Suma de distancias

Hace unos días Juan F. me enviaba este problema a través de nuestro formulario de contacto:

¿Hay algùn punto en el interior del cuadrado de lado $1$ que cumpla que la suma de las distancias desde dicho punto a los cuatro vértices sea un número racional?

A ver qué conseguimos sacar sobre esta cuestión.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 3 de Marzo de 2009
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18 comentarios

Trackback | 3 Mar, 2009

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epi | 3 de Marzo de 2009 | 11:02

La función suma de distancias a los vértices para un punto $(x,y)$ es

$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}$

$f(0,0)=2+\sqrt{2}$ y $f(1/2,1/2)=2\cdot \sqrt{2}$ .

Toma $g(t):=f((0,0)+t(1/2,1/2)), 0\leq t\leq 1$ , que es continua. Por el teorema de los valores intermedios, $g$ toma todos los valores entre $2\sqrt{2}$ y $2+\sqrt{2}$ . Con lo cual hay infinitos puntos interiores de la forma $t(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ tales que la suma de distancias es racional.
Luis | 3 de Marzo de 2009 | 11:11

Uno facil: el triángulo rectangulo interior de catetos 0,6 y 0,8 e hipotenusa 1 (uno de los lados del cuadrado)tiene su vértice interior en un punto que está a 0,6 ó 0,8 de cada vértice del cuadrado (porque genera cuatro triángulos rectángulos semejantes al tomar como hipotenusas cada uno de los lados del cuadrado).
Toni | 3 de Marzo de 2009 | 17:23

Luis, creo que te equivocas. El punto de coordenadas x=0.48 e y=0.64 forma con los puntos (0,0) y (0,1) un triángulo rectángulo en que la hipotenusa es el lado del cuadrado que va de (0,0) a (0,1).
Distancia((0.48,0.64) a (0,0))=0.8
Distancia((0.48,0.64) a (0,1))=0.6
Hasta aquí todo concuerda con lo que tu dices, pero:
Distancia((0.48,0.64) a (1,1))=raiz(0.4), IRRACIONAL
Distancia((0.48,0.64) a (1,0))=raiz(0.68), IRRACIONAL
Como puedes ver, las dos últimas distancias son irracionales y su suma también lo es.
Además esta partición del cuadrado no genera 4 triángulos rectángulos, sino solo uno, el primero.
madmath | 3 de Marzo de 2009 | 18:17

Consideremos el interior del cuadrado con la topología habitual. Prácticamente por definición se ve que la distancia entre un punto fijo y uno variable es una función continua del cuadrado en la recta. Por lo tanto la suma de distancias a cuatro puntos también es continua. Como el cuadrado es conexo, la imagen es un conexo de la recta, que o bien es un punto o bien un intervalo. Todo intervalo (sea abierto, cerrado o “semiabierto”) contiene puntos racionales, debido a la densidad de Q en R. Basta ver que la función distancia a los cuatro puntos no es constante, lo cual es claro.
Mmonchi | 3 de Marzo de 2009 | 22:12

Creo que un problema interesante sería encontrar un punto para el que las distancias a los cuatro vértices sean todas racionales, o demostrar que no se puede.
Jorge David Castaño Yepes | 3 de Marzo de 2009 | 22:57

Podemos hacer esto:

Definamos la Métrica Discreta en ese cuadrado:
$d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
$d(x,y)=1 \Leftrightarrow x\neq y$

Luego, toda distancia a a los vértices es 1 y su suma es un número racional.
Luis Ulloa | 3 de Marzo de 2009 | 23:27

por favor que se me lo puedan enviar los cursos realizados para estar informado de mundo matematica y sus materias a fines
Sive | 4 de Marzo de 2009 | 3:20

Yo he encontrado un punto concreto en el cual se cumple que la suma de las distancias es, no sólo racional, sino entera.

Para x = y = 0.24634703191136

Se cumple que la suma de las distancias es “exactamente” igual a 3.

