Suma de potencias complejas

Vamos con un ejercicio relacionado con números complejos:

Sean

Exponencial compleja

y

Suma de potencias complejas

Calcular el valor de A a mano, es decir, sin calculadoras, programas informáticos ni similares.

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

75 Comentarios

  1. Que bueno! No se como lo hizo Tito Eliatron y puede que ponga alguna barbaridad en el desarrollo, pero yo utilizaría la identidad de Euler (que maravilla de fórmula). http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Euler

    e^(i·pi) + 1 =0 por lo que e^(i·pi) = -1

    Entonces e^[(2·pi·i)/11]=(-1)^(2/11) que sería la raíz11((-1)^2)=1

    En todos los casos 1^k=1, bueno tal vez no para 1^infinito 😉 z^9=1, z^100=1…

    Por lo que me da 11·1= 11

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  2. Me extraña que de igualmente 1 sean cuales sean los exponentes, habrá algún error en lo que he puesto. Lo de la barbaridad va por lo que pueda haber puesto yo, no vaya alguien a pensar que va por Tito( esto de que coincidan la 1ª y 3ª pers, ponga yo, ponga él…);). Y a la espera de sus respuestas como dijo en cierta ocasión el matemático Benjamin Peirce a sus alumnos refiriéndose a la identidad de Euler:

    “Caballeros, esto es sin duda cierto, es absolutamente paradójico, no podemos comprenderlo y no sabemos lo que significa, pero lo hemos demostrado y, por lo tanto, sabemos que debe ser verdad”.

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  3. Tito Eliatron no es 2. De todas formas, ¿qué has hecho para llegar a eso?

    Sable tienes que calcular el valor de A.

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  4. De acuerdo (te creo pero no lo comprendo), lo que no alcanzo a ver es donde está el error del comentario 2. Según la identidad de Euler e^(pi·i)=-1, si introducimos esto dentro de z=e^[(2·pi·i)/11] nos queda z=(-1)^(2/11)=1

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  5. Efectivamente A= 11
    Por la formula de Euler e**(i*pi)-1=0 en la que relaciona los 5 numeros mas usados en matematicas. Genial Euler.

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  6. A=1+2*(cos(2pi/11)+cos(6pi/11)+cos(8pi/11)+cos(10pi/11)+cos(18pi/11))
    +2*i*(sen(2pi/11)+sen(6pi/11)+sen(8pi/11)+sen(10pi/11)+sen(18pi/11))

    donde i=sqrt(-1)

    Ahora… el chorizo que queda como se simplifica?

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  7. En mi primer intento básicamente usé el método “MHT”, es decir, ME HE TANGADO.

    Ahora creo que sí:

    Paratamos de que z^11=Exp[22Pi i/11]=Exp[2Pi i]=1

    z^16 = z^11·z^5 = z^5
    z^25 = z^22·z^3 = z^3
    z^36 = z^33·z^3 = z^3
    z^49 = z^44·z^5 = z^5
    z^64 = z^55·z^9 = z^9
    z^81 = z^77·z^4 = z^4
    z^100 = z^99·z = z

    Por tanto A=1+2z(1+z^2+z^3+z^4+z^8) y hasta ahí podemos leer

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  8. a mí me gusta más la solución “3”, donde las potencias pares son igual a 1 y las impares a -1, haciéndolo de cabeza. aunque no estoy seguro de que sobre el papel no me liara al intentar demostrarlo.

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  9. El fallo del comentario dos es el siguiente:

    Efectivamente queda (-1)^(2/11). De ahí: ((-1)^2)^(1/11)=1^(1/11). Pero eso en números complejos no es solamente 1. Al hacer raíz 11 del número complejo 1 salen 11 resultados. Espero haberme explicado.

    Por otra parte, no, el resultado no es ni 0, ni 2 ni 11.

    Paco no te metas con senos y cosenos que complicas más la cosa :P.

    Tito en este comentario va por el buen camino. Seguid por ahí y llegaréis a la solución.

