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Suma de senos y cosenos

Hoy os traigo un problema que me mandó b1a23 al mail (recuerdo: gaussianos (arroba) gmail (punto) com) hace un tiempo:

Comprueba que todo triángulo $ABC$ que verifique que

$sen(B) + sen(C) = cos(B) + cos(C)$

es rectángulo.

A por él.

Escrito por ^DiAmOnD^, 11 de Marzo de 2008 en Juegos

19 comentarios

Trackback para este post

Belen - 11 de Marzo de 2008 11:12

Mi solución:

sin (B) + sin(C) = cos(B) + cos(C)
sin(pi - A - C) + sin(C) = cos(pi - A- C) + cos (C)
sin(A)(cosC - sinC) + cosA(sinC + cosC) = cosC - sin C
sinA +cosA $\frac{sin C + cos C}{cosC - sin C}$ =1
sin A + cosA $\frac{dfrac{tanC +1}{\sqrt{1+tan^2C}}}{\frac{-tanC +1}{\sqrt{1+tan^2C}}}$ = 1
sin A - $\sqrt{1-sin^2A}$=1
sinA(1-sinA)=0
Belen - 11 de Marzo de 2008 11:21

Mi solución:

sin (B) + sin(C) = cos(B) + cos(C)
$\sin{(\pi - A - C)} + \sin{C} = \cos{(\pi - A- C)} + \cos{C}$
sin(A)(cosC - sinC) + cosA(sinC + cosC) = cosC - sin C
$sinA +cosA \dfrac{sinC+cosC}{cosC-sin C}=1$
sin A + cosA $\dfrac{\dfrac{tanC +1}{\sqrt{1+tan^2C}}}{\dfrac{-tanC +1}{\sqrt{1+tan^2C}}}$ = 1
sin A - $\sqrt{1-sin^2A}$ =1
sinA(1-sinA)=0
Belen - 11 de Marzo de 2008 11:22

Ah bueno, sinA no puede ser 0 porque entonces no ser un triángulo, luego tiene que ser 1 y entonces $A=\frac{\pi}{2}$
Domingo H.A. - 11 de Marzo de 2008 17:41

Belén, por completitud también debes decir qué pasa si $cos\;C=sen\;C$ . Este caso sencillo nos conduce a $B=C=\dfrac{A}{2}=\dfrac{\pi}{4}$ .
fede - 11 de Marzo de 2008 21:01

El resultado se obtiene también usando las fórmulas de prostafairesis…
Omar-P - 11 de Marzo de 2008 21:11

fede, ¡Gracias por el link!
Acho - 12 de Marzo de 2008 0:40

Se podría decir, entonces, que un triángulo es rectángulo si y solo si dos de sus ángulos verifican esa igualdad.
miquel angel amengual - 12 de Marzo de 2008 22:40

Mi solución:

$\sin B\ + \sin C\ = 2 \sin \frac {B+C}{2}\\ \cdot \cos \frac {B-C}{2} latex$

y para el segundo miembro:
$\cos B\ + \cos C\ = 2 \cos \frac {B+C}{2}\\ \cdot \cos \frac {B-C}{2}\\ latex$ Simplificando el último factor y el 2 queda:
$\sin \frac {B+C}{2} = \cos \frac {B+C}{2} latex$ y por tanto
$\frac{B+C}{2}\ = \frac {\pi} {4}\ latex$
y inmediatamente
$A = \frac {\pi} {2} latex$
miquel angel amengual - 12 de Marzo de 2008 22:50

Mi solución:

$\sin B\ + \sin C\ = 2 \sin \frac {B+C}{2}\\ \cdot \cos \frac {B-C}{2}$

y para el segundo miembro:

$\cos B\ + \cos C\ = 2 \cos \frac {B+C}{2}\\ \cdot \cos \frac {B-C}{2}\\$ Simplificando el último factor y el 2 queda:
$\sin \frac {B+C}{2} = \cos \frac {B+C}{2}$ y por tanto
$\frac{B+C}{2}\ = \frac {\pi} {4}\$
y inmediatamente
$A = \frac {\pi} {2}$
FAR - 13 de Marzo de 2008 14:21

