Suma igual a cuadrado perfecto

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Suma igual a cuadrado perfecto

Os dejo el problema de esta semana:

Encontrar todos los números naturales $n$ tales que la expresión

$2^8+2^{11}+2^n$

es un cuadrado perfecto.

A por él, que no es difícil.

Sin comentarios

Trackback | 8 Sep, 2009

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Tanhäuser | 8 de September de 2009 | 10:56

Si no me he equivocado, a mí me sale que el único natural que cumple la condición del enunciado es $n=12$ .

Para probarlo he procedido del siguiente modo.
1.- Fácilmente se comprueba que los naturales menores o iguales que 8 no lo cumplen, por tanto podemos suponer que $n\geq 8$ .
2.- Sacamos $2^8$ factor común y teniendo en cuenta que 8 es par, deducimos que $1+8+2^{n-8}$ debe ser el cuadrado de un natural $k$ . Así, $2^{n-8}=k^2-9=(k-3)(k+3)$ .
3.- De la última identidad se deduce que tanto $k-3$ como $k+3$ deben ser potencias de 2. Dado que distan 6 unidades y las únicas potencias de dos que tienen esta propiedad son 2 y 8, concluimos que $k=5$ .
4.- En consecuencia $2^{n-8}=k^2-9=16$ , de donde se obtiene que $n=12$ .
Manzano | 8 de September de 2009 | 10:56

Es fácil ver que para $n=12$ se cumple que $2^8+2^{11}+2^{12}=(2^4+2^6)^2$ y también se ve que para $n\leq 11$ el número no es un cuadrado perfecto. Vamos a ver entonces que para $n$ mayor que 12 tampoco es un cuadrado perfecto.

En efecto, escribiendo $n=8+m$ con $m\geq 4$ , tenemos que $2^8+2^{11}+2^n=2^8(9+2^m)$ luego será suficiente encontrar las soluciones naturales $(a,m)$ de la ecuación $2^m+9=a^2$ , que podemos escribir de forma equivalente como $2^m=a^2-9=(a+3)(a-3)$ de donde deducimos por el teorema fundamental de la aritmética que $a+3$ y $a-3$ tienen que ser potencias de 2. Como las únicas potencias de 2 que se diferencian en seis unidades son $2$ y $8$ , tenemos que la única solución es $a-3 =2$ y $a+3=8$ , de donde $a=5$ y $m=4$ , esto es, tenemos que la única solución posible es $n=m+8=12$ .
Manzano | 8 de September de 2009 | 10:58

Vaya Tanhäuser, ¡hemos puesto lo mismo al mismo tiempo!
Cristobal | 8 de September de 2009 | 14:55

Sólo un apunte, si consideramos cero como natural, tenemos que para n=0 se tiene 48^2, que claramente es un cuadrado perfecto
JuanPablo | 8 de September de 2009 | 15:36

cristobal, si n es cero el número es impar, no puede ser el cuadrado de 48
Cristobal | 8 de September de 2009 | 15:41

jejeje, qué volao estoy , se me ha ido la cabeza
Omar-P | 8 de September de 2009 | 17:47

El cero no es un número natural. Los números naturales son los enteros positivos: 1, 2, 3,…
Paolo | 9 de September de 2009 | 03:47

Bueno, yo también obtuve la única solución igual a 12, pero lo hice de la siguiente manera:

la suma original la acomodé para que tenga la forma:

$a^{2} + 2ab + b^{2} = (a+b)^{2}$

o sea:

$2^{8} + 2^{11} + 2^{n} =$

$(2^{4})^{2} + 2(2^{4})(2^{6}) + (2^{n/2})^{2}$

que será un cuadrado perfecto sólo si se cumple que:

$n/2 = 6$

porque así tendríamos que:

$a = 2^{4}$
$b = 2^{6}$

y por lo tanto la expresión original tendría la forma de un cuadrado perfecto:

$a^{2} + 2ab + b^{2} = (a+b)^{2}$

por lo tanto:

$n/2 = 6$

$n = 12$
Andor | 9 de September de 2009 | 16:13

Yo opino que el 0 si es un número Natural, algo especial, eso si. Antes pensaba como Omar-P, pero después de reflexionar y madurar un poco la idea pienso que el 0 si es Natural. Supongo que cada uno tratará el 0 como Natural o como Entero,dependiendo de lo que crea, por eso es bueno decir antes de proponer un problema si el 0 es solución posible o trivial o no queda dentro del conjunto en el que nos movemos. Lo malo del 0 es que no se puede poner ni como positivo ni como negativo, entonces,¿Dónde lo añadimos?
PAZ
lexth | 10 de September de 2009 | 00:49

..
buenoeste problema..esoty seguro q algunos lo hicieron sin pensaar(mecanicamente)pero piensen.. es ese el procedimiento q queria el autor del problema?¿..
antes pensava igual q la inteligencia era aser todo lo ma difilmente posible pero es ora de q ustedes sepan el por q
Omar-P | 10 de September de 2009 | 14:05

Los números naturales son los enteros positivos: {1,2,3,…}
El cero no es un número positivo ni negativo, sino neutro. Si incluímos el cero en la lista anterior, entonces obtenemos los números denominados enteros no negativos: {0,1,2,3,…} (The nonnegative integers).
Andor | 10 de September de 2009 | 14:10

Yo sólo dije eso porque tuve maestros que incluían el 0 como Natural y otros que no, llegue a la conclusión de que depende del autor. Simplemente a mi me gusta más pensar que el 0 es Natural.
Cristobal | 10 de September de 2009 | 14:43

Vaya yo no quería montar polémica alguna. Pero bueno voy a meter más leña al mono

El conjunto de los números naturales junto con la operación binaria interna de la suma es un semigrupo, y se toma como neutro el cero.
Otra más, si se llaman naturales porque son aquellos números que todo ser humano piensa que existen de “forma natural”, entonces lo natural es que cero indique aquello que es “nada”, aunque aquí la historia tiene mucho que cortar, ¿no?. Como por ejemplo que muchas civilizaciones eran capaces de hacer operaciones algo complejas pero no tenían símbolo alguno para indicar “nada”.

Y todo esto porque me equivoqué jejeje, y me equivoqué porque estaba pensando en cómo resolver el problema del post usando Fermat, llegué a algo razonable pero a todas luces incorrecto, y eso me atrapó la mente demasiado.

Saludos
Nico | 26 de October de 2009 | 02:52

excelente tu modo Paolo te felicito!! el que mas entendiii