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Sumando fracciones con radicales y dividiendo entre potencias

Esta semana os dejo dos ejercicios no demasiado difíciles pero que me han parecido curiosos. Vamos con ellos:

Problema 1

Consideramos la siguiente suma:

$S(n)=\cfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\cfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+ \ldots + \cfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$

¿Para qué valores de $n$ es $S(n)$ un número entero positivo?

Problema 2

Dado $n$ un número entero positivo encontrar el valor más pequeño de $x$ que cumple que $x^x+1$ es divisible entre $2^n$ .

Ánimo y a por ellos.

Escrito por ^DiAmOnD^, 1 de Abril de 2008 en Juegos

14 comentarios

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Carlos Garza - 1 de Abril de 2008 10:30

para el primer problema sólo debemos racionalizar el denominador de cada fracción y al simplificar toda la expresión obtenemos:
(1-(n+1)^(1/2))/-1 = -1+(n+1)^(1/2), que toma valores enteros cuando n+1 pertenece a la progresión de cuadrados, (1,4,9,16,25,36,….)
así n puede ser igual a 8,15,24,…
(disculpen por no escribirlo en latex, es que ya es algo tarde y hoy tengo clases…
saludos a todos desde saltillo coahulia, está muy padre la página
Sive - 1 de Abril de 2008 17:29

Para el segundo: $x=2^n-1$

Porque:

$2^n-1 \equiv -1$ (mod 2^n)

$-1^{-1} + 1 \equiv 0$ (mod 2^n)
Val - 1 de Abril de 2008 18:21

Tiene que ser x entero? No lo pone en el problema.

Para n=2 x=1.825456… mientras que el entero es 3. Aunque tiene más sentido que sea entero, no tiene sentido que sea un problema numérico.
otro - 1 de Abril de 2008 23:26

$S(n)=\cfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\cfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+ \ldots + \cfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=$ $\cfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{2}+\sqrt{1})(\sqrt{2}-\sqrt{1})}+\cfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+ \ldots + \cfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=$ $=(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+ \ldots + (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})= \sqrt{n+1}-1$

Se cumple para los números que son uno menos que cuadrados perfectos, es decir, para 3, 8, 15, 24,…
Elpajarraco - 3 de Abril de 2008 18:14

el segundo es una tontería, n=1, x=1
Elpajarraco - 3 de Abril de 2008 18:15

si lo pone val
Carlos Garza - 6 de Abril de 2008 6:02

yo también vi de inmediato que el 1 cumplia para x y n, y pues satisface las condiciones pedidas, esa es a la solución que se refieren para el problema?????
Sive - 7 de Abril de 2008 16:38

Hay que expresar x en función de n.
Berserker - 8 de Abril de 2008 15:32

Para el primer problema queda asi entonces:

$n=x^2-1 \; \forall x\in\mathbb{N}$

(salvo x=0)

Saludos
Domingo H.A. - 16 de Abril de 2008 0:06

No sabía muy bien donde plantear esta cuestión y me he decidido por este post. La cuestión es:

demostrar que todo número racional positivo se puede expresar en la forma $\cfrac{a^3+b^3}{c^3+d^3}$ , donde a,b,c,d son números enteros positivos.

¡Cuánta razón tienen los estudiantes al quejarse sobre las fracciones!
Aldagrim - 17 de Abril de 2008 1:21

Deberias intentar provar que todo numero entero es la suma de a³+b³ donde a i b son numeros enteros. Para generalizar esto solo necesitas que sea todo numero positivo y automaticamente tienes que todo negativo lo es al coger los opuestos de a i b.
Supongo que todo esto se te habra ocurrido, pero por si acaso lo dejo aqui. Me parece haverlo visto en algun sitio pero no se donde.
Espero haber sido de ayuda
Sive - 17 de Abril de 2008 5:48

Si Fermat levantara la cabeza…
Domingo H.A. - 17 de Abril de 2008 10:08

Aldagrim, lo que ocurre es que dos cubos no bastan para representar todos los enteros.
Domingo H.A. - 18 de Abril de 2008 14:41

Bueno vamos a resolver la cuestión:

En un primer intento, vemos que para toda fracción se tiene que

$\cfrac{p}{q}=\cfrac{(p+q)^3+(2p-q)^3}{(p+q)^3+(2q-p)^3}$

Sin embargo, puede que $2p-q$ o $2q-p$ sean negativos. Serán ambos positivos sii $\cfrac{1}{2}\prec\cfrac{q}{p}\prec 2$ . Y por esta razón hacemos lo siguiente:

Tomamos un racional $\cfrac{x}{y}$ tal que

$\sqrt[3]{\cfrac{q}{2p}}\prec \cfrac{x}{y}\prec\sqrt[3]{\cfrac{2q}{p}}$ . Entonces vemos que $\cfrac{1}{2}\prec \cfrac{a}{b}\prec 2$ , donde $\cfrac{a}{b}=\cfrac{p}{q}\cdot\cfrac{x^3}{y^3}$

Y entonces ya está:

$\cfrac{p}{q}=\cfrac{y^3}{x^3}\cdot \cfrac{a}{b}=\cfrac{(y\cdot(a+b))^3+(y\cdot(2a-b))^3}{(x\cdot(a+b))^3+(x\cdot(2b-a))^3}$

Ejemplo: $\cfrac{1}{12}=\cfrac{5^3+1^3}{10^3+8^3}=\cfrac{442^3+308^3}{1105^3+335^3}=\ldots$

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