En primer lugar un saludo a todos y enhorabuena por el site (¿todavía se dice así?).Voy con mi primera contribución.
Si el triángulo es rectángulo A=90º, por tanto, B+C=90º. Así, sen(B)=sen(90-C) y sen(C)=sen(90-B), usando las fórmulas de adición de ángulos: sen(90-C)=sen(90)cos(C)-cos(90)sen(C)=cos(C) y sen(90-B)=sen(90)cos(B)-cos(90)sen(B)=cos(B), si sumamos (y aplicamos la propiedad conmutativa…) nos queda cos(B)+cos(C) que era el resultado esperado. No sé si la demostración es muy rigurosa pero ahí queda mi granito de arena…
miquel angel amengual - 13 de Marzo de 2008 15:24

Acabas de intentar demostrar la inversa: si és rectàngulo lo cumple pero, y al revés?

No se para qué necesitas la propiedad commutativa.

Interesante tu granito de arena, ya que lo que estàs diciendo es muy simple : si A es recto entonces B y C son complementarios y el seno de uno es el coseno del otro y la igualdad es cierta.

Mi solución es la de fede y sus fórmulas de prostafairesis. Me di cuenta después con lo que me hubiera ahorrado escribirla. Moraleja: hay que leer los enlaces de los mensajes! (lo mejor de este wiki-foro)
Jones, Francisco - 13 de Marzo de 2008 15:42

Hola

Todos dais por supuesto que A es el ángulo recto y B y C son los dos restantes.

¿eso es así desde siempre? Es la primera vez que lo veo.

Cuando leí el texto del problema asumí que B y C representaban dos ángulos cualesquiera, no necesariamente los ángulos agudos.
miquel angel amengual - 13 de Marzo de 2008 15:54

hola,

no se da por supuesto que A es el recto. Todo lo contrario: surge de la demostración
Jones, Francisco - 13 de Marzo de 2008 22:09

Entonces, si B fuese el ángulo recto:

sen(90º) + sen(C) = cos(90º) + cos(C)
1 + sen(C) = cos(C)

Pero esto es imposible ya que estamos manejando ángulos entre 0º y 90º

Por tanto la fórmula del problema solamente es válida para los ángulos agudos B y C, no para cualquier par de ángulos que tomes (AB, AC, BC)
miquel angel amengual - 13 de Marzo de 2008 22:21

Hola,

exacto: esto es así en tu demostración del inverso del enunciado.
No en las demàs, ya que no podemos suponer que ningun àngulo es recto. Precisamente queremos demostrar que el triàngulo es rectángulo. Resulta que el ángulo recto es A, hasta aquí perfecto pero me parece que no se ha supuesto anteriormente (en las otras demostraciones).
sergio - 17 de Junio de 2008 19:05

ahi va una solucion

provando
sergio - 17 de Junio de 2008 19:25

hola soy nuevo en esto
no se usar el codigolatex pero bueno ahi les va una solucion pero no sean duros con las criticas

te dan SEN(C)+SEN(B)=COS(B)+COS(C)
pasandolo convenientemente

SEN(B)-COS(B)=COS(C)-SEN(C)
ahora factorizo (-1) en el segundo miembro
SEN(B)-COS(B)=(-1)(SEN(C)-COS(C))
ESTO ES IGUAL A
\sqrt{2)(45-B)=(-1)(\sqrt{2))(45-C)
finalmente queda
SEN(45-B)=-SEN(45-C)
multiplicandole por la inversa de sen(arcsen)
45-B=C-45
entonces
90=B+C
miquel angel amengual - 18 de Junio de 2008 9:21

Hola sergio,

Cómo pasas a la raiz cuadrada?
No se entiende ni veo por donde quieres ir
sergio - 18 de Junio de 2008 20:18

hola miguel

esque estoy expresando de otra manera
sen(x)-cos(x)=raiz de dos por sen(45-x)
o sino desarrolla esto para que des cuenta
sen(45-x) a este resultado te faltaria multiplicar por raiz de dos para que sea igual a
sen(x)-cos(x)

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