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  10. Ya está entendido, no había reparado en eso. Gracias ^DiAmOnD^

    Seguiremos intentándolo 😉

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  11. A=1+z+z^4+z^9+z^16+z^25+z^36+z^49+z^64+z^81+z^100
    zA= z+z^2+z^5+z^10+z^17+z^26+z^37+z^50+z^65+z^82+z^100

    (1-z)A=1+z^2+z^4+z^6+z^8+z^10+z^12+z^14+z^16+z^18-z^101
    = (z^18*z^2-1)/(z^2-1) – z^2 =(z^20-1)/(z^2-1)-z^2
    Pero como z^20=z^{-2}=1/z^2

    (1-z)A=(1/z^2 – 1)/(z^2-1)-z^2 = -1/z^2-z^2 = -(z^4+1)/z^2

    Luego

    A=-(z^4+1)/[z^2(1-z)]=(z^4+1)/[z^2(z-1)]

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  12. Tito Eliatron. Me parece que cuando restas las dos primereras igualdades cometes un error.

    z^4 – z^2 entre otros no es igual a z^2
    Lo demás no alcanzo a comprenderlo.

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  13. Siguiendo un post de Tito Eliatron:
    A=1+2z(1+z^2+z^3+z^4+z^8)

    Poniendolo por separado:
    A = 1 + 2z + 2z^3 + 2z^4 + 2z^5 + 2z^9
    S = A – 2z^9 + 1 + 2z^2 =
    = 2(1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5)
    Usando la formula para calcular el sumatorio:
    S = 2(1 – z^6)/(1 – z)
    Volviendo a A:
    A = S – 1 – 2z^2 + 2z^9 =
    = 2(1 – z^6 -1 + z)/(1 – z) – 2z^2 + 2z^9 =
    = 2(z – z^6)/(1 – z) – 2z^2 + 2z^9 =
    = 2(1 – z^5) – 2z^2 + 2z^9 =
    = 2 – 2z^2 + 2z^5 + 2z^9

    No se si esto lo complica mas, o lo deja igual

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  14. Mi idea es la siguiente :
    Partiendo de lo que Finolis ha dicho precedentemente, es decir, que A=1+2(z+z^3+z^4+z^5+z^9) , deducimos que 1/2*(A-1) = z+z^3+z^4+z^5+z^9 (1) , y poniendo 2iPI/11= B, (1) es equivanente a 1/2*(A-1)= cos(B)+cos(3B)+cos(4B)+cos(5B)+cos(9B)+i(sin(B)+sin(3B)+sin(4B)+sin(5B)+sin(9B)) , y el problema se reduce entonces a calcular Re(1/2*(A-1))=cos(B)+cos(3B)+cos(4B)+cos(5B)+cos(9B) e Im(1/2*(A-1))=sin(B)+sin(3B)+sin(4B)+sin(5B)+sin(9B) en funcion de sin(B) y cos(B) para deducir de ello el valor de 1/2*(A-1) y por lo tanto el de A ; el problema es entonces desarrollar cos(3B), cos(5B), cos(9B),…. ya que con las formulas de duplicacion podemos encontrar el valor de , por ejemplo, cos(4B) en funcion del de cos(B) y sin(B) , epro no el de cos(3B) [ es evidente ] ; e lo que no se es la formula que da cos(3B) , etc, en funcion de cos(B) y sin(B)..
    un saludo

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  15. (postdata: cuando hacia referencia a finolis en realidad me referia a Tito Eliatron ; lo siento )

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  16. hola, llevo mucho tiempo leyendo éste blog y me parece de los mas interesantes de por aquí cerca… jejje

    bueno, no se,yo aporto una idea distinta… igual a mas de uno se le ha ocurrido pero le da vergüenza ponerla….

    si nos fijamos A=SUM(z^(2n))de 0 a 100 si no me equivoco(que puede que muy facilmente) corresponde a la serie geométrica SUM(a*r^n) si r

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  17. vaya! empiezo bien, joer con el menor! pues eso que si es menor que 1 pues el sumatorio se puede aproximar por 1/1-r….mmmm cambiamos r por z quitamos los ultimos términos del sumatorio…. aplicamos alguna porpiedad como la de euler…… sacamos el Matlab y ya está ¡resuelto! jejejejje… espero que la base valga para algo…el resto.. para el club de la comedia……

    espero no estorbar mucho, gracias

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  18. cachis!!!! esto pasa por escribir sin pensar…. pues va a ser que z² no va ser menor que 1 me da a mi… pues nada…. as eguir rayandose.. pero poco…..

