Comments on: Suma igual a producto http://gaussianos.com/suma-igual-a-producto/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 21:24:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: Vayapordios http://gaussianos.com/suma-igual-a-producto/#comment-14908 Vayapordios Wed, 21 Jul 2010 19:33:15 +0000 http://gaussianos.com/?p=2741#comment-14908 Ah! no había visto mi comentario "censurado". De hecho ha sido el bug de la reedición, el comentario bueno era el de abajo. Así queda mejor, desde luego. Yo lo eliminaría del todo. Ah! no había visto mi comentario “censurado”. De hecho ha sido el bug de la reedición, el comentario bueno era el de abajo. Así queda mejor, desde luego. Yo lo eliminaría del todo.

]]> By: josejuan http://gaussianos.com/suma-igual-a-producto/#comment-14907 josejuan Wed, 21 Jul 2010 12:58:35 +0000 http://gaussianos.com/?p=2741#comment-14907 ¡Vaya por Dios! Ja, ja, ... :) ¡Vaya por Dios!

Ja, ja, … :)

]]> By: Vayapordios http://gaussianos.com/suma-igual-a-producto/#comment-14906 Vayapordios Wed, 21 Jul 2010 11:52:32 +0000 http://gaussianos.com/?p=2741#comment-14906 "Este era fácil,..." Gracias por dejarlo tan claro. “Este era fácil,…”

Gracias por dejarlo tan claro.

]]> By: gaussianos http://gaussianos.com/suma-igual-a-producto/#comment-14905 gaussianos Tue, 20 Jul 2010 13:10:59 +0000 http://gaussianos.com/?p=2741#comment-14905 Este era fácil, aunque la propiedad no deja de ser curiosa pro ello. Muy bien chicos. Este era fácil, aunque la propiedad no deja de ser curiosa pro ello. Muy bien chicos.

]]> By: lucagali http://gaussianos.com/suma-igual-a-producto/#comment-14904 lucagali Tue, 20 Jul 2010 10:28:44 +0000 http://gaussianos.com/?p=2741#comment-14904 Claro, madre mía, donde dice 2pi es pi. Obviamente. Claro, madre mía, donde dice 2pi es pi. Obviamente.

]]> By: Vayapordios http://gaussianos.com/suma-igual-a-producto/#comment-14903 Vayapordios Tue, 20 Jul 2010 10:21:58 +0000 http://gaussianos.com/?p=2741#comment-14903 No será tanto como dos pi. No será tanto como dos pi.

]]> By: Bitacoras.com http://gaussianos.com/suma-igual-a-producto/#comment-14902 Bitacoras.com Tue, 20 Jul 2010 10:21:33 +0000 http://gaussianos.com/?p=2741#comment-14902 <strong>Información Bitacoras.com...</strong> Valora en Bitacoras.com: El problema de esta semana es sencillo, para entretenerse, que estamos en época vacacional y es más complicado pensar, pero trata de una propiedad ciertamente curiosa. Vamos con él: Dado un triángulo, demostrar que la sum...... Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: El problema de esta semana es sencillo, para entretenerse, que estamos en época vacacional y es más complicado pensar, pero trata de una propiedad ciertamente curiosa. Vamos con él: Dado un triángulo, demostrar que la sum……

]]> By: Vayapordios http://gaussianos.com/suma-igual-a-producto/#comment-14901 Vayapordios Tue, 20 Jul 2010 10:19:06 +0000 http://gaussianos.com/?p=2741#comment-14901 $latex {tg}\left({{A}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{B}}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\frac{{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)}{{1}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)}$ Por otra parte en general para un triángulo A + B + C = 180º $latex {tg}\left({C}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}{tg}\left({{\mathrm{180}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}\left({{A}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{B}}\right)}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\frac{{tg}{\mathrm{180}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({{A}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{B}}\right)}{{1}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}{\mathrm{180}}\left{tg}\left({{A}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{B}}\right)}$ Pero tg(180º) = 0 con lo que tg(C) = -tg(A + B) $latex {tg}\left({C}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\frac{{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)}{{1}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)}$ $latex {tg}\left({C}\right)\left({{1}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)}\right)\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)$ $latex {tg}\left({C}\right)\mathrm{{-}}{tg}\left({C}\right){tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)$ $latex {tg}\left({C}\right)\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}{tg}\left({C}\right){tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)$ Y ya está. {tg}\left({{A}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{B}}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\frac{{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)}{{1}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)}

Por otra parte en general para un triángulo A + B + C = 180º

{tg}\left({C}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}{tg}\left({{\mathrm{180}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}\left({{A}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{B}}\right)}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\frac{{tg}{\mathrm{180}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({{A}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{B}}\right)}{{1}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}{\mathrm{180}}\left{tg}\left({{A}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{B}}\right)}

Pero tg(180º) = 0 con lo que tg(C) = -tg(A + B)

{tg}\left({C}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\frac{{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)}{{1}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)}

{tg}\left({C}\right)\left({{1}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)}\right)\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)

{tg}\left({C}\right)\mathrm{{-}}{tg}\left({C}\right){tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)

{tg}\left({C}\right)\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{tg}\left({A}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{tg}\left({B}\right)\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}{tg}\left({C}\right){tg}\left({A}\right){tg}\left({B}\right)

Y ya está.

]]> By: lucagali http://gaussianos.com/suma-igual-a-producto/#comment-14900 lucagali Tue, 20 Jul 2010 10:14:17 +0000 http://gaussianos.com/?p=2741#comment-14900 Sean $latex a, b, c$ los tres ángulos del triángulo. Tenemos que $latex c = 2\pi-(a+b)$ y por tanto $latex \tan(c) = \tan(2\pi-(a+b)) = \frac{\sin(2\pi-(a+b))}{\cos(2\pi-(a+b))} = -\frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)} = -\tan(a+b)$ Por otro lado, de las fórmulas del $latex \sin(a+b)$ y $latex \cos(a+b)$ se deduce que $latex \tan(a+b) = \frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}$ Por tanto, $latex \tan(a) + \tan(b) + \tan(c) = \tan(a) + \tan(b)-\tan(a+b) = \tan(a+b)(1-\tan(a)\tan(b))-\tan(a+b) = \tan(a)\tan(b)(-\tan(a+b)) = \tan(a)\tan(b)\tan(c)$ Sean a, b, c los tres ángulos del triángulo. Tenemos que c = 2\pi-(a+b) y por tanto \tan(c) = \tan(2\pi-(a+b)) = \frac{\sin(2\pi-(a+b))}{\cos(2\pi-(a+b))} = -\frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)} = -\tan(a+b)

Por otro lado, de las fórmulas del \sin(a+b) y \cos(a+b) se deduce que \tan(a+b) = \frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}

Por tanto,
\tan(a) + \tan(b) + \tan(c) = \tan(a) + \tan(b)-\tan(a+b) = \tan(a+b)(1-\tan(a)\tan(b))-\tan(a+b) = \tan(a)\tan(b)(-\tan(a+b)) = \tan(a)\tan(b)\tan(c)

]]> By: lucagali http://gaussianos.com/suma-igual-a-producto/#comment-14899 lucagali Tue, 20 Jul 2010 10:07:56 +0000 http://gaussianos.com/?p=2741#comment-14899 Habia escrito una solución, pero he editado el comentario y me ha roto todo el código latex... Habia escrito una solución, pero he editado el comentario y me ha roto todo el código latex…

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