Suma del 0 al 9 y consigue 1000

Me envía zaidmaths un mail con un problema que le han propuesto. Os lo dejo aquí para que penséis un poco, como soléis hacer:

Utilizando los dígitos del 0 al 9, sin repetir, construir números positivos tal que su suma sea igual a 1000

A ver quién lo resuelve antes.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

44 Comentarios

  1. Es imposible, a no ser que haya una solución MUY imaginativa.

    La suma es múltiplo de 9 y 1000 no lo es.

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  2. Según estaba planteado en el mail se tendrían que usar todos los dígitos sin repetir y sólo están permitidas las sumas.

    NaaN, ¿estás segura de que has hecho las cuentas bien en tu último comentario? 😛

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  3. Se tiene que poder hacer.
    Para 999 hay muchas empleando todas las cifras:

    897+56+30+4+12=999
    897+50+46+1+2+3=999

    Seguirá intenando obtener 1000

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  4. Es imposible.

    ¿Es necesario ue os demuestre que la suma de varios números usando todos los dígitos es múltiplo de 9 (o de 3, más fácil) y que 1000 no lo es?

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  5. Si seguí intentándolo y empecé a estar cada vez más de acuerdo con Zifra 🙂 Perdón por mi suposición errónea.

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  6. Ahora mismo no me puedo poner a hacer cálculillos, pero me ha llamado la atención lo de números positivos: 3.1 + 2.9 = 6 esto rompería la supuesta multiplicidad de 9

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  7. juanmah debe referirse a números enteros positivos, pero en el mail venía redactado así.

    Por cierto, sí, zifra tiene razón. A ver quién lo demuestra 🙂

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  8. Yo tambien soy de la idea de que salen numeros divisibles entre 9, pues un numero cualquiera si la suma de sus digitos es divisible entre 9, y mads aun, la suma de los digitos de dos nuemors no divisbles entre 9 cuya suma de digitos es divisible entre 9, la suma de las ccifras es divisble entre 9, me refiero a que ab+cd a pesar de que ab y cd por ceparado no sea divisible entre 9, si a+b+c+d es divisible entre 9, ab+cd es divisible entre 9, creo que es trivial este colorario pues se ve claramente cuando usamos base 10… pues al sumar dos digitos que pasan de 9 se hacen 1 otra vez… osea 10, por ejemplo si a+b9, a+b-9

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  9. no se por que no salio todo, pero sigo… ejemplo si a+b+c+d es divisble entre 9, ab+cd=(a+c)*10+(b+d) pero como la suma es asociativa y conmutativa, a+b+c+d=(a+c)+(b+d) que seria la suma necesaria para saber si este nuevo numero es divisible entre 9, por tanto los numero generados por la suma de los numeros 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 es divisible entre 9 no importando que potencia de 10 se aplique a cada uno, pero creo que si existe la solucion si pensamos en base 11 por ejemplo (trabajare en eso). Saludos

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  10. Si se está pensando sólo en “números enteros”, me parece que ya se vislumbra una demostración de su imposibilidad…
    Pero si pensamos en números (no necesariamente enteros) , entonces cabe la posibilidad de utilizar “números fraccionarios” (el enunciado da esa posibilidad)y en ese caso una solución podría ser esta: 902+87+6/3+5/1+4
    Saludos,
    merfat

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  11. De verdad esto me parece fascinante, espero que no perdamos nunca esta genial capacidad de resolver problemas en grupo, lo de merfat me parece correcto pues el enunciado no mencionaba el hecho de que fueran nùmeros enteros (por lo menos asi no me lo plantearon). De verdad estoy muy agradecido y tengan por seguro que cualquier duda que aparezca se las haré llegar.

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  12. la demostracion de betanzos con otras palabras:
    sean :a1,a2,…,an /a1+a2+…+an=9º—>la suma de cualquier formacion de numeros(cada numero tomado una sola vez) arbitraria en cantidad de digitos y posicion de ellas es siempre 9º.
    demostracion:(abierto a cualquier correccion)

    toda formacion se podra escribir de la siguiente forma:a1*10^i1+a2*10^i2+…+an*10^in donde i1,i2,…,in >=0 aqui notemos 2 grupos convenientes A={a/ij=0} y B={b/ij>0} y como siempre se cumple 10^b-1=9º y 10^b=10^b-1+1
    –> a1*10^i1+a2*10^i2+…+an*10^in=∑9º+a1+a2+…+an=9º

    por lo tanto en particular 1000 no es ontenible de la suma arbitraria de los numeros 0,1,…9.

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  13. Asier en el enunciado pone suma. Igual no valdría tu resultado ya que contiene un producto.

    juan faltan 4 números por usar.

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  14. En la solución de merfat hay divisiones… cual es la diferencia?

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  15. Ups, cierto. Entonces supongo que también valdría.

    De todas formas como el enunciado es algo ambiguo no sé muy bien cuáles tendríamos que aceptar 😛

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  16. No soy un experto en matemáticas asi que lamentablemente no entiendo la demostración de más arriba y si estan seguros de que es cierto entonces no existe algun lugar donde este más explicita, quizás alguien prodia programar algo para comprobarlo, gracias

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  17. La s soluciones de Asier y Merfat si difieren. La de Merfat cumple exactamente con el enunciado por que todos los numeros que construyo para hacer la suma eran positivos, en cambio unos de los que Asier construyo (0*269) no es positivo, al menos no de la manera estricta. Aun asi muy buenas soluciones

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  18. jeje, sabía que alguien le sacaría la punta… pero puedo argumentar lo siguiente:
    digo que he construido dos números positivos. Uno es el 847 y el otro es (153 + 0 * 269), es decir:

    847 + (153 + 0 * 269) = 1000

    creo que cumple estrictamente el enunciado.