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  19. De tito:A=1+2z(1+z^2+z^3+z^4+z^8)=
    1+2(z+z^3+z^4+z^5+z^9)=1+2(z+z^3+z^5+z^7+z^9) y esto ya es mas conocido , los calculos mas axcesibles.

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  20. ups me falto algo:a=1+2(z+z^3+z^5+z^7+z^9-2iSen(14pi/11))

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  21. Por ahí se ven cosas que van bien. Os falta una idea feliz y después atar cabos. A ver a quién se le ocurre.

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  22. Va a haber que implementar algún sistema del tipo MathML para los comentarios, que lío!!

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  23. A estas horas de la madrugada no sé si pienso bien, pero creo que z=z^n, siendo n cualquier número natural.
    Me explico:
    z=e^((2PIi)^(1/11))
    z^n=e^((2nPIi)^(1/11))
    Por tanto, como e^(2PIi)=e^(2nPIi), tenemos que z=z^n
    Ahora, tomando 1 como z^0, tenemos que:
    A=11z, pero ya me he quedado atascado.

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  24. @ [b]LUIS JAVIER [/b] : Ten cuidado, (e^(iB))^n = e^(iBn) unicamente si n es un entero NATURAL ( Formula de Moivre ); en tu caso es una fracción, por lo que no funciona ; de hecho, haciendo como haces tu , se puede llegar a demostrar que todos los reales son igual a 1 [ el link es este : http://bacamaths.net/punbb/t7619-Impossible%21%21%21.html (es un post mio en un foro francés ).

    En cuanto al problema en cuestion, sabiendo que 1/2*(A-1) = z+z^3+z^4+z^5+z^9 , se me ha ocurrido ver eso asi : 1/2(A-1) = (z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9)- (z^2)-(z^6+z^7+z^8) , pero aplicando la conocida formula de suma de una sucesion geometrica, no consigo tener un resultado satisfactorio
    Un saludo

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  25. No se si se ve claro donde cometes el error: TU afirmas que >
    UNO : si con ello afirmas que z= e^( L ) donde L=(2iPI)^(1/11) [ es lo que pone ], entonces estas elevando e a la raiz 11-ava de 2iPI ( y que hay por lo tanto 11 valores posibles tal y cono dijo ^DiamonD^ ( existe 11 numeros complejos de modulo uno tal que su argumento( tomado en el intervalo [-PI;PI[ )multiplicado poir 11 sea un multiplo de 2PI , de donde salen las 11 raices onceavas de un nº complejo
    DOS : si con ello querias afirmar que> , es ahi donde esta el error dado que 1/11 no es natural, por lo que no existe la igualdad .
    En todo caso, esta mal ( creo yo, vamos ), aparte de que es evidente que z^n es diferente de z salvo que el resto al dividir n por 11 sea 1
    espero haberte y haberos ayudado

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  26. joder , ha salido mal el post, habia coasa que he puesto entre comillas de estas que no ha salido : En mi 1º linea, lo que digo que el afirma es “z=e^((2PIi)^(1/11))”
    En la frase que empieza por “DOS “, lo que digo que quizas elk querioa afirmar es ” z= (e^(2iPI) )^ ( 1/11)
    Lo siento por el error y por alejarme un poco del tema pero creo que estas cosas hay que tenerlas claras; un saludo

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  27. CREO QUE LO TENGO
    PArtamos de 1/2*(A-1)= cos(B)+cos(3B)+cos(4B)+cos(5B)+cos(9B)+i(sin(B)+sin(3B)+sin(4B)+sin(5B)+sin(9B)) , y pongamos f(n)= cos(nB)+isin(nB) = (cos(B)+isin(B))^n ( formula de moivre )
    Gracias a ello podemos expresar cos(3B), sin(3B), cos(4B), sin(4B), … en funcion de cos(B) y sin(B)
    Ejemplo:
    f(3)= cos(3B)+isin(3B) = (cosB+isinB)^3 = (cosB)^3-i(sinB)^3+3(cosB)^2*isinB -3cosB*(sin(B)^2)
    es decir , cos(3B)+isin(3B) =(cosB)^3-i(sinB)^3+3(cosB)^2*isinB -3cosB*(sin(B)^2) ;
    igualando parte real e imaginaria, tenemos:
    PARtE REAL: cos(3B)= (cos(B))^3-3cos(B)*(sin(B))^2
    Parte Imaginaria: sin(3B)=-(sin(B))^3+(3cos(B))^2*sin(B)

