Sumemos cifras

Vamos con nuestro problema semanal:

Sea A la suma de los dígitos del número 16^{16} y B la suma de los dígitos de A. Calcular la suma de los dígitos de B sin calcular el número 16^{16}.

Y, en un problema así, pido por favor que se respeten las condiciones del problema, es decir, que nadie calcule el número y luego sume las cifras y ponga directamente el resultado. Muchas gracias.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. Como \log_{10}(16^{16}) \approx 19.3, entonces 16^{16} tiene 20 cifras, por lo que A\le 180 (si todos fueran nueves). Ahora bien, B\le 1+7+9=17, por lo que entonces la suma de los dígitos de B es menor o igual a 9.

    Por lo tanto, la suma de los dígitos de B es el residuo de 16^{16} módulo 9, por lo que calculamos
    16^{16} \equiv (-2)^{16} \equiv (-2)^{3\cdot 5 +1} \equiv -2 \equiv 7 \pmod{9},
    donde hemos usado el hecho que (-2)^3 = -8 \equiv 1 \pmod{9}. Entonces la suma de los dígitos de B es 7.

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  2. La suma es 1… pero en hexadecimal 😉 (y en binario también, claro)

    Ricardo, dices que A <= 180, y que entonces B al ser la suma de los dígitos de A tiene que ser <= 17, pero es que si A fuera 99 entonces B sería 18.

    Pero sigue valiendo que la suma de los dígitos de B ha de ser <= 9, porque ninguna suma de dígitos de algo <= 180 es mayor que 18 y ninguna suma de algo <= 18 es mayor que 9.

    Muy bueno.

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  3. Sote, te he editado el primer comentario que hiciste. Creo que es eso lo que querías poner.

    Como el segundo estaba relacionado con tu error al escribir los símbolos en \LaTeX lo he borrado.

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  4. Holas:
    Ricardo no entiendo tu afirmacion:Por lo tanto,la suma de los digitos de B es el residuo $16^16$ mod 9.
    Saludos.

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  5. Gracias ^DiAmOnD^ por editar mi comentario.

    Aleatorio: Al ser la suma un número del 0 al 9, se puede hayar este como el residuo de 16^{16} módulo 9.

    Quizas ayude ver esto:

     \displaystyle A= \sum_{i=1}^n a_i.10^{i}
     \displaystyle A= \sum_{i=1}^n a_i.(9+1)^{i}=\sum_{i=1}^n a_i.(9)^{i}+\sum_{i=1}^n a_i.(1)^{i}=\sum_{i=1}^n a_i.(1)^{i} \pmod{9}
     \displaystyle A= \sum_{i=1}^n a_i =a_1+a_2+a_3+ .\  .\ .\ \pmod{9}

    De verdad, expresar lo que pienso mediante LaTeX es muy complicado. Quizás cuando termine el colegio sea un diestro en eso O.O

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  6. 16 a la 1 es 16 y suma 7
    16 a la 2 es 256 y suma 13
    16 a la 3 es 4096 y suma 19
    16 a la n suma 7+6*(n-1)
    16 a la 16 suma 7+6*15 = 97
    B es 18 y su suma 9

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  7. Federico, tu fórmula sólo funciona hasta 7. 16 a la octava suma 58 en lugar de 49.

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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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