Para quien esté interesado en el valor exacto, decir que es una solución de la ecuación de segundo grado:

$2x^2 -2x + 1-v^2=0$

Donde $v$ es:

$v = (3 - \sqrt 2)/2$

La otra solución de la ecuación también es válida, dando lugar a otro punto. Si se toma uno de los valores para la x y el otro para la y, salen otro par de puntos (lo que geométricamente era de esperar).
Jorge David Castaño Yepes | 4 de Marzo de 2009 | 4:32

Me faltó completar mi respuesta:

Están interesados en un punto en el cual la suma de las distancia a los cuatro vertices sea un numero racional,pero no han definido la métrica a usar, luego, con la metrica discreta que he propuesto (si quieren verifican que es metrica) se cumple que cualquier punto cumple la condicion.
Jones, Francisco | 4 de Marzo de 2009 | 9:32

No entiendo la t de Epi
lucagali | 4 de Marzo de 2009 | 16:41

Desde la fórmula para las distancias que ha puesto epi, haciendo x=y llegamos a:
$S = 2\sqrt{x^2+(1-x)^2}+\sqrt{2x^2}+\sqrt{2(1-x)^2} = 2\sqrt{2x^2-2x+1} + \sqrt{2}$
Igualando ahora a un p/q racional:
$latex \sqrt{2x^2-2x+1} = \displaystyle\frac{p/q -\sqrt{2}}{2} \\
2x^2-2x+1 = \left(\displaystyle\frac{p/q -\sqrt{2}}{2}\right)^2$
Resolviendo esta ecuación nos sale como solución positiva:
$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}\,\sqrt{{p}^{2}-2\,\sqrt{2}\,p\,q}+2\,q}{4\,q}$
Por lo que el punto (x,x) está a esa distancia de los vértices, siempre que hayamos tomado p,q dentro de los posibles. La acotación no la he comprobado, pero creo que es hasta el $p/q = \sqrt{3}+\sqrt{2}$
Es lo mismo que ha puesto Sive, tomando en ese caso p/q=3
epi | 5 de Marzo de 2009 | 0:19

Por si se tiene aún interés en esta cuestión: ¿Hay algún punto con ambas coordenadas racionales cuya suma de distancias sea racional?
otro | 5 de Marzo de 2009 | 3:11

La función restringida a $y= \frac{1}{2}$ toma todos los valores entre $2 \sqrt{2}$ y $2 \phi$ . Tiene que haber algún $x$ tal que $f(x, \frac{1}{2} ) = 3$ por lo que ha dicho epi.

Igual me pongo a hacer cuentas mañana, pero ahora a las 2 (perdón, $2$ , que queda más bonito) de la mañana es un pelín tarde… o, mejor dicho, un pelín pronto.
otro | 5 de Marzo de 2009 | 3:21

El $y= \frac{1}{2}$ tiene la ventaja de que las cuentas se simplifican bastante, ya que sólo quedan dos raíces cuadradas en la expresión:

$f(x, \frac{1}{2} ) = 2 \sqrt{x^2 + \frac{1}{4}} + 2 \sqrt{(1-x)^2 + \frac{1}{4}}$
Fernando | 13 de Marzo de 2009 | 3:59

En el problema de los 3 nueves, no entiendo la solución de los números 44 y 47, las cuales empiezan por “tr” que no viene en las normas de aceptación.
44= tr (9^sqrt (sqrt (9)) – .9)
47= tr (9^sqrt (sqrt (9)) + sqrt (9))
La verdad es que no entiendo la solución. Deberé estudiar más.
Si alguien me lo puede esplicar se lo agredecería.
Sive | 17 de Marzo de 2009 | 7:33

otro: Precisamente elegí hacer x=y porque así en el desarrollo me aparecía una sóla raiz, y no dos, como en y=1/2.

Una sola raiz con incógnitas dentro, quiero decir.

Fernando: Habría sido bueno que indicaras que te referías a otro hilo, ya cerrado. Este:

http://gaussianos.com/el-problema-de-los-tres-nueves/

Si lees los comentarios, descubrirás que tr(x) equivale a quitar los decimales de x. Que yo sepa, es una notación que inventaron los participantes sobre la marcha, nada más.
Trackback | 19 Mar, 2009

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