    Haciendo lo mismo con f(4), f(5), f(9), conseguimos exprimir 1/2(A-1) gracias unicamente a cos(B) y sin(B), de donde deducimos el valor de A.
    (Nota : no lo voy a detallar porque todavia me quedan examenes y detallarlo va a ser muy largo y me va a tomar un buen rato)
    Nos vemos

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  28. Hay por ahi un resultado bastante simplificado:
    A = 2 – 2z^2 – 2z^5 + 2z^9

    Agrupando terminos:
    A = 2[ 1 – z^2 – (z^5 – z^9) ] = 2[ z^-1*z^1 + z^1*z^1 – z^5*(1 – z^4) ] = 2[ z^-1*z – z*z -z^5*(z^-2*z^2 – z^2*z^2)] =
    = 2[ z*(z – z^-1) – z^5*z^2*(z^2 – z^-2)] =
    = 2[ z*(z – z^-1) – z^7*(z^2 – z^-2)]

    Sabiendo que z = e^(i*2Pi/n) = cos(2Pi/n) + i*sen(2Pi/n) con n = 11.
    Entonces z^m = e^(i*2Pi*m/n) = cos(2Pi*m/n) + i*sen(2Pi*m/n). Conjugando z^m, es decir (z^m)* = z^-m = e^-(i*2Pi*m/n) = cos(2Pi*m/n) – i*sen(2Pi*m/n)

    Por lo que:
    z^m + z^-m = 2*cos(2Pi*m/n)
    z^m – z^-m = i*2+sen(2Pi*m/n)

    Volviendo a A
    A = 2[ z*2*i*sen(2Pi/11) – z^7*2*i*sen(Pi/11)] =
    = 4*i*z[ sen(2Pi/11) – z^6*sen(Pi/11)]

    Aplicando propiedades trigonometricas: sen(2a) = 2sin(a)*cos(a):
    A = 4*i*z[ 2*sen(Pi/11)*cos(Pi/11) – z^6*sen(Pi/11)] =
    = 4*i*z*sen(Pi/11)*[ 2*cos(Pi/11) – z^6 ] =
    = 4*i*z*sen(Pi/11)*[ 2*cos(Pi/11) – cos(12Pi/11) – i*sen(12Pi/11)]

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  29. ¿Hay alguna relación conocida entre lado y diagonales de un endecágono?

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  30. En un endecagono regular, lado/(2*diagonal=sin(PI/11)
    En realidad, en un poligono regular de N lados, lado/(2*diagonal)=sin(PI/N) [ para verlo divide un poligono regular de N lados en N triangulos de vertices el centro del poligono y dos vertices contiguos, y luego en uno de estos triangulos, considera el punto medio de la base constituida por el lado del antiguo poligono de N lados, y te queda asi un triangulo de angulos PI/2, 2PI/2N=pi/N y un tercer angulo, y los lados del triangulo son la diagolal del poligono ( es la hipotenusa), una apotema y la mitad de un lado ; de ahi deduces facilmente la formula que te he facilitado arriba

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  31. Sólo pongo mi solución (¡No se escribir sumatorios, potencias, etc en este recuadro!)

    A = 11 ((1)^(1/11))

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  32. Pedvi cierto, habría que implementar algo para los posts y para los comentarios para que se puedan escribir mejor las fórmulas matemáticas. Yo lo intenté con un plugin de wordpress, latexrender, pero en mi servidor parece que no podía usarse. Si alguien sabe alguna otra forma y me la puede explicar que me mande un mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Lo agradeceré mucho.

    Respecto al tema: estáis haciendo muchísimas más cuentas de las necesarias. Tito llegó en este comentario a A=1+2z(1+z^2+z^3+z^4+z^8). Aconsejo que sigáis desde ahí. Ya dije en un comentario que hace falta una idea feliz. En este caso es algo que en principio parece que complica la expresión, pero en realidad lo que hace es colocárnosla para, operando después, llegar a la solución de manera sencilla.

    Si esta noche no se le ha ocurrido a nadie doy la clave.

