Comments on: Suma de dígitos convergente http://gaussianos.com/suma-de-digitos-convergente/ Porque todo tiende a infinito... Wed, 08 Feb 2012 19:07:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: vanesa http://gaussianos.com/suma-de-digitos-convergente/#comment-11315 vanesa Tue, 03 Nov 2009 18:23:58 +0000 http://gaussianos.com/?p=1500#comment-11315 por favor necesito ayuda, nose como explicar porqué todo primo impar es de la forma 4n+1 ó 4n+3 , teniendo q listar tambien los 20 primeros primos, indicando en cada uno a cual de las formas correspone,porfavorrrr por favor necesito ayuda, nose como explicar porqué todo primo impar es de la forma 4n+1 ó 4n+3 , teniendo q listar tambien los 20 primeros primos, indicando en cada uno a cual de las formas correspone,porfavorrrr

]]> By: vanesa http://gaussianos.com/suma-de-digitos-convergente/#comment-11314 vanesa Tue, 03 Nov 2009 18:21:06 +0000 http://gaussianos.com/?p=1500#comment-11314 ds ds

]]> By: Números perfectos « Series Divergentes http://gaussianos.com/suma-de-digitos-convergente/#comment-11313 Números perfectos « Series Divergentes Fri, 10 Jul 2009 01:24:18 +0000 http://gaussianos.com/?p=1500#comment-11313 [...] Como el residuo de 10 entre 9, y por lo tanto de cada potencia de 10, es 1, esto implica que la suma de los dígitos de un número perfecto también tiene 1 como residuo de su división entre 9. Si, a su vez, sumamos los dígitos de este suma, y sucesivamente, entonces siempre terminaremos en 1. Esta propiedad fue propuesta como problema hace algunos días en el blog Gaussianos. [...] [...] Como el residuo de 10 entre 9, y por lo tanto de cada potencia de 10, es 1, esto implica que la suma de los dígitos de un número perfecto también tiene 1 como residuo de su división entre 9. Si, a su vez, sumamos los dígitos de este suma, y sucesivamente, entonces siempre terminaremos en 1. Esta propiedad fue propuesta como problema hace algunos días en el blog Gaussianos. [...]

]]> By: Dani http://gaussianos.com/suma-de-digitos-convergente/#comment-11312 Dani Tue, 07 Jul 2009 20:19:24 +0000 http://gaussianos.com/?p=1500#comment-11312 si un número x se escribe abcd (por ejemplo 3456 es a=3, b=4 etc...) entonces tenemos $latex x=a10^3+b10^2+c10+d=999a + 99b + 9c + (a + b + c + d) $ con lo cual vemos que un número es congruente módulo 9 con la suma de sus dígitos. el caso general es idéntico, y basta con iterar hasta llegar a un número menor que 10 para ver que encontrar la clase residual de un número módulo 9 es lo mismo que repetir el proceso de sumar sus dígitos repetidamente. si un número x se escribe abcd (por ejemplo 3456 es a=3, b=4 etc…) entonces tenemos x=a10^3+b10^2+c10+d=999a + 99b + 9c + (a + b + c + d) con lo cual vemos que un número es congruente módulo 9 con la suma de sus dígitos. el caso general es idéntico, y basta con iterar hasta llegar a un número menor que 10 para ver que encontrar la clase residual de un número módulo 9 es lo mismo que repetir el proceso de sumar sus dígitos repetidamente.

]]> By: toniii http://gaussianos.com/suma-de-digitos-convergente/#comment-11311 toniii Tue, 07 Jul 2009 19:57:38 +0000 http://gaussianos.com/?p=1500#comment-11311 Bueno, sobre todo, me haría falta saber por qué, para que el proceso iterativo que describe Diamond se cumpla, el número ha de ser congruente con 1, módulo 9 Bueno, sobre todo, me haría falta saber por qué, para que el proceso iterativo que describe Diamond se cumpla, el número ha de ser congruente con 1, módulo 9

]]> By: toniii http://gaussianos.com/suma-de-digitos-convergente/#comment-11310 toniii Tue, 07 Jul 2009 19:55:44 +0000 http://gaussianos.com/?p=1500#comment-11310 Por favor, podéis explicar un poco el procedimiento usado y el por qué usais cada cosa? Lo agradecería muchísimo! Gracias y buenas noches Por favor, podéis explicar un poco el procedimiento usado y el por qué usais cada cosa? Lo agradecería muchísimo! Gracias y buenas noches

]]> By: otro http://gaussianos.com/suma-de-digitos-convergente/#comment-11309 otro Tue, 07 Jul 2009 11:23:19 +0000 http://gaussianos.com/?p=1500#comment-11309 Sabemos que todo número perfecto par es de la forma $latex 2^{p-1}(2^p-1)$ donde p es primo. También sabemos que para que el proceso descrito acabe en 1 el número debe ser congruente con 1 módulo 9. Ahora sólo queda ver cómo se comportan las distintas potencias de 2 módulo 9: $latex 2^1=2 mod 9; 2^{1-1}=1 mod 9$, el producto $latex 2^{1-1}(2^1-1)=1 \cdot 1=1 mod 9$ $latex 2^3=8 mod 9; 2^{3-1}=4 mod 9$, el producto $latex 2^{3-1}(2^3-1)=4 \cdot 7=1 mod 9$ $latex 2^5=5 mod 9; 2^{5-1}=7 mod 9$, el producto $latex 2^{5-1}(2^5-1)=7 \cdot 4=1 mod 9$ $latex 2^7=2 mod 9; 2^{7-1}=1 mod 9$, el producto $latex 2^{7-1}(2^7-1)=1 \cdot 1=1 mod 9$ A partir de ahí, se repite. Probado que el producto $latex 2^{p-1}(2^p-1)$ siempre es 1 módulo 9 para todo n impar, también lo es para todo n primo y en particular para los n tales que dicho producto es un número perfecto. Sabemos que todo número perfecto par es de la forma 2^{p-1}(2^p-1) donde p es primo. También sabemos que para que el proceso descrito acabe en 1 el número debe ser congruente con 1 módulo 9.

