Suma de inversos sin nueves

Os traigo hoy el primer problema de la semana de este veraniego mes de agosto problema de la semana en Gaussianos. El enunciado es el siguiente:

Sea M el conjunto de todos los enteros positivos que (en base 10) no contienen la cifra 9. Demostrar que si tomamos n elementos \{ x_1, \ldots , x_n \} arbitrarios y distintos de M, entonces

\displaystyle{\sum_{i=1}^n \cfrac{1}{x_i} < 80}

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

17 Comentarios

  1. No es por sonar repelente, pero creo que sería mejor poner “que no estén en M” a “distintos de M”.

    Publica una respuesta
  2. Creo que hay algo que no ha quedado claro. Los x_{i}, ¿han de ser distintos entre sí? Porque si no tienen por qué ser distintos está claro que es falso.

    Martxelo

    Publica una respuesta
  3. Si lo entiendo bien, lo que quiere decir es que tomamos n elementos de M arbitrarios y distintos entre sí.

    Publica una respuesta
  4. “Arbitrarios y distintos” significa eso mismo: arbitrarios y distintos. Por tanto sí, los x_i son distintos entre sí. Lo de “de M” significa que los elementos pertenecen a M.

    Publica una respuesta
  5. Sea S el sumatorio anterior. Veremos que la serie de término general 8 cdot (9/10)^n acota a S y toma de valor 80 (el valor se deduce a partir de la fórmula de la suma de una serie geométrica).

    Dicha acotación se produce porque:

    1 es el valor del primer término con denominador de una cifra. Hay 8 términos de dos cifras.
    1/10 es el valor del primer término con denominador de dos cifras. Hay 8*9 términos de dos cifras.
    1/100 es el valor del primer término con denominador de tres cifras. Hay 8*9*9 términos de tres cifras.

    De ahí se deduce que 8 cdot (9/10)^n acota la suma para los términos de “n” cifras. En consecuencia la serie infinita de término general 8 cdot (9/10)^n acota cualquier suma finita de elementos de la serie.

    ***La cantidad de números de “n” cifras sin 9s se obtiene como 8 cdot 9^(n-1) y se deduce a partir de que 8 cifras pueden ocupar el primer lugar (1,2,..8) y 9 cifras el resto de lugares (0,1,…8)

    Publica una respuesta
  6. Es muy fácil porque la aproximación es muy mala. ¡Qué menos que demostrarlo para 30 ó 25!

    Publica una respuesta
  7. Muy bonito problema o mejor dicho, muy bonita propiedad de (las inversas de) los enteros desprovistos de la cifra 9. Me parece que se podría cambiar el 9 por otra cifra y me pregunto si es 80 la mejor cota, es decir si la suma correspondiente a todos los elementos de M es igual a 80 (es claro que es menor o igual). Pienso sobre todo en la demostración de Euler sobre la infinitud de primos, según la cual la suma de las inversas de los primos tiende a infinito; es pensando en esto que me parece que 80 es “demasiado pequeño” y de ahí lo llamativo del problema (que no he intentado resolver).

    Publica una respuesta
  8. Respondiendo al reto de Golvano de mejorar la cota:
    Llamamos S[n] a la suma de los inversos de los números de M que tienen a lo sumo n cifras.
    Llamamos s[n] a la suma de los inversos de los números de M que tienen exactamente n cifras.
    Llamamos s_i[n] a la suma de los inversos de los números de M que tienen exactamente n cifras y terminan por la cifra i .
    Para n>1,
    1) s_0[n]=\frac{s[n-1]}{10}.
    2) s_i[n] < s_0[n] para i\neq 0 (comparando sumando a sumando, dadas las primeras n-1 cifras, tiene mayor inverso el que termina con la cifra 0).
    3) s[n]=s_0[n]+s_1[n]+…+s_8[n]<9\cdot s_0[n]=\frac{9}{10}s[n-1].
    3) s[n]<\left(\frac{9}{10}\right)^{n-1}s[1] (por inducción.)
    4) S[n]=s[1]+s[2]+…+s[n]<10s[1] independientemente de n (al estar acotada por progresión geométrica de razón \frac{9}{10}).
    Con la cota trivial s[1]<8, obtenemos S[n]<80.
    Si evaluamos exactamente s[1]=\frac{761}{280}, obtenemos una cota mucho mejor, S[n]<\frac{761}{28}<28.
    Si evaluamos exactamente hasta s[m], podemos incluso refinar un poco las expresiones anteriores para llegar a la expresión S[n]<S[m]+9s[m], que va dando una cota mejor según aumenta m.

    Publica una respuesta
  9. Sí, eso es lo que había hecho yo. Con m=2 ya daba 24 o algo así.

    Publica una respuesta
  10. Mmm, sólo por curiosidad, qué valor toma exactamente la suma desde 1 hasta infinito? Es racional?

    Publica una respuesta
  11. Oh, gracias! Es una pena que no conozcamos su valor exacto (como \frac{\pi^2}{6} o \ln2 ) y esos valores tan chulos que dan los sumatorios, verdad?

    Publica una respuesta
  12. Parece que sólo se puede obtener por aproximación.

    Intuitivamente, parece que tiene que ser irracional ¿no?

    Seguro que hay formas mucho mejores de hacerlo, pero el método de arriba se puede modificar ligeramente para obtener una cota inferior, con lo que aumentando m se podría ir obteniendo un intervalo cada vez más pequeño.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com Valora en Bitacoras.com: Os traigo hoy el primer problema de la semana de este veraniego mes de…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *