Comments on: Sumando hasta 2010 http://gaussianos.com/sumando-hasta-2010/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 21:24:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: Adrián http://gaussianos.com/sumando-hasta-2010/#comment-13159 Adrián Tue, 20 Apr 2010 12:35:08 +0000 http://gaussianos.com/?p=2136#comment-13159 La solución es un conjunto de m elementos en R tal que  2019045 <= m <= +infinito. Es una suma de gauss. +infinito sale de hacer los 2010 denominadores, casi cero.  2019045 es, con a1 hasta a2010 iguales a 1, la suma de los n primeros naturales con todos los denominadores iguales a 1.   La solución es un conjunto de m elementos en R tal que  2019045 <= m <= +infinito.
Es una suma de gauss. +infinito sale de hacer los 2010 denominadores, casi cero. 
2019045 es, con a1 hasta a2010 iguales a 1, la suma de los n primeros naturales con todos los denominadores iguales a 1.  

]]> By: Ty=Tobar http://gaussianos.com/sumando-hasta-2010/#comment-13158 Ty=Tobar Wed, 20 Jan 2010 19:50:18 +0000 http://gaussianos.com/?p=2136#comment-13158 real madrid, no esta patronizada real madrid, no esta patronizada

]]> By: real madrid http://gaussianos.com/sumando-hasta-2010/#comment-13157 real madrid Wed, 20 Jan 2010 17:24:52 +0000 http://gaussianos.com/?p=2136#comment-13157 ¿cuánto vale an? Un saludo ¿cuánto vale an?
Un saludo

]]> By: Marco! http://gaussianos.com/sumando-hasta-2010/#comment-13156 Marco! Wed, 20 Jan 2010 16:31:19 +0000 http://gaussianos.com/?p=2136#comment-13156 Lo que yo entiendo por $latex a_1, a_2,\ .\ .\ .\ ,\ a_{2010}$ es que sean números naturales cualesquiera.. Y es así cómo resolví el problema en el post anterior.. Primero había pensado en combinatoria, pero era imposible.. Entonces cuando pensé cuál podría ser el menor número, me di cuenta que no era difícil ver que cualquier número entre 1 y 2011*2010*2 era posible.. y que éste último era el máximo. Lo que yo entiendo por a_1, a_2,\ .\ .\ .\ ,\ a_{2010} es que sean números naturales cualesquiera.. Y es así cómo resolví el problema en el post anterior..

Primero había pensado en combinatoria, pero era imposible.. Entonces cuando pensé cuál podría ser el menor número, me di cuenta que no era difícil ver que cualquier número entre 1 y 2011*2010*2 era posible.. y que éste último era el máximo.

]]> By: ooo http://gaussianos.com/sumando-hasta-2010/#comment-13155 ooo Wed, 20 Jan 2010 13:54:42 +0000 http://gaussianos.com/?p=2136#comment-13155 Lo más fácil seria que $LaTeX a_n = n$. Entonces da 2010. Otra opción sería que todos los $LaTeX a_n $ fueran 1 y la suma da 2021055. Lo más fácil seria que $LaTeX a_n = n$. Entonces da 2010.
Otra opción sería que todos los $LaTeX a_n $ fueran 1 y la suma da 2021055.

]]> By: Dani http://gaussianos.com/sumando-hasta-2010/#comment-13154 Dani Tue, 19 Jan 2010 18:36:52 +0000 http://gaussianos.com/?p=2136#comment-13154 sí, fui un poco brusco, así que te pido disculpas, josejuan. de hecho el comentario pretendía ser de broma y no discriminatorio en absoluto. sí, fui un poco brusco, así que te pido disculpas, josejuan. de hecho el comentario pretendía ser de broma y no discriminatorio en absoluto.

]]> By: Marco! http://gaussianos.com/sumando-hasta-2010/#comment-13153 Marco! Tue, 19 Jan 2010 17:07:35 +0000 http://gaussianos.com/?p=2136#comment-13153 A ver.. Pensemos.. Lo que YO entiendo, es.. Dada la suma desde 1 hasta 2010, siendo cada término dividido por algún número natural (los cuales pueden repetirse), cuántas posibles sumas que den como resultado números naturales hay? Pero no es difícil ver que se puede calcular cualquier número, siendo el mayor 2021055, y el menor 1, pues si $latex a(i) = 2021055\ \forall \ i \in N \rightarrow \ S \ =\ 1$.. Vemos cuales son los valores intermedios.. Para empezar, podría tomar cualquier valor desde 1 hasta 2010, ¿Cómo? Simple, si hacemos $latex a(i)\ =\ 2021055\ -\ j \ \forall \ i \neq j$ y hacemos $latex a(j)\ =\ 1$ de esa forma, vamos obteniendo el valor j + 1. Ya vimos que se pueden obtener todos los números del 1 al 2010. Bien.. Ahora habría que ver si se pueden tomar todos los valores intermedios.. El valor 2010, entonces sería $latex (\sum_{i = 1}^{2010}{\frac{i}{2019046}}) - \frac{2009}{2019046} + 2009$ El valor jesimo sería: (j entre 1 y 2011) $latex (\sum_{i = 1}^{2010}{\frac{i}{2021055 - j - 1}}) - \frac{j - 1}{2021055 - j - 1} + j - 1$ Luego, habría que probar que puede tomar cualquier valor superiror a 2011, que ahora no tengo tiempo de hacer.. Auqnue la demostración viene casi por el mismo lado, se suman todos salvo el 2010 y otro número que va entre 1 y 2009.. Y así.. hasta que en al sumatoria no quede ninguno.. Es decir, la sumatoria tendría siempre de resultado 1, y se le suma 2010 + algun otro número entre 1 y 2009, cuando se supera el 2009 arranca desde 2009 + 2010 y así.. Entonces, como puede tomar tooodoos los valores, se deduce que la cantidad de números es de 2021055 ¿Qué opinan? No estoy muy seguro y estoy medio apurado, son bienvenidas las críticas, perdon si ya habían puesto la respuesta, no tuve tiempo de leer tampoco :( Saludos! Marco.- A ver.. Pensemos.. Lo que YO entiendo, es..

Dada la suma desde 1 hasta 2010, siendo cada término dividido por algún número natural (los cuales pueden repetirse), cuántas posibles sumas que den como resultado números naturales hay?

Pero no es difícil ver que se puede calcular cualquier número, siendo el mayor 2021055, y el menor 1, pues si a(i) = 2021055\ \forall \ i \in N \rightarrow \ S \ =\ 1..
Vemos cuales son los valores intermedios..
Para empezar, podría tomar cualquier valor desde 1 hasta 2010, ¿Cómo?
Simple, si hacemos
a(i)\ =\ 2021055\ -\ j \ \forall \ i \neq j y hacemos a(j)\ =\ 1 de esa forma, vamos obteniendo el valor j + 1.
Ya vimos que se pueden obtener todos los números del 1 al 2010.

Bien.. Ahora habría que ver si se pueden tomar todos los valores intermedios..
El valor 2010, entonces sería (\sum_{i = 1}^{2010}{\frac{i}{2019046}}) - \frac{2009}{2019046} + 2009
El valor jesimo sería: (j entre 1 y 2011)

(\sum_{i = 1}^{2010}{\frac{i}{2021055 - j - 1}}) - \frac{j - 1}{2021055 - j - 1} + j - 1

Luego, habría que probar que puede tomar cualquier valor superiror a 2011, que ahora no tengo tiempo de hacer.. Auqnue la demostración viene casi por el mismo lado, se suman todos salvo el 2010 y otro número que va entre 1 y 2009.. Y así.. hasta que en al sumatoria no quede ninguno..
Es decir, la sumatoria tendría siempre de resultado 1, y se le suma 2010 + algun otro número entre 1 y 2009, cuando se supera el 2009 arranca desde 2009 + 2010 y así..
Entonces, como puede tomar tooodoos los valores, se deduce que la cantidad de números es de 2021055

¿Qué opinan?