Ahora sólo queda ver cómo se comportan las distintas potencias de 2 módulo 9:
2^1=2 mod 9; 2^{1-1}=1 mod 9, el producto 2^{1-1}(2^1-1)=1 \cdot 1=1 mod 9
2^3=8 mod 9; 2^{3-1}=4 mod 9, el producto 2^{3-1}(2^3-1)=4 \cdot 7=1 mod 9
2^5=5 mod 9; 2^{5-1}=7 mod 9, el producto 2^{5-1}(2^5-1)=7 \cdot 4=1 mod 9
2^7=2 mod 9; 2^{7-1}=1 mod 9, el producto 2^{7-1}(2^7-1)=1 \cdot 1=1 mod 9
A partir de ahí, se repite. Probado que el producto 2^{p-1}(2^p-1) siempre es 1 módulo 9 para todo n impar, también lo es para todo n primo y en particular para los n tales que dicho producto es un número perfecto.

]]> By: Javier http://gaussianos.com/suma-de-digitos-convergente/#comment-11308 Javier Tue, 07 Jul 2009 07:57:12 +0000 http://gaussianos.com/?p=1500#comment-11308 $latex \displaystyle 2 mod 9=2$ $latex 4 mod 9=4$ $latex 8 mod 9=8$ $latex 16 mod 9=7$ $latex 32 mod 9=5$ $latex 64 mod 9=1$ $latex 128 mod 9=2$ Ciclo completado, por tanto Numero perfecto $latex 2^{n-1}*(2^n-1)$ n>2 Si $latex 2^{n-1} mod 9=1$ entonces $latex 2^{n} mod 9=2\ (2^{n}-1) mod 9=1\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=1*1 mod 9=1$ Si $latex 2^{n-1} mod 9=2$ entonces $latex 2^{n} mod 9=4\ (2^{n}-1) mod 9=3\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=1*1 mod 9=6$, pero todo numero con resto 3 o 6 al dividir por 9 que no es el propio 3 es divisible por 3 y 2^{n}-1 no es primo. Si $latex 2^{n-1} mod 9=4 +$ entonces $latex 2^{n} mod 9=8\ (2^{n}-1) mod 9=7\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=4*7 mod 9=28 mod 9=1$ Si $latex 2^{n-1} mod 9=5$ entonces $latex 2^{n} mod 9=1\ (2^{n}-1) mod 9=0\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=0*1 mod 9=0$, pero todo numero con resto 0 al dividir por 9 es multiplo de 9 y no es primo. Si $latex 2^{n-1} mod 9=7 $ entonces $latex 2^{n} mod 9=5\ (2^{n}-1) mod 9=4\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=4*7 mod 9=28 mod 9=1$ Si $latex 2^{n-1} mod 9=8$ entonces $latex 2^{n} mod 9=7\ (2^{n}-1) mod 9=6\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=8*6 mod 9=6$, pero todo numero con resto 3 o 6 al dividir por 9 que no es el propio 3 es divisible por 3 y 2^{n}-1 no es primo. \displaystyle 2 mod 9=2

4 mod 9=4

8 mod 9=8

16 mod 9=7

32 mod 9=5

64 mod 9=1

128 mod 9=2

Ciclo completado, por tanto

Numero perfecto 2^{n-1}*(2^n-1) n>2
Si 2^{n-1} mod 9=1 entonces 2^{n} mod 9=2\ (2^{n}-1) mod 9=1\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=1*1 mod 9=1

Si 2^{n-1} mod 9=2 entonces 2^{n} mod 9=4\ (2^{n}-1) mod 9=3\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=1*1 mod 9=6, pero todo numero con resto 3 o 6 al dividir por 9 que no es el propio 3 es divisible por 3 y 2^{n}-1 no es primo.

Si 2^{n-1} mod 9=4 + entonces 2^{n} mod 9=8\ (2^{n}-1) mod 9=7\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=4*7 mod 9=28 mod 9=1

Si 2^{n-1} mod 9=5 entonces 2^{n} mod 9=1\ (2^{n}-1) mod 9=0\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=0*1 mod 9=0, pero todo numero con resto 0 al dividir por 9 es multiplo de 9 y no es primo.

Si 2^{n-1} mod 9=7 entonces 2^{n} mod 9=5\ (2^{n}-1) mod 9=4\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=4*7 mod 9=28 mod 9=1

Si 2^{n-1} mod 9=8 entonces 2^{n} mod 9=7\ (2^{n}-1) mod 9=6\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=8*6 mod 9=6, pero todo numero con resto 3 o 6 al dividir por 9 que no es el propio 3 es divisible por 3 y 2^{n}-1 no es primo.

]]>