Sumando inversos de senos

Un par de sumas de inversos de senos para resolver:

Hallar el valor de las siguientes sumas:

  1. \cfrac{1}{sen \left (\cfrac{2\pi}{3} \right )}+\cfrac{1}{sen \left (\cfrac{4\pi}{3} \right )}+\cfrac{1}{sen \left (\cfrac{8\pi}{3} \right )}+ \ldots +\cfrac{1}{sen \left (\cfrac{2^n \pi}{3} \right )}
  2. \cfrac{1}{sen \left (\cfrac{\pi}{2} \right )} + \cfrac{1}{sen \left (\cfrac{\pi}{4} \right )} + \cfrac{1}{sen \left (\cfrac{\pi}{8} \right )} + \ldots + \cfrac{1}{sen \left (\cfrac{\pi}{2^n} \right )}

A ver si éstos duran algo más.

Autor: ^DiAmOnD^ |  Publicado el 8 de Enero de 2008
Categorías: Juegos

21 comentarios

  1. Aitor | 8 de Enero de 2008 | 10:53

    A la primera:

    0.

    los terminos pares y los impares se van anulando mutuamente.

  2. Pasotaman | 8 de Enero de 2008 | 12:52

    Con respecto a la primera (puntualizo el comentario de Aitor): cada seno vale \pm\frac{\sqrt{3}}{2} (ya que el argumento es un múltiplo par y no divisible por tres de \frac{\pi}{3}). El primer término es claramente positivo. Por otro lado, es fácil ver que el término k+1 tiene signo opuesto al k, ya que el “resto” que obtenemos de sustraerle al argumento del seno el máximo múltiplo de 2\pi posible pasa de \frac{2\pi}{3} a \frac{4\pi}{3} y viceversa al multiplicar por dos. Luego si n es par la serie vale cero. Pero si es impar queda un término descompensado que siempre tiene signo positivo y el resultado es \frac{2}{\sqrt{3}}

  3. Domingo H.A. | 8 de Enero de 2008 | 14:41

    De acuerdo, Pasotaman, la primera suma vale \cfrac{2\sqrt{3}}{3}(1-(-1)^n)

    A por la segunda…que es la que interesa…

  4. Tito Eliatron | 8 de Enero de 2008 | 18:09

    Para el 2º, quizás sirva esta fórmula:

    \displaystyle sen(x/2)=\sqrt{\frac{1-cos(x)}{2}} =<br /> \sqrt{\frac{1-\sqrt{1-sen^2(x)}}{2}}

  5. Toro Sentado | 8 de Enero de 2008 | 20:25

    Quizas con esta:
    sen x = \sqrt {\frac {1-sen(\frac {\pi}{2} - x)}{2}}

    Usando que
    cos x = sin (\frac {\pi} {2} - x)

  6. LeonardoSz | 8 de Enero de 2008 | 21:11

    La segunda tiende a infinito.

    Si no me equivoco, esa suceción es similar a el línite cuando x tiende a cero de 1/sen(x), límite que da infinito. Una suma infinita de términos cada vez mayores dará como resultado infinito.

    Es asi?

  7. Domingo H.A. | 8 de Enero de 2008 | 22:22

    sí, la serie es divergente (pues el término general no tiende a cero), pero lo que se pide hallar una expresión cerrada en términos de funciones elementales para la enésima suma parcial.

  8. Toro Sentado | 9 de Enero de 2008 | 1:25

    Aislando \sin(\frac {\pi}{2^k}) en la siguiente fórmula:
    \sin\left(x\right)=2^k\sin\left(\frac{x}{2^k}\right)\prod\limits_{l=1}^k\cos\left(\frac{x}{2^l}\right)

    He llegado a esta otra, pero no se si puede simplificarse más:
    \sum_{k=1}^n \frac {1}{sen(\frac {\pi}{2^k})}= 1+2 \cdot cos (\frac {\pi}{4})+2^2\cdot \prod_{i=1}^2 cos(\frac{\pi}{2^{i+1}})+ \ldots +2^k \cdot \prod_{i=1}^k cos(\frac{\pi}{2^{i+1}})

    Quizás podría tenerse en cuenta que el producto de cosenos tiende a \frac {2}{\pi} como se podía leer en un post anterior de Gaussianos:
    http://gaussianos.com/circunferencias-concentricas-y-poligonos-regulares-inscritos/#comments

  9. Domingo H.A. | 9 de Enero de 2008 | 13:54

    ¿Qué tal si…

    sen x=2 sen\left(\cfrac{x}{2}\right)cos\left(\cfrac{x}{2}\right)

    cos x=2cos^2\left(\cfrac{x}{2}\right)-1

    …?

  10. Esteban Lopez | 10 de Enero de 2008 | 2:34

    A lo único que he podido llegar es a una sucesion de raices pero todavia no he podido visualizar una respuesta a la n-ésima suma parcial de esa serie

  11. Domingo H.A. | 10 de Enero de 2008 | 20:12

    no usen las fórmulas trigonométricas del ángulo mitad, que eso complica todo por la presencia de raíces.

    Estudien casos concretos: n=2,3,4,…y usen adecuadamente las fórmulas del ángulo doble.

