Suma de senos positiva

Hoy lunes damos comienzo a este nuevo período de siete días con el problema semanal. Ahí va el enunciado:

Sean x_1,x_2,\ldots, x_n números reales tales que

\sin(x_1)+\sin(x_2)+\ldots+\sin(x_n)\geq n\sin(\alpha)

siendo \alpha\in [0,\frac{\pi}{2}]. Demostrar que

\sin(x_1-\alpha)+\sin(x_2-\alpha)+\ldots+\sin(x_n-\alpha)\geq 0

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comentarios

  1. basta con considerar la sumatoria
    \sum _{ k=1 }^{ n }{ { e }^{ { x }_{ k }i } }  tomar la parte imaginaria y lo demás es álgebra sencilla…

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  2. En primer lugar, veamos por inducción, que
    {\displaystyle \left(\sum_{k=1}^n\sin x_k\right)^2+\left(\sum_{k=1}^n\cos x_k\right)^2\leq n^2, \forall n\in\mathbb{N}}

    Para n=1, el resultado es obvio. Supongamos el resultado cierto para m\in\mathbb{N} y veamos que también es cierto para m+1.

    Aplicando la hipótesis de inducción, se obtiene:

    {\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{m+1}\sin x_k\right)^2+\left(\sum_{k=1}^{m+1}\cos x_k\right)^2\leq m^2+1+2\sum_{k=1}^m\left(\cos x_k\cos x_{m+1}+\sin x_k\sin x_{m+1}\right)=}

    {\displaystyle =m^2+1+2\sum_{k=1}^m\cos(x_k-x_{m+1})\leq m^2+1+2m=(m+1)^2}

    Apoyándonos en este resultado se prueba, fácilmente, lo enunciado en el ejercicio:

    De la hipótesis del ejercicio, se obtiene:

    {\displaystyle\left(\sum_{k=1}^n\sin x_k\right)^2\geq n^2\sin^2\alpha =n^2-n^2\cos^2\alpha\Longrightarrow n^2\cos^2\alpha\geq \left(\sum_{k=1}^n\cos x_k\right)^2 }

    Como {\displaystyle\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right],\ \cos\alpha\geq 0} y por tanto, tomando raíces cuadradas en la expresión anterior se obtiene:

    {\displaystyle n\cos\alpha\geq\sum_{k=1}^n\cos x_k}

    Finalmente, concluimos:

    {\displaystyle\sum_{k=1}^n\sin(x_k-\alpha)=\sum_{k=1}^n(\sin x_k\cos\alpha-\cos x_k\sin\alpha)=\cos\alpha\sum_{k=1}^n\sin x_k-\sin\alpha\sum_{k=1}^n\cos x_k\geq}

    {\displaystyle\geq ncos\alpha\sin\alpha-n\sin\alpha\cos\alpha=0}

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  3. No necesitas inducción para mostrar la primer desigualdad. La puedes mostrar usando Cauchy-Schwarz:
    \displaystyle\bigg(\sum_{k=1}^n \sin x_k\bigg)^2 + \bigg(\sum_{k=1}^n \cos x_k\bigg)^2 \le n \sum_{k=1}^n \sin^2 x_k + n\sum_{k=1}^n \cos^2 x_k
    = \displaystyle n \sum_{k=1}^n \big( \sin^2 x_k + \cos^2 x_k) = n^2.

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  4. Otro enfoque:
    ( ∑ sen xi ) / n ≥ sen a
    supone que habrá un angulo xm cuyo seno es la media de los sen xi tal que
    sen xm ≥ sen a
    y, por tanto,
    xm ≥ a para 0 ≤ xm ≤ π/2
    Si todos los xi están comprendidos entre –π/2 y π/2 la media de los cosenos de los xi será
    ( ∑ cos xi ) / n = cos xm ≤ cos a
    Si algunos | xi | son mayores que π/2 sus cosenos serán negativos y
    ( ∑ cos xi ) / n ≤ cos xm ≤ cos a
    por tanto, para todo xi
    ∑ cos xi ≤ n cos a

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  5. La desigualdad

    {\displaystyle\left(\sum_{k=1}^n\cos x_k\right)^2+\left(\sum_{k=1}^n\sin x_k\right)^2\leq n^2}

    Además de por inducción, o aplicando Cauchy-Schwarz, también se puede obtener de esta otra:
    Si a_1\geq a_2\geq\cdots\geq a_n y b_1\geq b_2\geq \cdots\geq b_n entonces {\displaystyle \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)\leq n\sum_{k=1}^n a_kb_k}

    Esta desigualdad se puede probar a partir de

    {\displaystyle\sum_{1\leq j\leq k\leq n}(a_k-a_j)(b_k-b_j)\geq 0}

    (ejercicio propuesto en la página 33 del libro ”Análisis Matemático” de Tom M. Apostol 2ª edición).

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  6. ¡Vaya, apreciados amigos!

    Y yo que quería proponer con mi mayor ingenuidad algo tan básico como lo siguiente, a ver si el problema salía:

    sin(x_1 - \alpha)+sin(x_2 - \alpha)+…+sin(x_n - \alpha) =

    [sin(x_1)cos(\alpha)-sin(\alpha)cos(x_1)]+[sin(x_2)cos(\alpha)-sin(\alpha)cos(x_2)]+…

    +[sin(x_n)cos(\alpha)-sin(\alpha)cos(x_n)]

    Por definición de seno de la diferencia de ángulos

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  7. No hay nada que demostrar porque es trivial o qué?

    Por condición del problema \alpha \in [0,\pi/2]

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  8. O sea es un caso particular trivial que se cumple, así se diría matemáticamente no?

    Atte. un ingeniero aficionado a las matemáticas.

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  9. Lo que intentaba era maximixar el lado izquierdo de la primera desigualdad…

    ojo! intentaba… no sé como maximizarla, o acotar, o minimizarla y buscarle una cota inferior, etc.

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