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  33. Gracias Wallace, sabía que tenía que estar mal, no podía ser tan fácil, pero no encontraba dónde estaba el error. Ahora ya lo entiendo.

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  34. Yo tengo la mitad resuelta. Tenemos:
    A=1+2z+2z^3+2z^4+2z^5+2z^9
    Y hallamos la parte real:
    Re{A}=(A+A*)/2=1+2z+2z^3+2z^4+2z^5+2z^9+1+2z*+2z^3*+2z^4*+2z^5*+2z^9*,
    resulta que z*=z^10, z^3*=z^8, z^4*=z^7, z^5*=z^6 y z^9*=z^2,
    sustituyendo tenemos
    Re{A}=2+2z+2z^2+…+2z^9+2z^10=0
    para la parte imaginaria aún no he visto la simplificación pero estoy trabajando en ello…

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  35. Vale creo que ya:
    Im{A}=(A-A*)/2=1+2z+2z^3+2z^4+2z^5+2z^9-1-2z*-2z^3*-2z^4*-2z^5*-2z^9*
    y ahora tenemos que Im{-z*}=Im{z^10}, Im{-z^3*}=Im{z^8}, Im{-z^4*}=Im{z^7}, Im{-z^5*}=Im{z^6} y Im{-z^9*}=Im{z^2}.
    y considerando que Im{a+b}=Im{a}+Im{b} tenemos:
    Im{A}=2{z+z^2+z^3+…+z^9+z^10}=2*{-1}=-2
    ¿es correcto?, porque tengo mis dudas

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  36. Xavi, en mi opinión para calcular la parte real te has complicado demasiado y te has comido un 1.
    Si A=1+2z+2z^3+2z^4+2z^5+2z^9
    Re{A}=Re{1+2z+2z^3+2z^4+2z^5+2z^9}+ =
    =Re{1}+ Re{2z}+ Re{2z^3}+ Re{2z^4}+ Re{2z^5}+ Re{2z^9}= Re{1}+ 2·Re{z}+ 2·Re{z^3}+ 2·Re{z^4}+ 2·Re{z^5}+ 2·Re{z^9} =
    =1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 =1

    En mi opinión no te has equivocado con los conjugados sino que al final, con las sumas y se te ha olvidado dividir por 2.

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  37. ¿Cómo se ponen caras de vergüenza absoluta con emoticonos? He confundido módulos con parte real de un número complejo.
    Que nadie me haga caso en lo que he dicho en el comentario anterior!!!!
    lo siento.
    Sería conveniente incluso borrarlo para no liar al personal….

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  38. amitbien me da 11… nose! siempre pienso q las cosas tienen truco… jaja
    [[(e^iPi)^2]^1/11].. eso es [(-1)^2]^1/11… que es la raiz onceava de 1 que es 1… uno elevado a lo que sea
    =1…A=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=11

    Eso creo… saludos

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  39. ah vaya… acabo de leer lo de arriba… tipico error lo de raiz onceava de uno = uno… y 10 soluciones mas.. jaja seguiremos pensando

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  40. A=1+2(z+z^3+z^4+z^5+z^9)
    A^2=1+4(z+z^3+z^4+z^5+z^9)^2+2*1*2(z+z^3+z^4+z^5+z^9)=1+4[z^2+z^6+z^8+z^10+z^7+2(z^4+z^5+z^6+z^10+z^7+z^8+z^1+z^9+z^2+z^3)]+4(z+z^3+z^4+z^5+z^9)=1+4[z^2+z^6+z^8+z^10+z^7+2(-1)]+4(z+z^3+z^4+z^5+z^9)=1+4[z^2+z^6+z^8+z^10+z^7]-8+4(z+z^3+z^4+z^5+z^9)=-7+4(z^2+z^6+z^8+z^10+z^7+z+z^3+z^4+z^5+z^9 )=-7+4(-1)=-11 —> A=+,-(√11)i
    y les pregunto toma los dos valores? y como somos matematicos …POR QUE?

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  41. no se si estara bien, pero se lo mostre a una compañera de clases, y me dijo que podria aplicar logaritmo naturalñ despues de remplazar las potencias de Z por el valor que este tiene…
    alli lo continue yo,sumando, transformando, y llegue a (e^(Pi*i))^35 , que es lo mismo que 1^35=1… en q esta el error si es q lo hay?

