Suma de inversos de cuadrados de trigonométricas
Os traigo hoy el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:
Demostrar que
Repito: demostrar. Que se os dé bien 
.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 13 de September de 2011
Categorías: Juegos | 
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Ignacio Larrosa Cañestro | 13 de September de 2011 | 17:37
Recordando que 1/sen^2(x) = 1 + cotg^2(x), la expresión a demostrar es equivalente a
cotg^2(pi/14) + cotg^2(3pi/14) + cotg^2(5pi/14) = 21
ó
tg^2(pi/7) + tg^2(3pi/7) + tg^2(5pi/7) = 21
Estos tres ángulos son tales que el seno de 7 veces ellos es cero. Utilizando la fórmula de De Moivre, tenemos que, abreviando cos(x) por c y sen(x) por s,
(cos(7x) + i*sen(7x)) = (c + i*s)^7
Tomando la parte imaginaria,
sen(7x) = 7c^6s – 35c^4s^3 + 21c^2s^5 – s^7
¡Ya tenemos aquí el 21 que necesitamos!
Para x igual a cualquiera de nuestros tres ángulos, y sus suplementarios, sen(7x) = 0. Nos queda para ellos,
7c^6s – 35c^4s^3 + 21c^2s^5 – s^7 = 0
Dividiendo por s, solución correspondiente al ángulo de 0º, y cor c^6, distinto de cero para todos ellos, y llamando t a la tangente, nos queda
7 – 35t^2 + 21t^4 – t^6 = 0
ó
t^6 – 21t^4 + 35t^2 – 7 = 0
Las seis soluciones de esta ecuación son las tangentes de los tres ángulos que nos interesan y las de sus suplementarios, que son opuestas. Haciendo w = t^2, tenemos
w^3 – 21w^2 + 35w – 7 = 0
Por tanto, por Cardano-Vieta, la suma de las soluciones, los cuadrados de las tangentes, se 21/1 = 21.
Ignacio Larrosa Cañestro | 13 de September de 2011 | 18:48
Bueno, al pasar de cotangentes a tangentes, tomando los complementarios, no cambie los números. Debe ser:
tg^2(pi/7) + tg^2(2pi/7) + tg^2(2pi/7) = 21
El resultado evidentemente se puede generalizar:
Sum(tg^2(k*pi/(2n+1), k, 1, n) = Comb(2n + 1, 2) = n(2n + 1)
O bien,
Sum(cotg^2((2n + 1 – 2k)*pi/(2(2n+1)), k, 1, n) = n(2n + 1)
Sum(cotg^2((2k + 1)*pi/(2(2n+1)), k, 0, n-1) = n(2n + 1)
O bien
Sum(1/sen^2((2k + 1)*pi/(2(2n+1)), k, 0, n-1) = n(2n + 1) + n = 2n(n + 1)
Otro resultado relacionado es:
Sum(tan^2(k*pi/(2(n+1))), k, 1, n) = n(2n + 1)/3
(http://oeis.org/A014105, 5º comentario)
P.S.: El LaTeX no es lo mío …
Sm4o | 13 de September de 2011 | 19:16
Una duda Ignacio, ¿por qué buscas como resultado 21? ¿El problema no pide demostrar que da 24?
Y por último, cotg(x)=1/tg(x), según wikipedia, por tanto, no entiendo cómo has pasado los 1/sin^2 a cotg^2.
Ignacio Larrosa Cañestro | 13 de September de 2011 | 19:28
#Sm4o, las dos cuestiones están relacionadas:
1/sen^2(x) = 1 + cotg^2(x)
De ahi sale un 1 por dada sumando, 3 en este caso, que debemos restar al 24.
La igualdad es inmediata:
1/sen^2(x) = (sen^2(x) + cos^2(x))/sen^2(x) = 1 + cotg^2(x)
Sm4o | 13 de September de 2011 | 19:53
Maravilloso! Ya lo entiendo, hay que restar 1 por cada sumando para conseguir la igualdad entre cotg y sin. Con el tiempo surgirán más dudas, ya que de momento sólo me he fijado en esta parte de la solución.
Gracias Ignacio, un saludo!
Sebas | 14 de September de 2011 | 19:01
He deducido la ecuación 4x+4x^2-8x^3=1 para calcular el seno pi/14 y apartir de aqui sigo en ángulos multiples, no es muy ortodoxo pero he explotado las aportaciones que hice en el problema 13 de El Pais.
