Comments on: Suma de fracciones positiva http://gaussianos.com/suma-de-fracciones-positiva/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 21:24:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: Icosaedro http://gaussianos.com/suma-de-fracciones-positiva/#comment-13429 Icosaedro Thu, 11 Feb 2010 15:22:43 +0000 http://gaussianos.com/?p=2214#comment-13429 Esa suma se puede poner como la suma de sumas de la forma: $latex {{x_a ^2} \over 2a} + 2 {x_a x_b \over a+b}+ {{x_b ^2} \over 2b}$ Esta suma sólo puede ser negativa si el 2º sumando lo es; supongo que los reales son positivos y pongo un signo menos al segundo sumando. Multipicando por 2, sumando y olvidando los denominadores, que son positivos, queda: $latex x_a^2ab + x_a^2b^2-4x_ax_b ab +x_b^2 a^2 + x_b^2ab$ que es $latex (x_a-x_b)^2ab+(x_ab-x_ba)^2 $ que no es negativo. La suma de no negativos es no negativo. Esa suma se puede poner como la suma de sumas de la forma:

{{x_a ^2} \over 2a} + 2 {x_a x_b \over a+b}+ {{x_b ^2} \over 2b}

Esta suma sólo puede ser negativa si el 2º sumando lo es; supongo que los reales son positivos y pongo un signo menos al segundo sumando.

Multipicando por 2, sumando y olvidando los denominadores, que son positivos, queda:

x_a^2ab + x_a^2b^2-4x_ax_b ab +x_b^2 a^2 + x_b^2ab

que es

(x_a-x_b)^2ab+(x_ab-x_ba)^2
que no es negativo.

La suma de no negativos es no negativo.

]]> By: M http://gaussianos.com/suma-de-fracciones-positiva/#comment-13428 M Wed, 10 Feb 2010 10:50:59 +0000 http://gaussianos.com/?p=2214#comment-13428 Pongo la respuesta a la cuestión anterior. No es directa, aunque me parece muy aprovechable. $latex \displaystyle{\sum_{i,j=1}^\infty \cfrac{x_i x_j}{i+j}}=\sum_i x_i\left(\sum_j \dfrac{x_j}{i+j}\right)\leq \left\{\sum_i x_i^2\right\}^{1/2}\left\{\sum_i\left(\sum_j \dfrac{x_j}{i+j}\right)^2\right\}^{1/2}$ (desigualdad de Hölder). De nuevo usando la desigualdad de Hölder podemos escribir: $latex S_1:=\sum_i\left(\sum_j \dfrac{x_j}{i+j}\right)^2=\sum_i\left\{\sum_j\left(\dfrac{1}{\sqrt{i+j}\sqrt[4]{j}}\right)\left(\dfrac{\sqrt[4]{j}}{\sqrt{i+j}}x_j\right)\right\}^2\leq$ $latex \sum_i \left\{\sum_j \dfrac{1}{(i+j)\sqrt{j}}\right\}\left\{\sum_j \dfrac{\sqrt{j}}{i+j}x_j^2\right\}.$ Usando que $latex \sum_j \dfrac{1}{(i+j)\sqrt{j}}\leq \dfrac{\pi}{\sqrt{i}}$ (lo probamos al final) tenemos que $latex S_1\leq \pi\sum_i \dfrac{1}{\sqrt{i}}\sum_j \dfrac{\sqrt{j}}{i+j}x_j^2=\pi \sum_j x_j^2\sqrt{j}\sum_i \dfrac{1}{(i+j)\sqrt{i}}\leq \pi^2\sum_j x_j^2,$ y llevando ésto al principio ya lo tenemos. Finalmente, para ver que $latex S_2:=\sum_j \dfrac{1}{(i+j)\sqrt{j}}\leq \dfrac{\pi}{\sqrt{i}}$, basta acotar la serie por una integral $latex S_2\leq \int_0^\infty \dfrac{dx}{(x+i)\sqrt{x}}=\dfrac{2}{\sqrt{i}}\left\[\arctan\left(\sqrt{\dfrac{x}{i}}\right)\right\]_0^\infty=\dfrac{\pi}{\sqrt{i}}.$ Pongo la respuesta a la cuestión anterior. No es directa, aunque me parece muy aprovechable.

\displaystyle{\sum_{i,j=1}^\infty \cfrac{x_i x_j}{i+j}}=\sum_i x_i\left(\sum_j \dfrac{x_j}{i+j}\right)\leq \left\{\sum_i x_i^2\right\}^{1/2}\left\{\sum_i\left(\sum_j \dfrac{x_j}{i+j}\right)^2\right\}^{1/2} (desigualdad de Hölder).