No estoy muy seguro y estoy medio apurado, son bienvenidas las críticas, perdon si ya habían puesto la respuesta, no tuve tiempo de leer tampoco :(

Saludos!

Marco.-

]]> By: M http://gaussianos.com/sumando-hasta-2010/#comment-13152 M Tue, 19 Jan 2010 16:24:36 +0000 http://gaussianos.com/?p=2136#comment-13152 perdón por el lapsus: la desigualdad se verifica $latex 1+\frac{n(n-1)}{2}\geq 2n-2$ para todo $latex n\geq 1$! perdón por el lapsus: la desigualdad se verifica 1+\frac{n(n-1)}{2}\geq 2n-2 para todo n\geq 1!

]]> By: M http://gaussianos.com/sumando-hasta-2010/#comment-13151 M Tue, 19 Jan 2010 16:23:00 +0000 http://gaussianos.com/?p=2136#comment-13151 ...quise decir al final "nos da $latex n\geq 3$" (con lo cual vale la inducción desde $latex n=3$). …quise decir al final “nos da n\geq 3” (con lo cual vale la inducción desde n=3).

]]> By: M http://gaussianos.com/sumando-hasta-2010/#comment-13150 M Tue, 19 Jan 2010 16:21:17 +0000 http://gaussianos.com/?p=2136#comment-13150 La cuestión que plantea vengoroso también tiene respuesta positiva, es decir podemos elegir $latex a_1,\ldots,a_n$ naturales tales que $latex a_i|i$, $latex 1\leq i\leq n$, tales que la suma $latex S_n$ toma todos los valores entre $latex n$ y $latex \frac{n(n+1)}{2}$. Una vez más se puede probar por inducción. Para los casos $latex n=1,2,3$ es fácil de ver. Supongamos ahora que $latex n\geq 4$ y asumimos que la suma $latex S_{n-1}$ toma todos los valores entre $latex n-1$ y $latex \frac{(n-1)n}{2}$. Para ver que $latex S_n$ cubre todos entre $latex n$ y $latex \frac{n(n+1)}{2}$ basta elegir $latex a_n=1$ o $latex a_n=n$, ya que: - si $latex a_n=n$, entonces $latex S_n=n+S_{n-1}$ recorrería todos los valores entre $latex 2n-1$ y $latex n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$; - si $latex a_n=1$, entonces $latex S_n=1+S_{n-1}$ recorrería todos los valores entre $latex n$ y $latex 1+\frac{n(n-1)}{2}$. Así para cubrir desde $latex n$ hasta $latex \frac{n(n+1)}{2}$ bastará que se cumpla que $latex 1+\frac{n(n-1)}{2}\geq 2n-2$ lo cual, despejando, nos da $latex n\geq 4$. La cuestión que plantea vengoroso también tiene respuesta positiva, es decir podemos elegir a_1,\ldots,a_n naturales tales que a_i|i, 1\leq i\leq n, tales que la suma S_n toma todos los valores entre n y \frac{n(n+1)}{2}.

Una vez más se puede probar por inducción. Para los casos n=1,2,3 es fácil de ver. Supongamos ahora que n\geq 4 y asumimos que la suma S_{n-1} toma todos los valores entre n-1 y \frac{(n-1)n}{2}.

Para ver que S_n cubre todos entre n y \frac{n(n+1)}{2} basta elegir a_n=1 o a_n=n, ya que:

- si a_n=n, entonces S_n=n+S_{n-1} recorrería todos los valores entre 2n-1 y n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2};

- si a_n=1, entonces S_n=1+S_{n-1} recorrería todos los valores entre n y 1+\frac{n(n-1)}{2}.

Así para cubrir desde n hasta \frac{n(n+1)}{2} bastará que se cumpla que

1+\frac{n(n-1)}{2}\geq 2n-2

lo cual, despejando, nos da n\geq 4.

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