{i+1} ) b_i \displaystyle = a_1b_1 + \sum_1^{n-1} a_{i+1} (b_{i+1}-b_i) - a_{n+1}b_n

]]> By: hernan http://gaussianos.com/suma-armonica/#comment-9901 hernan Tue, 20 Jan 2009 20:06:34 +0000 http://gaussianos.com/?p=859#comment-9901 A ver ahora. Decía que como paso intermedio habrìa que demostrar esta: Sea $latex \displaystyle S_k = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{(k-1) \cdot k} $ Entonces $latex \displaystyle S_k = \frac{k-1}{k}$ Se demuestra fácil por inducción, o también advirtiendo que, por ej, $latex \frac{1}{3 . 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ con lo cual $latex \frac{1}{1 . 2} + \frac{1}{2 . 3} + \frac{1}{3 . 4} = (1- \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ A ver ahora. Decía que como paso intermedio habrìa que demostrar esta:

Sea $latex \displaystyle
S_k = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} +
+ \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{(k-1) \cdot k}
$
Entonces \displaystyle S_k = \frac{k-1}{k}

Se demuestra fácil por inducción, o también advirtiendo que, por ej,

\frac{1}{3 . 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}

con lo cual

\frac{1}{1 . 2} + \frac{1}{2 . 3} + \frac{1}{3 . 4} = (1- \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4}=\frac{3}{4}

]]> By: fede http://gaussianos.com/suma-armonica/#comment-9900 fede Tue, 20 Jan 2009 20:05:03 +0000 http://gaussianos.com/?p=859#comment-9900 Prueba. $latex x^2 $. Prueba. x^2 .

]]> By: gaussianos http://gaussianos.com/suma-armonica/#comment-9899 gaussianos Tue, 20 Jan 2009 20:02:43 +0000 http://gaussianos.com/?p=859#comment-9899 Ups... Se cambió el plugin de $latex \LaTeX$. Ya he vuelto al plugin anterior. Le echaremos un ojo al nuevo a ver si encontramos el problema. Siento los errores. Si queréis podéis reescribir los comentarios que habéis dejado. Ups…

Se cambió el plugin de \LaTeX. Ya he vuelto al plugin anterior. Le echaremos un ojo al nuevo a ver si encontramos el problema.

Siento los errores. Si queréis podéis reescribir los comentarios que habéis dejado.

]]> By: fede http://gaussianos.com/suma-armonica/#comment-9898 fede Tue, 20 Jan 2009 18:37:36 +0000 http://gaussianos.com/?p=859#comment-9898 Prueba latex $latex $. Me parece que hay algun problema en el plugin. Hay que volver a la versión anterior. Prueba latex $latex $.
Me parece que hay algun problema en el plugin.
Hay que volver a la versión anterior.

]]> By: hernan http://gaussianos.com/suma-armonica/#comment-9897 hernan Tue, 20 Jan 2009 18:18:03 +0000 http://gaussianos.com/?p=859#comment-9897 Ufa. Has cambiado de version de php o de plugin para latex? http://uk2.php.net/manual/en/function.htmlspecialchars.php (segun eso, para esa version de htmlspecialchars hay que tener php 5.2.3 o mayor) Ufa.
Has cambiado de version de php o de plugin para latex?

http://uk2.php.net/manual/en/function.htmlspecialchars.php
(segun eso, para esa version de htmlspecialchars hay que tener php 5.2.3 o mayor)

]]> By: hernan http://gaussianos.com/suma-armonica/#comment-9896 hernan Tue, 20 Jan 2009 18:13:54 +0000 http://gaussianos.com/?p=859#comment-9896 Pero, elemental Watson, no hace falta inducción completa, basta darse cuenta que, por ej: $latex $ con lo cual $latex $ Pero, elemental Watson, no hace falta inducción completa, basta darse cuenta que, por ej:

$latex $

con lo cual

$latex $

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