Suma de senos y cosenos

Hoy os traigo un problema que me mandó b1a23 al mail (recuerdo: gaussianos (arroba) gmail (punto) com) hace un tiempo:

Comprueba que todo triángulo ABC que verifique que

sen(B) + sen(C) = cos(B) + cos(C)

es rectángulo.

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^ |  Publicado el 11 de Marzo de 2008
Categorías: Juegos

19 comentarios

  1. Belen | 11 de Marzo de 2008 | 11:12

    Mi solución:

    sin (B) + sin(C) = cos(B) + cos(C)
    sin(pi - A - C) + sin(C) = cos(pi - A- C) + cos (C)
    sin(A)(cosC - sinC) + cosA(sinC + cosC) = cosC - sin C
    sinA +cosA $\frac{sin C + cos C}{cosC - sin C}$ =1
    sin A + cosA $\frac{dfrac{tanC +1}{\sqrt{1+tan^2C}}}{\frac{-tanC +1}{\sqrt{1+tan^2C}}}$ = 1
    sin A - $\sqrt{1-sin^2A}$=1
    sinA(1-sinA)=0

  2. Belen | 11 de Marzo de 2008 | 11:21

    Mi solución:

    sin (B) + sin(C) = cos(B) + cos(C)
    \sin{(\pi - A - C)} + \sin{C} = \cos{(\pi - A- C)} + \cos{C}
    sin(A)(cosC - sinC) + cosA(sinC + cosC) = cosC - sin C
    sinA +cosA \dfrac{sinC+cosC}{cosC-sin C}=1
    sin A + cosA \dfrac{\dfrac{tanC +1}{\sqrt{1+tan^2C}}}{\dfrac{-tanC +1}{\sqrt{1+tan^2C}}} = 1
    sin A - \sqrt{1-sin^2A}=1
    sinA(1-sinA)=0

  3. Belen | 11 de Marzo de 2008 | 11:22

    Ah bueno, sinA no puede ser 0 porque entonces no ser un triángulo, luego tiene que ser 1 y entonces A=\frac{\pi}{2}

  4. Domingo H.A. | 11 de Marzo de 2008 | 17:41

    Belén, por completitud también debes decir qué pasa si cos\;C=sen\;C. Este caso sencillo nos conduce a B=C=\dfrac{A}{2}=\dfrac{\pi}{4}.

  5. fede | 11 de Marzo de 2008 | 21:01

    El resultado se obtiene también usando las fórmulas de prostafairesis…

  6. Omar-P | 11 de Marzo de 2008 | 21:11

    fede, ¡Gracias por el link!

  7. Acho | 12 de Marzo de 2008 | 0:40

    Se podría decir, entonces, que un triángulo es rectángulo si y solo si dos de sus ángulos verifican esa igualdad.

  8. miquel angel amengual | 12 de Marzo de 2008 | 22:40

    Mi solución:

    \sin B\ + \sin C\ = 2 \sin \frac {B+C}{2}\\ \cdot \cos \frac {B-C}{2} latex

    y para el segundo miembro:
    \cos B\ + \cos C\ = 2 \cos \frac {B+C}{2}\\ \cdot \cos \frac {B-C}{2}\\ latex Simplificando el último factor y el 2 queda:
    \sin \frac {B+C}{2} = \cos \frac {B+C}{2} latex y por tanto
    \frac{B+C}{2}\ = \frac {\pi} {4}\ latex
    y inmediatamente
    A = \frac {\pi} {2} latex

  9. miquel angel amengual | 12 de Marzo de 2008 | 22:50

    Mi solución:

    \sin B\ + \sin C\ = 2 \sin \frac {B+C}{2}\\ \cdot \cos \frac {B-C}{2}

    y para el segundo miembro:

    \cos B\ + \cos C\ = 2 \cos \frac {B+C}{2}\\ \cdot \cos \frac {B-C}{2}\\ Simplificando el último factor y el 2 queda:
    \sin \frac {B+C}{2} = \cos \frac {B+C}{2} y por tanto
    \frac{B+C}{2}\ = \frac {\pi} {4}\
    y inmediatamente
    A = \frac {\pi} {2}