  12. Toro Sentado | 10 de Enero de 2008 | 22:57

    Gracias Domingo, iba muy desorientado

  13. Domingo H.A. | 10 de Enero de 2008 | 23:36

    una última pista…

    \cfrac{1}{sen\;x}=\cfrac{2cos^2(\frac{x}{2})-cos\;x}{sen\;x}

    y ya no digo más :)

  14. Toro Sentado | 11 de Enero de 2008 | 1:30

    Vale, creo que lo tengo

    \sum_{k=1}^n \frac {1}{sen(\frac {\pi}{2^k})}= \cot (\frac {\pi}{2^{n+1}})

  15. Toro Sentado | 11 de Enero de 2008 | 2:22

    La demostración es:

    Teniendo en cuenta que:
    \cfrac{2cos^2(\frac{x}{2})}{sen\;x}=\cfrac{cos\;(\frac{x}{2})}{sen\;(\frac{x}{2})}

    \cfrac{1}{sen\;\cfrac{\pi}{2}}+\cfrac{1}{sen\;\cfrac{\pi}{4}}+\ldots+\cfrac{1}{sen\;\cfrac{\pi}{2^n}}=

    \cfrac{2cos^2(\frac{\pi}{4})}{sen\;(\frac{\pi}{2})}+\ldots+\cfrac{2cos^2(\frac{\pi}{2^{n+1}})}{sen\;(\frac{\pi}{2^n})}-\cfrac{cos\;(\frac{\pi}{2})}{sen\;(\frac{\pi}{2})}-\cfrac{cos\;(\frac{\pi}{4})}{sin\;(\frac{\pi}{4})}-\ldots-\cfrac{cos\;(\frac{\pi}{2^n})}{sen\;(\frac{\pi}{2^n})}=\cfrac{cos\;\frac{\pi}{2^{n+1}}}{sin\;\frac{\pi}{2^{n+1}}}

    Gracias por las pistas Domingo

  16. Toro Sentado | 11 de Enero de 2008 | 2:40

    Me parece increible como las matemáticas son tan sorprendentes.

    Resolviendo este problema me he encontrado como (haciendo un símil paisajístico) yendo por un bosque abigarrado de fórmulas y raíces, y, de repente al tomar un estrecho sendero casi inadvertido, llegar a un paisaje despejado y sencillo, haciendo desaparecer el bosque como por arte de magia.

  17. Pobrecito Hablador | 11 de Enero de 2008 | 4:54

    Toro Sentado, te felicito porque yo le estaba dando vueltas y más vueltas y sólo encontraba raices dentro de otras raices. En cuanto pusiste la solución ya vi clara la demostración y el caso es que la pista daba la clave.

    Pero tengo que comentarte que en la demostración has cometido un fallo, y es que mezclas “senos” con “sines”, y aunque en teoría no hay diferencia entre la teoría y la práctica, en la práctica sí que la hay, jejeje.

  18. Pobrecito Hablador | 11 de Enero de 2008 | 5:17

    Dentro de un bosque me hallaba, atravesando una suma de n caminos con enrevesadas sinusoidades, y cada n camino dividía en 2 durante n veces a un PInar, por los que a medida que iba avanzando me tropezaba con inoportunas raices y otros obstáculos, hasta que el GPS (Que cariñosamente llamo “Domingo”) me indicó un pequeño sendero, sencillo, pero con gran identidad, que me guió, viendo cómo a medida que lo seguía las sinuosidades de los n caminos se confundían entre sí hasta desvanecerse y de repente aparecer un sencillo paisaje del cual me encontraba inversamente tangente al río n+1.

  19. Domingo HA | 11 de Enero de 2008 | 13:00

    efectivamente, la respuesta es cotg\left(\cfrac{\pi}{2^{n+1}}\right) (, y en particular la serie correspondiente diverge).

    la cuestión estaba en transformar la suma original es una suma telescópica de esas que tanto nos gustan :) (con cancelaciones al sumar términos consecutivos….esto se veía haciendo casos particulares)

    Por cierto, ¿alguien conoce la razón exacta por la que a las series que producen cancelaciones en sus términos se las denomina “telescópicas”??

  20. Toro Sentado | 11 de Enero de 2008 | 20:06

    Pobrecito Hablador, tienes toda la razón con lo de los senos y sines, llevaré más cuidado la próxima vez.

    Por cierto, pensando sobre este problema he encontrado una propiedad interesante, a partir de esta fórmula:
    \sum_{k=1}^n\cfrac{1}{sen(\cfrac{\pi}{2^k})}=
    1+2\cdot cos(\frac {\pi}{4})+2^2\cdot\prod_{i=1}^2 cos(\frac{\pi}{2^{i+1}})+\ldots+2^k\cdot\prod_{i=1}^k cos(\frac{\pi}{2^{i+1}})+\ldots+2^{n-1}\cdot\prod_{i=1}^{n-1} cos(\frac{\pi}{2^{i+1}})

    Se llega a que:
    1+(2^n-2)\cdot\cfrac{2}{\pi}\le cotg\left(\cfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\le 1+(2^n-2)\cdot\cfrac{\sqrt{2}}{2}

    He hecho algunos cálculos y la expresión 1+(2^n-2)\cdot\cfrac{2}{\pi} se acerca rápidamente al valor de la cotangente.

  21. Toro Sentado | 12 de Enero de 2008 | 14:25

    Supongo que se llaman telescópicas por el parecido de las series con los aparatos telescópicos.

    Telescópico me suena a los artilugios (antenas, mirillas, …) que pueden hacerse más largos o más cortos encajando unas piezas con otras.

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