Sumando números impares

En Gaussianos ya hemos hablado del principio de inducción en alguna ocasión. En este post vamos a ver una curiosa propiedad de los números naturales y vamos a demostrarla por este método.

Comencemos volviendo a enunciar el principio de inducción:

Supogamos que tenemos un subconjunto A de números naturales que verifica lo siguiente:
1.- 0 pertenece a A
2.- Si k pertenece a A entonces k+1 pertenece a A
Entonces A es el propio conjunto N de los números naturales

Si cambiamos 0 por cualquier otro número natural, digamos m, en el punto 1.- obtendríamos que el conjunto A sería exactamente el subconjunto de los números naturales cuyo elemento mínimo es m. Por ejemplo, si m=4 y se cumplen 1.- y 2.- entonces A={4,5,6,7,…}.

En esta ocasión volveremos a utilizarlo de la misma forma que se hizo en el post que enlazamos en el primer párrafo, pero comenzando en 1: si nuestra propiedad se cumple para el 1 y en el caso de que se cumpla para cierto número natural n entonces se cumple para n+1 se tiene que se cumple para todos los números naturales a partir del 1.

Vamos ahora con la propiedad de la que hablamos al comienzo:

1=1=12
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52

Si sumamos el primer impar obtenemos 1 al cuadrado; si sumamos los dos primeros impares obtenemos 2 al cuadrado; si sumamos los tres primeros impares el resultado es 3 al cuadrado; y así sucesivamente. ¿Seguro? Eso es justamente lo que vamos a demostrar, que esta propiedad se cumple siempre, sean cuantos sean los números impares que yo sume. Es decir, vamos a demostrar lo siguiente:

Suma de impares igual a n cuadrado

El primer paso es comprobar el primer punto, es decir, que nuestra propiedad se cumple para el primer elemento de nuestro conjunto, que en este caso es n=1. Tendríamos que ver que la suma de todos los impares desde 1 hasta 2·1-1 es 12, o lo que es lo mismo, que 1=12. Pero eso es bastante evidente y además ya lo hemos escrito anteriormente.

Vamos con el segundo y último paso. Para ello lo que hacemos es suponer que la propiedad se cumple para el caso n (esta hipótesis se denomina hipótesis de inducción) y con ello demostramos el caso n+1. Es decir:

Segundo paso de inducción

Comencemos la demostración de este hecho:

(2(n+1)-1)=(2n+1)

Ahora, usando la hipótesis de inducción, sustituímos todos los sumandos menos el último por n2. Y si echamos un vistazo a la expresión resultante vemos que lo que hemos obtenido es precisamente el objetivo buscado:

Uso de hipótesis de inducción y conclusión

Por tanto ahora sí podemos afirmar sin ningún género de dudas que:

Suma de impares igual a n cuadrado

Como podéis ver el principio de inducción es una herramienta no demasiado complicada y bastante potente para demostrar propiedades de los números naturales. Mis alumnos de Cálculo de Informática seguro que tienen bastante claro este hecho.

Y para concluir el post os dejo una petición: si alguien conoce alguna propiedad interesante y/o curiosa de los números naturales que sea demostrable por inducción que nos la mande a gaussianos (arroba) gmail (punto) com y nosotros se la publicamos en cuanto la tengamos preparada. El blog también es vuestro y, como siempre, estamos abiertos a cualquier tipo de sugerencia o colaboración.

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12 comentarios

  1. Lockodios | 31 de enero de 2007 | 11:36

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    Yo tuve que sumar impares en un ejercico de programacion y me qude muertocon el resultado. Pero el profesor se quedo igual XD

  2. Michi | 31 de enero de 2007 | 14:05

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    >
    No lo dudes, :P, entre cálculo y álgebra, si no te gusta la inducción, desde luego acabas por acostumbrarte a ella, :D
    Y gracias por el repaso, seguro q me servirá para los próximos días… :P
    saludossss

  3. Teimagino | 1 de febrero de 2007 | 11:31

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    Gracias por esta estupenda referencia. Me ha parecido un tema muy interesante.

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  4. Trackback | 1 feb, 2007

    Gaussianos » Resolver el cuadrado y el cubo de un binomio de forma gráfica

  5. Lorena | 23 de febrero de 2007 | 20:38

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    Es muy interesante todo lo que viene aqui. Y se que me servira mucho para mi trabajo de investigacion… Gracias… saludos a la sec. 2 Leyes de reforma.

  6. GNeras | 27 de febrero de 2007 | 21:49

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    Usando la fórmula de la suma de n componentes de una progresión aritmética:
    S=(a_1+a_n)/2 * n

    Para a_n = 2n-1:
    S=[1+(2n-1)]/2 * n = n^2

    También se demuestra lo de
    1+2+3+…+(2n-1) = n^2

  7. GNeras | 27 de febrero de 2007 | 21:50

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    ups… digo lo de
    1+3+5+…+(2n-1) = n^2

  8. Marcos Sanchez | 31 de marzo de 2007 | 13:54

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    Hola!!

    Y si queremos 1^2 + 2^2 + … + n^2

  9. FERNANDO | 26 de abril de 2007 | 16:29

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    ESTA ECUACION K PONEN NO FUNCIONA YA K (2N-1)=N2 NO ES LA FORMULA PARA LA SUMA DE LOS PRIMEROS NUMEROS PRIMOS

  10. Nexus7 | 26 de abril de 2007 | 22:16

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    ¿Primeros números primos? La cosa no va de primos sino de impares.

    La suma de los n primeros IMPARES es n^2. Además de haber quedado demostrado por inducción también se puede ver de forma gráfica con una simple hoja cuadriculada:
    .- Un solo cuadradito forma un cuadrado de 1 cuadradito de lado.
    .- Si añadimos 3 cuadraditos (1 arriba, 1 a la derecha y otro en el vértice) formamos un cuadrado de 2 cuadraditos de lado.
    .- Si luego añadimos 5 cuadraditos (2 arriba, 2 a la derecha y otro en el vértice) formamos un cuadrado de 3 cuadraditos de lado.
    .- Si luego añadimos 7 cuadraditos (3 arriba, 3 a la derecha y otro en el vértice) formamos un cuadrado de 4 cuadraditos de lado.
    .- Si luego añadimos 9 cuadraditos (4 arriba, 4 a la derecha y otro en el vértice) formamos un cuadrado de 5 cuadraditos de lado.


    .- Si luego añadimos 2n-1 cuadraditos (n-1 arriba, n-1 a la derecha y 1 en el vértice) formamos un cuadrado de n cuadraditos de lado.

  11. marcelo | 21 de junio de 2013 | 22:47

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    Tiene algun nombre esta suma de numeros impares???
    Mi hijo de 7 anos lo descubrio y no se como se llama.

  12. gaussianos | 22 de junio de 2013 | 17:10

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    marcelo, no, que yo sepa. Pero es muy meritorio que tu hujo la haya descubierto con 7 añitos :)

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