De nuevo usando la desigualdad de Hölder podemos escribir:

S_1:=\sum_i\left(\sum_j \dfrac{x_j}{i+j}\right)^2=\sum_i\left\{\sum_j\left(\dfrac{1}{\sqrt{i+j}\sqrt[4]{j}}\right)\left(\dfrac{\sqrt[4]{j}}{\sqrt{i+j}}x_j\right)\right\}^2\leq \sum_i \left\{\sum_j \dfrac{1}{(i+j)\sqrt{j}}\right\}\left\{\sum_j \dfrac{\sqrt{j}}{i+j}x_j^2\right\}.

Usando que \sum_j \dfrac{1}{(i+j)\sqrt{j}}\leq \dfrac{\pi}{\sqrt{i}} (lo probamos al final) tenemos que

S_1\leq \pi\sum_i \dfrac{1}{\sqrt{i}}\sum_j \dfrac{\sqrt{j}}{i+j}x_j^2=\pi \sum_j x_j^2\sqrt{j}\sum_i \dfrac{1}{(i+j)\sqrt{i}}\leq \pi^2\sum_j x_j^2, y llevando ésto al principio ya lo tenemos.

Finalmente, para ver que S_2:=\sum_j \dfrac{1}{(i+j)\sqrt{j}}\leq \dfrac{\pi}{\sqrt{i}}, basta acotar la serie por una integral

S_2\leq \int_0^\infty \dfrac{dx}{(x+i)\sqrt{x}}=\dfrac{2}{\sqrt{i}}\left\[\arctan\left(\sqrt{\dfrac{x}{i}}\right)\right\]_0^\infty=\dfrac{\pi}{\sqrt{i}}.

]]> By: M http://gaussianos.com/suma-de-fracciones-positiva/#comment-13427 M Tue, 09 Feb 2010 21:23:31 +0000 http://gaussianos.com/?p=2214#comment-13427 hernan, otra forma de ver que la matriz de Hilbert (o la trasladada que aparece en este caso) es definida positiva es usando el valor del determinante (que se conoce explícitamente: ver matrices de Cauchy en la wikipedia, por ejemplo). Como cada menor principal de la matriz vuelve a ser una matriz tipo Hilbert tenemos que todos son positivos. Pero esto exigiría demostrar la expresión conocida para el determinante. Relacionado con el problema propuesto, propongo ahora la siguiente acotación superior: $latex \displaystyle{\sum_{i,j=1}^\infty \cfrac{x_i x_j}{i+j}} \leq \pi \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty x_k^2$ para cualquier sucesión de números reales $latex \{x_k\}$ tal que la suma del lado derecho converja. hernan, otra forma de ver que la matriz de Hilbert (o la trasladada que aparece en este caso) es definida positiva es usando el valor del determinante (que se conoce explícitamente: ver matrices de Cauchy en la wikipedia, por ejemplo). Como cada menor principal de la matriz vuelve a ser una matriz tipo Hilbert tenemos que todos son positivos. Pero esto exigiría demostrar la expresión conocida para el determinante.

Relacionado con el problema propuesto, propongo ahora la siguiente acotación superior:

\displaystyle{\sum_{i,j=1}^\infty \cfrac{x_i x_j}{i+j}} \leq \pi \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty x_k^2 para cualquier sucesión de números reales \{x_k\} tal que la suma del lado derecho converja.

]]> By: josejuan http://gaussianos.com/suma-de-fracciones-positiva/#comment-13426 josejuan Tue, 09 Feb 2010 20:52:03 +0000 http://gaussianos.com/?p=2214#comment-13426 Gracias Jose por tu confianza, pero no, soy algo bruto y pretendía hacerlo de golpe. Aunque en mis últimos intentos al hacer que S(n+1)=S(n)+f(Xn+1) me salía "algo parecido". La tuya "Zelig" me deja pasmao, aunque para llegar a eso hay que tener muy frescos los "intermedios" que usas. Gracias Jose por tu confianza, pero no, soy algo bruto y pretendía hacerlo de golpe.

Aunque en mis últimos intentos al hacer que

S(n+1)=S(n)+f(Xn+1)

me salía “algo parecido”.

La tuya “Zelig” me deja pasmao, aunque para llegar a eso hay que tener muy frescos los “intermedios” que usas.

]]> By: Jose http://gaussianos.com/suma-de-fracciones-positiva/#comment-13425 Jose Tue, 09 Feb 2010 19:41:38 +0000 http://gaussianos.com/?p=2214#comment-13425 Yo creo que la prueba de José Juan es salvable. Supongo que él quería probar miembro a miembro que (x(i)^2)/2i + (x(j)^2)/2j + 2(x(i)*x(j))/i+j >= 0 Si x(i)*x(j)>=0 la respuesta es inmediata Si x(i)*x(j)< 0 entonces si se cumple lo que dijo en sus primeros comentarios(ojo a la hipótesis). Con lo que tendríamos cubierto cualquier caso. Ya que la suma de estos miembros es lo que se nos pide, se concluye que es no negativo. Disculpen, que no se usar latex :P Yo creo que la prueba de José Juan es salvable. Supongo que él quería probar miembro a miembro que
(x(i)^2)/2i + (x(j)^2)/2j + 2(x(i)*x(j))/i+j >= 0
Si x(i)*x(j)>=0 la respuesta es inmediata
Si x(i)*x(j)< 0 entonces si se cumple lo que dijo en sus primeros comentarios(ojo a la hipótesis). Con lo que tendríamos cubierto cualquier caso.