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  19. jaja, justo despues de poner el comentario pense en eso, esperaba solo a ver que contestaban al respecto.. muy buena observacion.

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  20. ops… en ese caso también valdría

    985 + (60-47) + (3+1-2)

    un poco tramposo, no… pero he construido tres números positivos 😀

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  21. Creo que se complicaron mucho sin necesidad:
    1 – NO se permiten productos; sólo deben utilizarse sumas
    2 – Probar la no satisfacción de condiciones necesarias suele ser más eficiente que la fuerza bruta(en caso de que no sea posible, claro está), además de ser mucho más elegante, contundente y gratificante.

    En primer lugar, contamos con un conjunto de dígitos que debemos utilizar en su totalidad y sin repeticiones se un mismo elemento, a saber:
    D = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

    Para encarar el análisis del problema suponemos que la solución puede realizarse sumando números de un solo dígito. Pero vemos que la suma sería (9*10)/2, lo cual está ciertamente lejos de 1000.

    Ahora suponemos que la solución consta de números de dos cifras y números de una cifra.
    Las cifras que ocupen los lugares de las decenas sumarán una cantidad positiva que llamaremos S(di). Pero también sabemos que al sumar como decenas no sumarán como unidades por lo cual la suma de las unidades será
    S(ui) = (9*10)/2 -S(di)

    Resultando la suma total como:

    S = 10 * S(di) + S(ui) = 10 * S(di) + 45 – S(di)

    Recoremos que esta suma S debe ser 1000 con lo cual:

    9 * S(di) + 45 = 1000

    9 * S(di) = 955

    Como S(di) es una suma de elementos de Z>=0, y la suma es cerrada en Z>=0, resulta que S(di) debe ser entero con lo cual 955 debería ser múltiplo de 9. Pero esto no es cierto, por lo tanto queda demostrado que la suma no puede ser sólo de números de una y dos cifras.

    Razonando análogamente para el caso de números de una, dos y tres cifras se llega a:

    99 * S(ci) + 9 * S(di) + 45 = 1000

    9 * (9 * S(ci) + S(di)) = 955

    9 * H = 955 , con H perteneciente a N.

    Aquí sucede lo mismo que antes, entonces tampoco es posible con una, dos y tres cifras.

    Ahora quedaría el caso de cuatro cifras, que puede ser analizado mas brevemente de la siguiente manera:

    El menor número posible de cuatros cifras que se forma concatenando elementos de D es:
    0123
    Pero sabemos que este caso es equivalente a 123(en general 0xyz, con x,y,z distintos de cero) que fue analizado anteriormente. Entonces el menor número de cuatro cifras posible es:
    1023… evidentemente 1023>1000. Como las única operación permitida es la suma, entonces no es posible.

    Para el caso de mayor cantidad de cifras el menor número posible será mayor que éste, por lo cual, queda demostrado que no es posible lograr una suma de números naturales(cero incluido) con los dígitos del conjunto D tal que no se repitan los dígitos y la única operación posbile sea la suma.

    En cuanto a la solución propuesta por Asier me gustaría aclarar que no es válida debido el producto por 0. Por otro lado, en caso de que fuera válida, sería también válida cualquier expresión de la forma:

    A1 + A2 + 0 * ( A + B + C + …) tal que A1,A2,A,B,C,… no contengan ceros y se cumpla:
    A1 + A2 =1000

    Por supuesto estas soluciones se hallan trivialmente(lo cual quita gracia al problema planteado):

    521 + 479 + 0 * ( 3 + 6 + 8 ) = 1000

    284 + 716 + 0 * ( 35 + 9 ) = 1000

    987 + 13 + 0 * ( 245 + 6 ) = 1000

    …..

    Cosas parecidas sucedería en el caso de considerar sustracciones.

    Espero que se haya entendido, lo hice lo más claro que pude, cualquier cosa sigamos discutiendo 😀

    Disculpen por no usar Latex…

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  22. Muy buena demostración, Maxi, elegante y bien explicada. Enhorabuena.

    Solamente comentarte que la solución que propuse utilizando la multiplicación por cero fue debido a que se había dado por buena la solución de merfat utilizando divisiones, con lo cual consideré igual de ‘legal’ utilizar la multiplicación dentro de un sumando.

    PD: en el desarrollo que haces en lugar de
    9 * (9 * S(ci) + S(di)) = 955
    debería poner:
    9 * (11 * S(ci) + S(di)) = 955
    un detalle sin ninguna importancia.

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  23. Gracias por la corrección Asier 😉

    El foro está muy bueno… Espero sigan en línea por mucho tiempo 😀 😀 😀

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  24. quisiera decir humildemente como aprendis de matematico. que la suma no necesariamente resultará multiplo de tres o nueve, puesto que en el caso de sumar los numeros de solo un dijito tendriamos como resultado 55 que no es multiplo de nueve.

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  25. Amaranta_no fíjate que sumamos del 0 al 9, no del 0 al 10. La suma de los números de 0 a 9 es 45, que sí es múltiplo de 9.

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  1. meneame.net - Problema: suma del 0 al 9 y consigue 1000... Le he seguido por un rato y aun no hay…

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