Suma igual a producto

El problema de esta semana es sencillo, para entretenerse, que estamos en época vacacional y es más complicado pensar, pero trata de una propiedad ciertamente curiosa. Vamos con él:

Dado un triángulo, demostrar que la suma y el producto de los valores de las tangentes de los tres ángulos del mismo son iguales.

Para los puristas, se entiende que estamos en geometría euclídea, vamos, que el triángulo en cuestión está contenido en un plano.

12 comentarios

Vayapordios | 20 de July de 2010 | 11:15

Mira, este lo puedo hacer. Me he dado un repaso importante en las páginas sobre triángulos que un lector puso en los comentarios y estoy algo más en forma. Me va a venir muy bien para aburrir a los alumnos a la vez que se calientan la cabeza.

A esta página me refiero.
Vayapordios | 20 de July de 2010 | 11:53

EDITADO POR ^DiAmOnD^

Vayapordios, lo edito porque había quedado horroroso y no se entendía nada. Si quieres volver a escribir el comentario eres totalmente libre de hacerlo.
lucagali | 20 de July de 2010 | 12:07

Habia escrito una solución, pero he editado el comentario y me ha roto todo el código latex…
lucagali | 20 de July de 2010 | 12:14

Sean $a, b, c$ los tres ángulos del triángulo. Tenemos que $c = 2\pi-(a+b)$ y por tanto $\tan(c) = \tan(2\pi-(a+b)) = \frac{\sin(2\pi-(a+b))}{\cos(2\pi-(a+b))} = -\frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)} = -\tan(a+b)$

Por otro lado, de las fórmulas del $\sin(a+b)$ y $\cos(a+b)$ se deduce que $\tan(a+b) = \frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}$

Por tanto,
$\tan(a) + \tan(b) + \tan(c) = \tan(a) + \tan(b)-\tan(a+b) = \tan(a+b)(1-\tan(a)\tan(b))-\tan(a+b) = \tan(a)\tan(b)(-\tan(a+b)) = \tan(a)\tan(b)\tan(c)$
Vayapordios | 20 de July de 2010 | 12:19

${tg}\left({{A}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{B}}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\frac{{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)}{{1}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)}$

Por otra parte en general para un triángulo A + B + C = 180º

${tg}\left({C}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}{tg}\left({{\mathrm{180}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}\left({{A}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{B}}\right)}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\frac{{tg}{\mathrm{180}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({{A}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{B}}\right)}{{1}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}{\mathrm{180}}\left{tg}\left({{A}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{B}}\right)}$

Pero tg(180º) = 0 con lo que tg(C) = -tg(A + B)

${tg}\left({C}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\frac{{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)}{{1}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)}$

${tg}\left({C}\right)\left({{1}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)}\right)\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)$

${tg}\left({C}\right)\mathrm{{-}}{tg}\left({C}\right){tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)$

${tg}\left({C}\right)\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}{tg}\left({C}\right){tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)$

Y ya está.
Trackback | 20 Jul, 2010

Bitacoras.com
Vayapordios | 20 de July de 2010 | 12:21

No será tanto como dos pi.
lucagali | 20 de July de 2010 | 12:28

Claro, madre mía, donde dice 2pi es pi. Obviamente.
gaussianos | 20 de July de 2010 | 15:10

Este era fácil, aunque la propiedad no deja de ser curiosa pro ello. Muy bien chicos.
Vayapordios | 21 de July de 2010 | 13:52

“Este era fácil,…”

Gracias por dejarlo tan claro.
josejuan | 21 de July de 2010 | 14:58

¡Vaya por Dios!

Ja, ja, …
Vayapordios | 21 de July de 2010 | 21:33

Ah! no había visto mi comentario “censurado”. De hecho ha sido el bug de la reedición, el comentario bueno era el de abajo. Así queda mejor, desde luego. Yo lo eliminaría del todo.