Ya que la suma de estos miembros es lo que se nos pide, se concluye que es no negativo.

Disculpen, que no se usar latex :P

]]> By: hernan http://gaussianos.com/suma-de-fracciones-positiva/#comment-13424 hernan Tue, 09 Feb 2010 18:39:46 +0000 http://gaussianos.com/?p=2214#comment-13424 Ingenioso. No conocía la matriz de Hilbert. ¿Se sabe de algún otro tipo de razonamiento (sin análisis) para demostrar que nuestra matriz es definida positiva? Ingenioso. No conocía la matriz de Hilbert.
¿Se sabe de algún otro tipo de razonamiento (sin análisis) para demostrar que nuestra matriz es definida positiva?

]]> By: M http://gaussianos.com/suma-de-fracciones-positiva/#comment-13423 M Tue, 09 Feb 2010 16:31:26 +0000 http://gaussianos.com/?p=2214#comment-13423 Sí señor, Zelig! $latex \displaystyle{\sum_{i,j=1}^n \cfrac{x_i x_j}{i+j}}=\int_0^1 \left(\sum_{i=1}^n x_i t^{i-1/2}\right)^2dt\geq 0$. Este razonamiento se usa para probar que la célebre matriz de Hilbert ($latex a_{ij}:=\frac{1}{i+j-1}$) es definida positiva. Sí señor, Zelig! \displaystyle{\sum_{i,j=1}^n \cfrac{x_i x_j}{i+j}}=\int_0^1 \left(\sum_{i=1}^n x_i t^{i-1/2}\right)^2dt\geq 0.

Este razonamiento se usa para probar que la célebre matriz de Hilbert (a_{ij}:=\frac{1}{i+j-1}) es definida positiva.

]]> By: Zelig http://gaussianos.com/suma-de-fracciones-positiva/#comment-13422 Zelig Tue, 09 Feb 2010 16:22:54 +0000 http://gaussianos.com/?p=2214#comment-13422 A ver qué tal. Por un lado tenemos que $latex \frac{1}{i+j}=\int_0^1t^{i+j-1}\,dt;$ por otro lado definimos el polinomio $latex tp(t)=\sum_{i=1}^nx_it^i.$ Entonces $latex \sum_{i,j=1}^n\frac{x_ix_j}{i+j}=\int_0^1tp(t)^2\,dt\ge 0.$ A ver qué tal. Por un lado tenemos que
\frac{1}{i+j}=\int_0^1t^{i+j-1}\,dt;
por otro lado definimos el polinomio
tp(t)=\sum_{i=1}^nx_it^i.
Entonces
\sum_{i,j=1}^n\frac{x_ix_j}{i+j}=\int_0^1tp(t)^2\,dt\ge 0.

]]> By: M http://gaussianos.com/suma-de-fracciones-positiva/#comment-13421 M Tue, 09 Feb 2010 12:46:37 +0000 http://gaussianos.com/?p=2214#comment-13421 Lamento volver a dar la vara, pero hemos vuelto al mismo error de josejuan. La primera desigualdad de pastrana no es válida por la misma razón de antes: los $latex x_i$'s pueden tener signos diferentes en general. A mi modo de ver, el problema no está resuelto ni mucho menos. Creo que estamos igual que al principio, pues la no negatividad de la forma cuadrática dada o el hecho de que la matriz hessiana de orlin es definida positiva son cosas equivalentes. Lamento volver a dar la vara, pero hemos vuelto al mismo error de josejuan. La primera desigualdad de pastrana no es válida por la misma razón de antes: los x_i’s pueden tener signos diferentes en general.

A mi modo de ver, el problema no está resuelto ni mucho menos. Creo que estamos igual que al principio, pues la no negatividad de la forma cuadrática dada o el hecho de que la matriz hessiana de orlin es definida positiva son cosas equivalentes.

]]> By: roldan http://gaussianos.com/suma-de-fracciones-positiva/#comment-13420 roldan Tue, 09 Feb 2010 12:32:20 +0000 http://gaussianos.com/?p=2214#comment-13420 Esto prueba que la forma es semidefinida positiva, y tambien el problema propuesto. Sin embargo la forma tiene toda la pinta de ser definida positiva. Esto prueba que la forma es semidefinida positiva, y tambien el problema propuesto.
Sin embargo la forma tiene toda la pinta de ser definida positiva.

]]>