Suma igual a producto

El problema de esta semana es sencillo, para entretenerse, que estamos en época vacacional y es más complicado pensar, pero trata de una propiedad ciertamente curiosa. Vamos con él:

Dado un triángulo, demostrar que la suma y el producto de los valores de las tangentes de los tres ángulos del mismo son iguales.

Para los puristas, se entiende que estamos en geometría euclídea, vamos, que el triángulo en cuestión está contenido en un plano.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

11 Comentarios

  1. Mira, este lo puedo hacer. Me he dado un repaso importante en las páginas sobre triángulos que un lector puso en los comentarios y estoy algo más en forma. Me va a venir muy bien para aburrir a los alumnos a la vez que se calientan la cabeza.

    A esta página me refiero.

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  2. EDITADO POR ^DiAmOnD^

    Vayapordios, lo edito porque había quedado horroroso y no se entendía nada. Si quieres volver a escribir el comentario eres totalmente libre de hacerlo.

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  3. Sean a, b, c los tres ángulos del triángulo. Tenemos que c = 2\pi-(a+b) y por tanto \tan(c) = \tan(2\pi-(a+b)) = \frac{\sin(2\pi-(a+b))}{\cos(2\pi-(a+b))} = -\frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)} = -\tan(a+b)

    Por otro lado, de las fórmulas del \sin(a+b) y \cos(a+b) se deduce que \tan(a+b) = \frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}

    Por tanto,
    \tan(a) + \tan(b) + \tan(c) = \tan(a) + \tan(b)-\tan(a+b) = \tan(a+b)(1-\tan(a)\tan(b))-\tan(a+b) = \tan(a)\tan(b)(-\tan(a+b)) = \tan(a)\tan(b)\tan(c)

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  4. {tg}\left({{A}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{B}}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\frac{{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)}{{1}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)}

    Por otra parte en general para un triángulo A + B + C = 180º

    {tg}\left({C}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}{tg}\left({{\mathrm{180}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}\left({{A}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{B}}\right)}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\frac{{tg}{\mathrm{180}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({{A}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{B}}\right)}{{1}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}{\mathrm{180}}\left{tg}\left({{A}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{B}}\right)}

    Pero tg(180º) = 0 con lo que tg(C) = -tg(A + B)

    {tg}\left({C}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\frac{{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)}{{1}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)}

    {tg}\left({C}\right)\left({{1}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)}\right)\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)

    {tg}\left({C}\right)\mathrm{{-}}{tg}\left({C}\right){tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)

    {tg}\left({C}\right)\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}{tg}\left({C}\right){tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)

    Y ya está.

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  5. Ah! no había visto mi comentario “censurado”. De hecho ha sido el bug de la reedición, el comentario bueno era el de abajo. Así queda mejor, desde luego. Yo lo eliminaría del todo.

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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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