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  42. Si no me he equivocado al contar, eso debería ser once, y ergo god exists.
    Vale, vale, también puede ser que no sea eso ni por asomo xD, pero lo dudo.

    Un saludo.

    PD: para los que queráis crear imágenes de fórmulas a partir de latex, aquí tenéis una buena web: http://www.rogercortesi.com/eqn/index.php
    Os recomendaría subir siempre la imagen en alguna otra web, como esta: http://www.thumbsnap.com/

    Otro saludo xD.

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  43. Como puede ser que la parte real de A citando a anderander sea:
    Re{A}=Re{1+2z+2z^3+2z^4+2z^5+2z^9} = 1 ????!!!

    Hasta el siguiente paso está bien:
    A = Re{1}+ Re{2z}+ Re{2z^3}+ Re{2z^4}+ Re{2z^5}+ Re{2z^9}= Re{1}+ 2·Re{z}+ 2·Re{z^3}+ 2·Re{z^4}+ 2·Re{z^5}+ 2·Re{z^9}

    Pero decir que Re{2z} sea 0, es un error muy grave.
    Tal y como se ha definido z = e^(i+2Pi/11), la parte real de z es:
    Re{z} = cos(2Pi/11)
    Para los otros terminos: Re{z^n} = cos(2Pi*n/11), que solo da cero cuando:
    2*Pi*n/11 = k*Pi/2 con k entero impar (+-1, +-3, +-5, …)

    Esto es para n = 11*k/4. Para que n sea un numero entero, que es lo que nos interesa, k tendria que ser multiplo de 4. Pero como k tiene que ser impar, eso es imposible. Por tanto la parte real de z^n nunca puede ser 0, sea cual sea el valor de n!!

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  44. Lo que hace discipulodegauss es interesante:

    A^2 = [1+2(z+z^3+z^4+z^5+z^9)]^2 = 1 + 4(z+z^3+z^4+z^5+z^9) + 4(z+z^3+z^4+z^5+z^9)^2 =
    = 1 + 4(z+z^3+z^4+z^5+z^9) + 4[z^2+z^6+z^8+z^10+z^18 + 2(z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9+z^10+z^12+z^13+z^14)]

    Espero no haberme dejado ninguno de los terminos cruzados.

    z^18 = z^7
    z^12 = z
    z^13 = z^2
    z^14 = z^3
    Sustituyendo estos valores:
    A^2 = 1 + 4(z+z^3+z^4+z^5+z^9) + 4(z^2+z^6+z^8+z^10+z^7) + 8(z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9+z^10+z+z^2+z^3)

    Ordenando y agrupando:
    A^2 = 1 + 4(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9+z^10) + 8(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9+z^10) =
    = 1 + 12(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9+z^10) = 1 + 12+Sumatorio(de k=0 a 10 de z^k)

    A^2 = 1 + 12 * (z – z^11) / (1-z)

    Lo que pasa es que no se como llega al resultado A = +,-(√11)i

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  45. O quizas si, z^11 = 1. Entonces
    A^2 = 1 + 12 * (z – 1) / (1 – z) = 1 + 12 * (-1) = -11
    A = +-i(11)^(1/2)

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  46. Exacto, ahí estaba la clave. Enhorabuena discipulodegauss. Había que calcular A^2 a partir de la expresión que dejé en mi anterior comentario y después utilizar la fórmula de la suma de una serie geométrica teniendo en cuenta que z^11=1. Entonces nos queda A = +,-(√11)i. En el sitio donde vi el ejercicio sólo daban como solución la positiva, pero ahora mismo no lo tengo demasiado claro. Habría que ver si se puede descartar la negativa por algún motivo o si valen las dos. A ver quién se atreve

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  47. Solamente quiero añadir un pequeño detalle a la solución:

    a partir de la expresión:

    A^2 = 1 + 12(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9+z^10)

    a todos os ha dado por sumar el paréntesis (que llamaremos S)

    S=z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9+z^10

    usando la fórmula de la suma de la progresión geométrica… que es muy adecuada para este caso.

