Suma de raíces

Después de un fin de semana de viaje (los dardos han ocupado mi tiempo estos días) y un problema con Jazztel anoche (no me dejó conectar) os dejo el problema de la semana:

Sea un polinomio $P(z)$ en la variable compleja $z$ , de grado exacto $n$ y con coeficientes complejos. Supongamos que sus $n$ raíces $a_1, \ldots ,a_n$ son simples (distintas dos a dos) y sean $b_1, \ldots ,b_{n-1}$ las raíces del polinomio derivado $P^\prime (z)$ . Calcular el valor de la siguiente suma:

$\displaystyle{S= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{n-1} \cfrac{1}{a_i-b_j}}$

A por él.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 28 de October de 2008
Categorías: Juegos | Imprime este post

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Trackback | 28 Oct, 2008

Bitacoras.com
Tito Eliatron | 28 de October de 2008 | 22:07

El caso fácil en que $n=2$ , da como resultado $lates S=0$.
hernan | 28 de October de 2008 | 22:28

Creo que con sólo notar que un polinomio de raíces simples no puede tener derivada nula en sus raíces basta para mostrar que la sumatoria da cero.
Gulliver | 29 de October de 2008 | 14:40

Parece que se puede demostrar que la sumatoria da cero siguiendo la línea que sugiere Hernan

1. $P(z)$ no puede tener derivada nula en sus raíces

2. $\displaystyle{\frac{ P^\prime(b_j) }{ P(b_j) } }$ , que debe ser cero, da lo siguiente al desarrollarlo: $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac{1}{ b_j - a_i}}$

Sumando a todas las raíces de la derivada se llega a la suma del problema

Para demostrar que $P(z)$ no tiene derivada nula en sus raíces, se parte de una expresión de $P(z)$ como producto de sus raíces: $\displaystyle{P(z) = c \prod_{j=1}^n (z-a_j) }$ (1)

$\displaystyle{P^\prime(a_i) = \lim_{z \to a_i} \frac{P(z)-P(a_i)}{z - a_i} = c \prod_{j \not= i} (a_i - a_j) }$

Aquí es fundamental que las raíces sean simples. $P^\prime(a_i)$ es producto de factores no nulos, así que $P^\prime(a_i) \not= 0$ .

Igualmente $P(b_j) \not= 0$ . De lo contrario tendríamos una raíz con derivada nula.

Ahora que sabemos que $P^\prime(b_j) = 0$ y $P(b_j) \not= 0$ , podemos afirmar sin cargo de conciencia que $\displaystyle{\frac{ P^\prime(b_j) }{ P(b_j) } = 0 }$ .

Utilizando (1) el desarrollo de $\displaystyle{\frac{ P^\prime(z) }{ P(z) }}$ es inmediato

$\displaystyle{\frac{ P^\prime(b_j) }{ P(b_j) } = \sum_{i=1}^n \frac{1}{ b_j - a_i} = 0 }$

$\displaystyle{ S = - \sum_{j=1}^{n-1} \frac{ P^\prime(b_j) }{ P(b_j) } }$
hernan | 29 de October de 2008 | 14:42

Yo hice exactamente lo mismo que Gulliver.
Gulliver | 29 de October de 2008 | 19:06

También se llega a S con

$latex \displaystyle{
S = \sum_{i=1}^n
\frac {P^{\prime \prime}(a_i)} { P^\prime(a_i)}
}$