  10. FAR | 13 de Marzo de 2008 | 14:21

    En primer lugar un saludo a todos y enhorabuena por el site (¿todavía se dice así?).Voy con mi primera contribución.
    Si el triángulo es rectángulo A=90º, por tanto, B+C=90º. Así, sen(B)=sen(90-C) y sen(C)=sen(90-B), usando las fórmulas de adición de ángulos: sen(90-C)=sen(90)cos(C)-cos(90)sen(C)=cos(C) y sen(90-B)=sen(90)cos(B)-cos(90)sen(B)=cos(B), si sumamos (y aplicamos la propiedad conmutativa…) nos queda cos(B)+cos(C) que era el resultado esperado. No sé si la demostración es muy rigurosa pero ahí queda mi granito de arena…

  11. miquel angel amengual | 13 de Marzo de 2008 | 15:24

    Acabas de intentar demostrar la inversa: si és rectàngulo lo cumple pero, y al revés?

    No se para qué necesitas la propiedad commutativa.

    Interesante tu granito de arena, ya que lo que estàs diciendo es muy simple : si A es recto entonces B y C son complementarios y el seno de uno es el coseno del otro y la igualdad es cierta.

    Mi solución es la de fede y sus fórmulas de prostafairesis. Me di cuenta después con lo que me hubiera ahorrado escribirla. Moraleja: hay que leer los enlaces de los mensajes! (lo mejor de este wiki-foro)

  12. Jones, Francisco | 13 de Marzo de 2008 | 15:42

    Hola

    Todos dais por supuesto que A es el ángulo recto y B y C son los dos restantes.

    ¿eso es así desde siempre? Es la primera vez que lo veo.

    Cuando leí el texto del problema asumí que B y C representaban dos ángulos cualesquiera, no necesariamente los ángulos agudos.

  13. miquel angel amengual | 13 de Marzo de 2008 | 15:54

    hola,

    no se da por supuesto que A es el recto. Todo lo contrario: surge de la demostración

  14. Jones, Francisco | 13 de Marzo de 2008 | 22:09

    Entonces, si B fuese el ángulo recto:

    sen(90º) + sen(C) = cos(90º) + cos(C)
    1 + sen(C) = cos(C)

    Pero esto es imposible ya que estamos manejando ángulos entre 0º y 90º

    Por tanto la fórmula del problema solamente es válida para los ángulos agudos B y C, no para cualquier par de ángulos que tomes (AB, AC, BC)

  15. miquel angel amengual | 13 de Marzo de 2008 | 22:21

    Hola,

    exacto: esto es así en tu demostración del inverso del enunciado.
    No en las demàs, ya que no podemos suponer que ningun àngulo es recto. Precisamente queremos demostrar que el triàngulo es rectángulo. Resulta que el ángulo recto es A, hasta aquí perfecto pero me parece que no se ha supuesto anteriormente (en las otras demostraciones).

  16. sergio | 17 de Junio de 2008 | 19:05

    ahi va una solucion

    provando

  17. sergio | 17 de Junio de 2008 | 19:25

    hola soy nuevo en esto
    no se usar el codigolatex pero bueno ahi les va una solucion pero no sean duros con las criticas

    te dan SEN(C)+SEN(B)=COS(B)+COS(C)
    pasandolo convenientemente

    SEN(B)-COS(B)=COS(C)-SEN(C)
    ahora factorizo (-1) en el segundo miembro
    SEN(B)-COS(B)=(-1)(SEN(C)-COS(C))
    ESTO ES IGUAL A
    \sqrt{2)(45-B)=(-1)(\sqrt{2))(45-C)
    finalmente queda
    SEN(45-B)=-SEN(45-C)
    multiplicandole por la inversa de sen(arcsen)
    45-B=C-45
    entonces
    90=B+C

  18. miquel angel amengual | 18 de Junio de 2008 | 9:21

    Hola sergio,

    Cómo pasas a la raiz cuadrada?
    No se entiende ni veo por donde quieres ir

  19. sergio | 18 de Junio de 2008 | 20:18

    hola miguel

    esque estoy expresando de otra manera
    sen(x)-cos(x)=raiz de dos por sen(45-x)
    o sino desarrolla esto para que des cuenta
    sen(45-x) a este resultado te faltaria multiplicar por raiz de dos para que sea igual a
    sen(x)-cos(x)

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