Comments on: Suma de raíces http://gaussianos.com/suma-de-raices/ Porque todo tiende a infinito... Thu, 09 Feb 2012 21:50:50 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: Gulliver http://gaussianos.com/suma-de-raices/#comment-9190 Gulliver Wed, 29 Oct 2008 17:06:11 +0000 http://gaussianos.com/?p=693#comment-9190 También se llega a S con $latex \displaystyle{ S = \sum_{i=1}^n \frac {P^{\prime \prime}(a_i)} { P^\prime(a_i)} }$ También se llega a S con

$latex \displaystyle{
S = \sum_{i=1}^n
\frac {P^{\prime \prime}(a_i)} { P^\prime(a_i)}
}$

]]> By: hernan http://gaussianos.com/suma-de-raices/#comment-9189 hernan Wed, 29 Oct 2008 12:42:52 +0000 http://gaussianos.com/?p=693#comment-9189 Yo hice exactamente lo mismo que Gulliver. Yo hice exactamente lo mismo que Gulliver.

]]> By: Gulliver http://gaussianos.com/suma-de-raices/#comment-9188 Gulliver Wed, 29 Oct 2008 12:40:01 +0000 http://gaussianos.com/?p=693#comment-9188 Parece que se puede demostrar que la sumatoria da cero siguiendo la línea que sugiere Hernan 1. $latex P(z) $ no puede tener derivada nula en sus raíces 2. $latex \displaystyle{\frac{ P^\prime(b_j) }{ P(b_j) } }$, que debe ser cero, da lo siguiente al desarrollarlo: $latex \displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac{1}{ b_j - a_i}}$ Sumando a todas las raíces de la derivada se llega a la suma del problema Para demostrar que $latex P(z) $ no tiene derivada nula en sus raíces, se parte de una expresión de $latex P(z) $ como producto de sus raíces: $latex \displaystyle{P(z) = c \prod_{j=1}^n (z-a_j) }$ (1) $latex \displaystyle{P^\prime(a_i) = \lim_{z \to a_i} \frac{P(z)-P(a_i)}{z - a_i} = c \prod_{j \not= i} (a_i - a_j) } $ Aquí es fundamental que las raíces sean simples. $latex P^\prime(a_i) $ es producto de factores no nulos, así que $latex P^\prime(a_i) \not= 0$. Igualmente $latex P(b_j) \not= 0$. De lo contrario tendríamos una raíz con derivada nula. Ahora que sabemos que $latex P^\prime(b_j) = 0$ y $latex P(b_j) \not= 0$, podemos afirmar sin cargo de conciencia que $latex \displaystyle{\frac{ P^\prime(b_j) }{ P(b_j) } = 0 }$. Utilizando (1) el desarrollo de $latex \displaystyle{\frac{ P^\prime(z) }{ P(z) }}$ es inmediato $latex \displaystyle{\frac{ P^\prime(b_j) }{ P(b_j) } = \sum_{i=1}^n \frac{1}{ b_j - a_i} = 0 }$ $latex \displaystyle{ S = - \sum_{j=1}^{n-1} \frac{ P^\prime(b_j) }{ P(b_j) } }$ Parece que se puede demostrar que la sumatoria da cero siguiendo la línea que sugiere Hernan

1. P(z) no puede tener derivada nula en sus raíces

2. \displaystyle{\frac{ P^\prime(b_j) }{ P(b_j) } }, que debe ser cero, da lo siguiente al desarrollarlo: \displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac{1}{ b_j - a_i}}

Sumando a todas las raíces de la derivada se llega a la suma del problema

Para demostrar que P(z) no tiene derivada nula en sus raíces, se parte de una expresión de P(z) como producto de sus raíces: \displaystyle{P(z) = c \prod_{j=1}^n (z-a_j) } (1)

\displaystyle{P^\prime(a_i) = \lim_{z \to a_i} \frac{P(z)-P(a_i)}{z - a_i} = c \prod_{j \not= i} (a_i - a_j) }

Aquí es fundamental que las raíces sean simples. P^\prime(a_i) es producto de factores no nulos, así que P^\prime(a_i) \not= 0.

Igualmente P(b_j) \not= 0. De lo contrario tendríamos una raíz con derivada nula.

Ahora que sabemos que P^\prime(b_j) = 0 y P(b_j) \not= 0, podemos afirmar sin cargo de conciencia que \displaystyle{\frac{ P^\prime(b_j) }{ P(b_j) } = 0 }.

Utilizando (1) el desarrollo de \displaystyle{\frac{ P^\prime(z) }{ P(z) }} es inmediato

\displaystyle{\frac{ P^\prime(b_j) }{ P(b_j) } = \sum_{i=1}^n \frac{1}{ b_j - a_i} = 0 }

\displaystyle{ S = - \sum_{j=1}^{n-1} \frac{ P^\prime(b_j) }{ P(b_j) } }

]]> By: hernan http://gaussianos.com/suma-de-raices/#comment-9187 hernan Tue, 28 Oct 2008 20:28:43 +0000 http://gaussianos.com/?p=693#comment-9187 Creo que con sólo notar que un polinomio de raíces simples no puede tener derivada nula en sus raíces basta para mostrar que la sumatoria da cero. Creo que con sólo notar que un polinomio de raíces simples no puede tener derivada nula en sus raíces basta para mostrar que la sumatoria da cero.

]]> By: Tito Eliatron http://gaussianos.com/suma-de-raices/#comment-9186 Tito Eliatron Tue, 28 Oct 2008 20:07:08 +0000 http://gaussianos.com/?p=693#comment-9186 El caso fácil en que $latex n=2$, da como resultado $lates S=0$. El caso fácil en que n=2, da como resultado $lates S=0$.

]]> By: Bitacoras.com http://gaussianos.com/suma-de-raices/#comment-9185 Bitacoras.com Tue, 28 Oct 2008 14:01:00 +0000 http://gaussianos.com/?p=693#comment-9185 <strong>Información Bitacoras.com...</strong> Si lo deseas, puedes hacer click para valorar este post en Bitacoras.com. Gracias.... Información Bitacoras.com…

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