Suma de abundantes

Como ya vimos en este listado, un número abundante es un entero positivo que cumple que la suma de sus divisores propios (todos ellos menos el propio número) es mayor que el propio número. El problema de esta semana está relacionado con estos números. Es éste:

Demostrar que si n es par y mayor o igual que 48 entonces es suma de dos números abundantes.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. Creo que he resuelto el problema. Quizá pueda parecer algo chapucero, pero es lo que se me ha ocurrido. Además he de añadir que a mí siempre me han definido divisores propios como el propio número y el uno, aunque para este caso es irrelevante.

    Lo primero es probar que los múltiplos de 6 (mayores que el 6) y los múltiplos de 20 son números abundantes; así que ahí voy:

    Los múltiplos de 6 pueden dividirse por 2, 3 y 6; con lo que tenemos tres divisores que son 1/2, 1/3, y 1/6 del valor total del número. Como 1/2+1/3+1/6=1 estos tres divisores ya suponen el valor total del número, como aun nos sobran divisores como por ejemplo los citados 2, 3 y 6 ya tenemos que los múltiplos de 6 (salvo el mismo).

    Los múltiplos de 20, son divisibles por 2, 4, 5, 10; por lo tanto también son divisibles por 1/2, 1/4, 1/5 y 1/10 del número como 1/2+1/4+1/5+1/10=21/20 ya tenemos que la suma de sus divisores será mayor que el valor del propio número.

    Ahora hay que ver que todos los números pares cuyo valor es 48 o mayor pueden escribirse como suma de múltiplos de 6 o múltiplos de 20:

    Divido los números pares mayores o iguales a 48 en tres grupos:
    -Los que se pueden escribir como 6n (con n mayor o igual a 8 )
    -Los que se pueden escribir como 6n+2 (con n mayor o igual a 8 )
    -Los que se pueden escribir como 6n+4 (con n mayor o igual a 8 )

    Para los que se pueden escribir como 6n distingo entre los que son divisibles por 4; entones 3n es aun divisible por dos, es decir que es múltiplo de 6 y por tanto abundante, basta con escribir el número como 3n+3n. Para los números que no sean múltiplos de 4, 3n es un número impar, pero 3n-3 y 3n+3 son números pares y divisibles por tres, es decir múltiplos de 6, así que son abundantes. Basta con escribir el número como (3n-3)+(3n+3).

    Para los que se pueden escribir como 6n+2: 6n+2= 6(n-3)+20 (como el n menor sería 8 no nos genera ningún problema). 20 es abundante y el otro número es múltiplo de 6, así que también es abundante.

    Para los que se escriben como 6n+4: 6n+4=6(n-6)+40, lo que se puede hacer por los mismos motivos que antes. El 40 es abundante y el otro número es múltiplo de 6.

    Lamento haberme extendido tanto. Por otro lado ahora que he terminado de escribir el texto me doy cuenta que la demostración de que los múltiplos de 20 son abundantes no era necesaria (ya que solo uso el 20 y el 40), pero como es breve se queda.

    Publica una respuesta
  2. Vaya… me ha escrito “8 )” sin el espacio entre ellos como una cara sonriente, no sabía que iba a ocurrir eso. Creo que debería havber usado la vista previa…

    Publica una respuesta
  3. Exacto, que para algo está la vista previa aunque nadie la use :D.

    No te preocupes, no hay problema. Te lo rectifico yo ahora mismo.

    Publica una respuesta
  4. Elegante demostración la de Gato Iturralde. Yo había llegado a la suma de múltiplos de 6 y 20 pero con un desarrollo más complicado.

    En cuanto a los enteros impares, para demostrar que existe una cota a partir de la cual todos los enteros son suma de números abundantes, bastaría con encontrar impares abundantes de la forma 6n+3, 6n+5 y 6n+1. Los siguientes números lo son:
    3.5.7.11.13
    5.7.11.13.17.19.23.29.31
    5.7.11.13.17.19.23.31.37

    Publica una respuesta
  5. 88 y 945 son abundantes y sus múltiplos también. Son primos entre sí, así que 945x con x de 0 a 87 barre todos los restos módulo 88. Entonces, todos los números naturales, pares e impares, por encima de 945×87+88=82303 se pueden escribir como suma de dos abundantes 88x+945y.

    Todos los números por encima de 26863 se pueden escribir como 88x+z, con z abundante.

    La wikipedia pone 20161, como la cota inferior por encima de la cual todos los naturales son suma de dos números abundantes.

    Publica una respuesta
  6. Existen infinitos números abundantes pares e impares. Cualquier múltiplo propio de un número perfecto, y cualquier múltiplo de un número abundante es abundante. También, cualquier entero mayor que 20161 puede ser escrito como la suma de dos números abundantes. Un número abundante que no es un número semiperfecto se llama número extraño; y un número abundante con abundancia 1 se llama número quasiperfecto.

    Estrechamente relacionados con los números abundantes están los números perfectos con σ(n) = 2n, y los números deficientes con σ(n) < 2n. Los números naturales fueron clasificados por primera vez como deficientes, perfectos o abundantes por Nicómaco de Gerasa en su Introductio Arithmetica.

    Publica una respuesta
  7. He visto una demostración mejor para la cota de los números impares como suma de abundantes.

    315.n es abundante para todos los enteros n mayores o iguales que 2, y cuando n va de 2 a 89 recorre todos los restos módulo 88 (también abundante).

    Como consecuencia, todos los enteros mayores o iguales que 315.89-88+1 = 27948 son suma de abundantes de la forma 315.n + 88.m

    En una página web afirmaban que esta cota ya no se puede bajar mucho mediante análisis genérico y para llegar hasta la cota mínima de 20161 hay que hacer casi una computación caso por caso.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Si lo deseas, puedes hacer click para valorar este post en Bitacoras.com. Gracias....

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *