Suma de potencias cuartas

Vuelven los problemas a Gaussianos. En esta ocasión volvemos con un problema que vi hace unos días en Microsiervos. Ahí va:

Sabiendo que

\begin{matrix} x+y+z=1 \\ x^2+y^2+z^2=2 \\ x^3+y^3+z^3=3 \end{matrix}

calcula el valor de x^4+y^4+z^4.

No es difícil, pero que está bien para comenzar de nuevo a publicar problemas propuestos.

Por cierto, en las respuestas espero un desarrollo de cómo habéis llegado a la solución, no solamente la solución.

Y si quieres intentar el problema, te recomiendo que no mires los comentarios antes de hacerlo, por si ya hay alguien que lo ha resuelto y ello te quita la diversión de enfrentarse al mismo.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

13 Comentarios

  1. La respuesta es 25/6.
    Veamos:
    Hacemos (x+y+z)^2 y obtenemos que xy +xz + yz= -1/2
    Hacemos (x+y+z)^3 y obtenemos que xyz = 1/6 (no sin esfuerzo)
    Hacemos (xy+xz+yz)^2 y obtenemos que (xy)^2+(xz)^2+(yz)^2 =-1/12. Esto último implica necesariamente que hay complejos de por medio.
    Por último, de (x^2+y^2+z^2)^2 obtenemos el resultado pedido.
    Siento no ser demasiado claro.
    Saludos.

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    • Se otra forma, que además nos permitirá conocer la suma de cualesquiera otras potencias. Sea f(n) = x^n + y^n + z^n.

      Vamos a construir una ecuación de tercer grado cuyas soluciones sean {x, y, z}, pero sin ánimo de resolverla. Si es:

      t^3 + at^2 + bt + c

      Sabemos por Cardano-Vieta que:

      a = -(x + y + z) = -1

      b = xy + xz + yz = \frac{(x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2)}{2} = \frac{1^2 - 2}{2} = \frac{1}{2}

      c = -xyz

      Dejemos c de momento así. Tenemos

      t^3 -t^2 - \frac{1}{2}t + c = 0

      Entonces, tenemos que

      x^3 = x^2 + \frac{1}{2}x - c
      y^3 = y^2 + \frac{1}{2}y - c
      z^3 = z^2 + \frac{1}{2}z - c

      Multiplicando por x^n, y^n, z^n:

      x^{n+3} = x^{n+2} + \frac{1}{2}x^{n+1} - cx^n
      y^{n+3} = y^{n+2} + \frac{1}{2}y^{n+1} - cy^n
      z^{n+3} = z^{n+2} + \frac{1}{2}z^{n+1} - cz^n

      Sumando las tres,

      f(n+3) = f(n+2) + \frac{1}{2}f(n+1) - cf(n)

      Como f(0) = x^0 + y^0 + z^0 = 3, ya podemos calcular c, haciendo n = 0:

      f(3) = f(2) + \frac{1}{2}f(1) - cf(0)

      3 = 2 + \frac{1}{2}1 - 3c \Rightarrow c = - \frac{1}{6}

      Por tanto,

      f(n+3) = f(n+2) + \frac{1}{2}f(n+1) + {1}{6}f(n)

      Por tanto,

      f(4) = 3 + \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{25}{6}

      Lo curioso es

      f(5) = \frac{25}{6} + \frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{1}{6} \cdot 2 = 6

      Puede verse que ya no vuelve a ser entero. Y ya puestos,

      f(n) =3, 1, 2, 3, 25/6, 6,  103/12,  221/18, 1265/72,  905/36,  15539/432,  11117/216, 21209/288,  136561/1296,  \frac{260531}{1728},  \frac{559171}{2592}, \ldots
      para n = 0, 1, 2, \ldots , 15, \ldots

      O aproximadamente

      f(n) \approx 3, 1, 2, 3, 4.166666666, 6, 8.583333333, 12.27777777, 17.56944444, 25.13888888, 35.96990740, 51.46759259, 73.64236111, 105.3711419, 150.7702546, 215.7295524, \ldots

      Saludos,

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      • Ignacio, te he editado el LaTeX para arreglar los problemas que tenías. Eran simplemente que habías puesto … dentro de LaTeX y no lo interpreta bien (yo he puesto \ldots), y que habías puesto \aprox cuando debías haber puesto \approx.

        Como ya te lo he arreglado, he borrado tu siguiente comentario. Espero que no te moleste :-).

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        • Para nada, muchas gracias. Ya puestos, un poco más arriba hay un 16f(n) que debe ser evidentemente \frac{1}{6}f(n) … Y otra cosa, ¿no sería posible facilitar algo más la edición de tus propios mensajes? Cuando no me iba el LaTeX en las últimas líneas y no sabía por que, trate de eliminarlo en una loca carrera contra el segundero, pero me quede a medias, con unas fracciones si y otras no …

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      • *Para Ignacio Larrosa*

        Este es un programita escrito en Pari gp:

        a=10^4;v=vector(a);v[1]=1;v[2]=2;v[3]=3;for(n=1,a-3,v[n+3]=v[n+2]+v[n+1]/2+v[n]/6;if(floor(v[n+3])==ceil(v[n+3]),print([v[n+3];n+3])))

        El resultado es :
        [6; 5]
        time = 4,656 ms.
        Es decir que no existe ningún término entero hasta f(10000) inclusive, más allá de f(5). Soy un simple amateur con reducidos conocimientos matemáticos y me pregunto si hubiera una manera fácil de demostrar que no existe ningún término entero más allá de f(5) = 6.

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        • Hasta f(100000) tampoco existe ningún término entero y el ordenador viejo mío ya tarda casi 30 minutos, 360 veces más tiempo que hasta el rango de f(10000), sólo 10 veces inferior. Ciertamente; la manera para saber si un número es entero o no, que yo he usado, la de buscar la igualdad entre floor y ceil de ese número; no debe de ser la manera más rápida posible. Si alguien conoce una manera de computarlo; mucho más rápida; que lo diga aquí; gracias.

          Por otra parte me asalta una curiosidad. La pregunta era que si conocíamos los valores de f(1) = 1; f(2) = 2; f(3) = 3; dedujéramos **el** valor de f(4). Disiento de la utilización del término “el”. Creo que debía de haberse empleado el término **un** porque imagino que hay más soluciones. Y en todo caso, no se ha demostrado que la solución f(4) = 25/6 es única.

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          • Dije : “imagino que hay más soluciones” y mal dije; donde dije digo; digo Diego; no había reparado en algo tan sencillo como que tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas y que por tanto sólo hay una solución; de haberla; para (x,y,z); y el valor de f(n) es único par todo n.

  2. Correcto Paco.

    Por ejemplo, para detallar cómo obtener xyz:
    Haciendo R = (x^2) + (y^2) + (z^2) = 2, tenemos entonces, al ser x+y+z=1, que 2 = R = R(x+y+z) = x^{3}+y^{3}+z^{3} + (x^2)y + (y^2)x + (z^2)x + (x^2)z + (y^2)z + (z^2)y.
    Luego, de 1 = (x+y+z)^3 = x^{3}+y^{3}+z^{3} + 3[(x^2)y + (x^2)z + (y^2)x + (y^2)z + (z^2)x + (z^2)y] + 6xyz =
    -2(x^{3}+y^{3}+z^{3}) + 3R + 6xyz = -2(3) + 6 + 6xyz. Por tanto: xyz = 1/6

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  3. Me alegro de que se vuelvan a publicar problemas! Estaré atento a los que vengan.
    Yo di unas cuantas vueltas más y utilicé expresiones como (x+y+z)(x^3+y^3+z^3), (x^2+y^2+z^2)^2 entre otras para conseguir despejar x^4+y^4+z^4 de (x+y+z)^4. Desde luego más largo que la solución de Paco.

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    • Para que se tenga un idea de lo grandes que se hacen las fracciones irreductibles de f(n); copio aquí el resultado de f(1000) :

      489014623169014002808724165017972428557

      893553723189204424620173790068051648266

      304727443800687485025847715981180960310

      368949408782587135464067626477372151647

      015935140288229484425698965525474105120

      829579825837461420618933532994624784189

      027631860622105610941136345996759620447

      255971904188334464494592899525745318747

      450982108809495814138251326322502420749

      683813895670069084940049066278528712704

      678803855259741974101420903123059551783

      832382166368255140666430961098221875 /

      124550552382096826590412693304721978870

      209308230697288786751357537639442119247

      359068919480798739132701530683439342411

      002525222974061830249999497389803341589

      151907990499083803252752423585218446352

      351972773785757431014666588743780496063

      666567838842667750998410939260769409493

      6519894870260560478107968266592845824

      Nota: que alguien que sepa cómo evitar que los números se alarguen fuera del formato de esta página, lo diga y lo corrija.

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  4. Este programilla, al final, nos proporciona los valores de f(n) cuando f(1)= 1; f(2) = 3 y f(3) = 4. Hay que notar que entonces todos los valores de f(n) son enteros; corresponden a : (a,b,c) = (-1,-1, 0); parámetros de la ecuación de tercer grado cuyas soluciones son (x,y,z) = ((1+raíz(5))/2, (1-raíz(5))/2, 0). En realidad los valores de f(n) no son sino la sucesión de Fibonacci pero con (a(1), a(2)) = (1, 3). Hay 25 primos hasta f(1000). Por ejemplo f(863) = 227160876495918562748535035942584201965901433059749617427535

    706949917136103176482875403653972639455945062095866005032008

    819923618477643769983095703119163211626539496542961374358047

    9, es primo.

    p=10^2;v=vector(p);v[1]=1;v[2]=3;v[3]=4;a=-v[1];b=((v[1])^2-v[2])/2;c=-(v[3]-

    (v[1]*v[2])+v[1]*((v[1])^2-v[2])/2)/3;for(n=1,p-3,v[n+3]=-a*v[n+2]-b*v[n+1]-

    c*v[n];if(floor(v[n+3])==ceil(v[n+3]),print([v[n+3];n+3])));print([a,b,c])

    El programa está concebido para buscar las soluciones enteras con valores de partida de v[1], v[2] y v[3], enteros, pero a discreción del amable y paciente lector. El valor de p marcará el límite de la búsqueda. Personalmente me gusta escribir programas porque me libran del tedio de los cálculos repetitivos, yo que tengo tendencia a cometer errores casi infantiles a veces.

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    • La sucesión asimilada a Fibonacci (porque cada término es la suma de los dos anteriores), pero con con f(1) = 1 y f(2) = 3, representa, además, si no me he equivocado; a todos los valores, siempre enteros, de f(n) = x^n + y^n + z^n, para cualquier n entero. Dos términos consecutivos de tal sucesión son primos para los casos (f(4), f(5)) = (7, 11) ; (f(7), f(8)) = (29, 47) y (f(16), f(17)) = (2207, 3571). Son los únicos hasta f(10000). ¿ Habrá algún par más ?

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