    Yo quería llamar la atención sobre la particularidad que tiene el valor de z: representar un vector de radio 1 y ángulo 2*pi/11 que forma con el eje X. Las sucesivas potencias de z son vectores de radio 1 y ángulos 2x(2*pi/11), 3x(2*pi/11)··· 10x(2*pi/11) respecto al eje X… [también se pueden ver como las 11 raíces en el plano complejo que se obtienen al sacar la raíz undécima de 1]

    La suma de TODOS esos 11 vectores es CERO. Si os resulta más fácil, imaginadlos como fuerzas que intentan mover un objeto situado en el origen de coordenadas. El resultado es nulo porque se compensan entre ellos.

    Sin embargo, en el paréntesis NO APARECEN los 11 vectores sino 10, porque falta el vector que forma un ángulo 0º (z^0) que es 1. Y por tanto,

    S+1=0

    S=-1

    A^2 = -11

    Saludos

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  48. una idea feliz…ojala tenga muchas mas,afortunadamente solo salia elevando al cuadrado por que si era de mas orden uf dudo que me hubiera atrevido(bueno hasta estas alturas digo) en cuanto al signo me sale positivo pero no tengo un proceso elegante asi que esperare a una.
    PD:DiAmOn hace mas de 2 meses mande un email a gaussianos (arroba) gmail (punto) com pero nunca recibi respuesta pense q

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  49. Francisco cierto, buen razonamiento. Matemáticamente eso se deduce de que para todo n las raíces n-ésimas de la unidad suman 0. Como nosotros tenemos todas menos el 1, se cumple que su suma es -1.

    discipulodegauss cierto. Tengo unos mails de hace tiempo sin contestar, entre otras cosas por falta de tiempo. Prometo echarles un ojo en la mayor brevedad posible.

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  50. Un pequeño comentario:

    Lo de calcular A^2 parece una idea feliz, pero a mi (que no soy ningún genio) me gusta pensar la manera de llegar a tener ese tipo de ideas…

    A partir de un comentario de por ahí, se puede ver que A debe ser un número imaginario puro. (Se hace calculando la parte real haciendo (A-A*)/2. Puede verse facilmente que Re{A}=0)

    Ahora, sabiendo que A es imaginario puro, se sabe que A^2 debe ser un número real, y por lo tanto no es tan idea feliz intentar buscar el valor de A^2.

    En fin, lástima que no se me ocurriera todo esto antes…

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  51. Waoo Increible esa ” idea feliz”; La verdad es que era un ejercicio muy bonito y muy complejo ( nunca mejor dicho ^^)

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  52. Vamos a usar:
    e^i.a= cos(a)+ isen(a)
    donde:
    e=n° de Euler
    i= unidad imaginaria

    y:
    cos(n.pi)=(-1)^n
    sen(n.pi)=0

    Resolvemos el problema:

    z = e^(2.pi.i/11) = [e^(2.pi.i)]^(1/11)=
    [cos(2.pi) + i.sen(2.pi)]^(1/11)=
    [1+i.0]^(1/11) = 1

    z^4= [e^(2.pi.i/11)]^4 = [e^(8.pi.i)]^(1/11)=
    [cos(8.pi) + i.sen(8.pi)]^(1/11)=
    [1+i.0]^(1/11) = 1

    Al elevar “z” a “n”, queda:
    e^(2.n.pi.i/11)=
    [cos(2.n.pi) + i.sen(2.n.pi)]^(1/11)= 1

    Entonces hacemos lo mismo hasta llegar a ” z^100″:
    z^100=[cos(200.pi) + i.sen(200.pi)]^(1/11)= 1

    Sumamos todos los términos:

    Hay 11 términos en la suma y todos los términos valen “1”:

    A= 11

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  53. Javier si miras lo comentarios anteriores verás que ya se ha dicho que 1^(1/11) no es sólo 1. En complejos hay 11 soluciones.

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  54. los once valores posibles de 1^(1/11) son A(k)=cos(2kPI/11)+isin(2kPI/11) donde k=1,2,3,…,11
    Eso vale 1 cuando k=11 pero hay otros 10 resultados posibles ; (mirad mas arriba lo de la FORMULA DE MOIVRE que al parecer todo el mundo aplica mal :S

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  55. Parece que nadie se ha dado cuenta de que el valor de A calculado es

    +-(√11)i

    y NO es posible que tanto la raíz positiva como la negativa sean soluciones válidas del cálculo original porque LA SUMA (A) de 11 números compejos cualesquiera solamente puede tener UN resultado, no dos.