Ignoro si la ecuación que aporto es inedita o no y si puede tener utilidad para el cálculo de relaciones trigonométricas
Saludos
Nicolás | 18 de September de 2011 | 15:23
Hola Ignacio! Me gustó tu post y lo iba entendiendo hasta la parte que dice “tomando parte imaginaria sen (7x) = …. ” ahi me perdi :S
Ignacio Larrosa Cañestro | 18 de September de 2011 | 22:05
Pues continuemos a partir de ahí, desarrollando el segundo término mediante la fórmula del binomio:
(cos(7x) + i*sen(7x)) = (c + i*s)^7 =
Comb(7, 0)c^7s^0*i^0 + Comb(7, 1)c^6s^1i^1 + Comb(7, 2)c^5s^2i^2
+ Comb(7, 3)c^4s^3i^3 + Comb(7, 4)c^3s^4i^4 + Comb(7, 5)c^2s^5i^5
+ Comb(7, 6)c^1s^6i^6 + Comb(7, 7)c^0s^7i^7 =
Reemplazamos los números combinatorios (7, k) por 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 para k = 0..7, y i^k por 1, i, -1, -i, 1, i -1, -i, también para k = 0..7:
c^7 + 7c^6s*i – 21c^5s^2 – 35c^4s^3*i + 35c^3s^4 + 21c^2s^5*i – 7c*s^6 – s^7i =
(c^7 – 21c^5s^2 + 35c^3s^4 – 7c*s^6) + (7c^6s – 35c^4s^3 + 21c^2s^5 – s^7)*i
En esta igualdad entre números complejos, podemos igualar por separado las partes reales y las imaginarias. obtenemos así las dos igualdades:
cos(7x) = c^7 – 21c^5s^2 + 35c^3s^4 – 7c*s^6
sen(7x) = 7c^6s – 35c^4s^3 + 21c^2s^5 – s^7
Si ahora reemplazamos c^2 = 1 – s^2 e igualamos a cero, tendremos una ecuación de grado 7 en s, cuyas soluciones serán todos los senos de los ángulos x, tales que sen(7x) = 0.
¿Pero cuales son estos senos? los de los ángulos pi/7 + 2pi*k/7, k = 0..6 y 0 + k*2pi/7, k = 0..7. Pero los senos de estos 14 ángulos se repiten, pues los senos de ángulos que sumen pi son iguales. De los 7 valores no repetidos que quedan, uno es 0, sel seno de 0 y de pi, y los otros 6 los podemos agrupar en tres pares de igual valor absoluto y signo opuesto, correspondientes a ángulos que se diferencian en pi.
Si dividimos por s, descartamos la solución s = 0, con lo que nos queda una ecuación cuyas soluciones son los otros seis valores (tres pares de valores opuestos):
7c^6 – 35c^4s^2 + 21c^2s^4 – s^6 = 0
No olvides que c^2 = 1 – s^2, luego esto es una ecuación de grado 6 en s, y solo con términos de exponente par. Para todas las soluciones, c=/=0, por lo que podemos dividir la ecuación por c^6 sin perder soluciones. llamando t = s/c, nos queda una ecuación que verificaran las tangentes de estos ángulos:
7 – 35t^2 + 21t^4 – t^6 = 0
Como solo hay términos pares, podemos hacer w = t^2. Nos queda una ecuación de grado 3 en w, cuyas soluciones son los tres valores de los cuadrados de las tangentes de esos seis ángulos, puesto que al elevar al cuadrado solo quedan tres valores distintos:
w^3 – 21w^2 + 35w – 7 = 0
Las soluciones de esta ecuación son entonces los cuadrados de las tangentes de los ángulos pi/7, 2pi/7 y 3pi/7. Si estos son w1, w2 y w3, tenemos que kla anterior ecuación es la misma que
(w – w1)(w – w2)(w – w3) = 0
Desarrollando e igualando coeficientes, obtenemos las relaciones de cardano-vieta, entre las raíces y los coeficientes de una ecuación polinómica. En particular, para el término en w^2 nos queda:
-21 = -(w1 + w2 + w3)
Por lo que la suma de los tres cuadrados de las tangentes de esos ángulos es 21.
Deshaciendo el camino inicial, pasando a los ángulos complementarios, llegamos a que:
cotg^2(pi/14) + cotg^2(3pi/14) + cotg^2(5pi/14) = 21
Y sumando 1 a cada sumando del primer miembro y 3 al segundo miembro, a:
1/sen^2(pi/14) + 1/sen^2(3pi/14) + 1/sen^2(5pi/14) = 24
Lo que siguiendo los mismos pasos, se puede generalizar a:
Sum(1/sen^2((2k + 1)*pi/(2(2n+1)), k, 0, n-1) = 2n(n + 1)
NaClU2 …
Nicolás | 18 de September de 2011 | 22:25
Increible Ignacio ahora si he entendido muchas gracias por tomarte el trabajo de explicarlo todo!!