    Partiendo de la expresión

    A=1+2z+2z^3+2z^4+2z^5+2z^9

    y razonando mediante vectores tal y como he hecho en mi anterior comentario, se puede apreciar que z^9 es el único vector que queda por debajo del eje X (semiplano negativo, o sea, y0) y su suma compensará con creces a z^9…

    por tanto, A es un número imaginario que al dibujar en el plano complejo descansa completanmente en la parte positiva del eje Y.

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  56. ::: nota :::

    no sé qué ha pasado en mi último comentario, pero se ha comido una parte importante de mi texto. Mi texto original es:

    y razonando mediante vectores tal y como he hecho en mi anterior comentario, se puede apreciar que z^9 es el único vector que queda por debajo del eje X (semiplano negativo, o sea, y menor que 0). Los otros vectores (z^2, z^3, z^4 y z^5) están contenidos en el semiplano positivo, o sea, y mayor que 0) y su suma compensará con creces a z^9…

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  57. me parece que hay problemas cuando incluyes los símbolos “menor que” y “mayor que”

    Publica una respuesta
  58. Hola,

    aunque llego tarde al debate me he interesado por este ejercicio. Más concretamente estaba interesado en una generalización del mismo. A saber:

    “Sea p un número primo, z=e^{\frac{2\pi i}{p}} y

    A=\displaystyle{\sum_{j=0}^{p-1} z^{j^2}}=1+z+z^4+z^9+\ldots+z^{(p-1)^2}.

    Entonces

    1) A=\sqrt{p}, si p\equiv 1(4);

    2) A=i\sqrt{p}, si p\equiv 3(4)”, donde i=\sqrt{-1}.

    Si p=2, obviamente A=0.

    Sería de interés si alguien pudiera dar una demostración lo más simplificada posible.

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  59. El caso 1) es relativamente sencillo de demostrar. No obstante, el caso 2) parece mucho más complicado.

    Un cordial saludo.

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  60. Hola,

    generalizando aún más la propiedad anterior, tengo evidencias numéricas (usando Mathemática) de que se verifica lo siguiente:

    “Sea n\geq 2 un número natural, z=e^{\frac{2\pi i}{n}}, y A=\displaystyle{\sum_{j=0}^{n-1} z^{j^2}}=1+z+z^4+z^9+z^{16}+\ldots+z^{(n-1)^2}

    Se tiene que

    1) Si n=2\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_r^{\alpha_r}, siendo p_i primos impares y \alpha_i\geq 0, entonces A=0.

    2) Si n=2^m\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_r^{\alpha_r}, siendo m\geq 2, p_i primos impares y \alpha_i\geq 0, entonces A=\sqrt{n}\cdot (1+i)

    3) Si n=\Big(p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_r^{\alpha_r}\Big)\cdot\Big(q_1^{\beta_1}\cdot\ldots\cdot q_s^{\beta_s}\Big), siendo p_i\equiv 1(4),\;\forall i, q_j\equiv 3(4),\;\forall j, entonces

    \qquad\qquad\qquad\qquad a) A=\sqrt{n}, si \displaystyle{\sum_j} \beta_j es par.

    \qquad\qquad\qquad\qquad b) A=i\sqrt{n}, si \displaystyle{\sum_j} \beta_j es impar.”

    El resultado recoge todos los posibles valores para n.

    Aunque este ejercicio es un mero divertimento matemático, una demostración simplificada de este resultado será de gran interés.

    Un saludo.

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  61. Bueno, este resultado no es ni mucho menos trivial y fue estudiado en profundidad por el mismísimo Gauss en relación con la Ley de Reciprocidad Cuadrática. Dichas sumas se conocen como sumas (cuadráticas) gaussianas (el nombre os viene al pelo, jeje).

    http://mathworld.wolfram.com/GaussianSum.html

    Rectifico mis palabras al referirme a esta cuestión como un mero divertimento matemático.

    Como dato curioso, parece ser que Gauss tuvo que luchar durante tres años para poder probar que el signo de las raíces cuadradas involucradas en la expresión debe ser positivo!!

    Un saludo.

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