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Sumemos cifras

Vamos con nuestro problema semanal:

Sea A la suma de los dígitos del número 16^{16} y B la suma de los dígitos de A. Calcular la suma de los dígitos de B sin calcular el número 16^{16}.

Y, en un problema así, pido por favor que se respeten las condiciones del problema, es decir, que nadie calcule el número y luego sume las cifras y ponga directamente el resultado. Muchas gracias.

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Autor: ^DiAmOnD^  |  Publicado el 6 de October de 2009
Categorías: Juegos  |  Imprime este post Imprime este post

Sin comentarios

  1. Trackback | 6 Oct, 2009

    Bitacoras.com

  2. Ricardo | 6 de October de 2009 | 09:28

    Como \log_{10}(16^{16}) \approx 19.3, entonces 16^{16} tiene 20 cifras, por lo que A\le 180 (si todos fueran nueves). Ahora bien, B\le 1+7+9=17, por lo que entonces la suma de los dígitos de B es menor o igual a 9.

    Por lo tanto, la suma de los dígitos de B es el residuo de 16^{16} módulo 9, por lo que calculamos
    16^{16} \equiv (-2)^{16} \equiv (-2)^{3\cdot 5 +1} \equiv -2 \equiv 7 \pmod{9},
    donde hemos usado el hecho que (-2)^3 = -8 \equiv 1 \pmod{9}. Entonces la suma de los dígitos de B es 7.

  3. Sote | 7 de October de 2009 | 01:24

    Yo creo que:
    B \le 18 (para el caso A=99 )

  4. Rober | 7 de October de 2009 | 01:28

    La suma es 1… pero en hexadecimal ;) (y en binario también, claro)

    Ricardo, dices que A <= 180, y que entonces B al ser la suma de los dígitos de A tiene que ser <= 17, pero es que si A fuera 99 entonces B sería 18.

    Pero sigue valiendo que la suma de los dígitos de B ha de ser <= 9, porque ninguna suma de dígitos de algo <= 180 es mayor que 18 y ninguna suma de algo <= 18 es mayor que 9.

    Muy bueno.

  5. ^DiAmOnD^ | 7 de October de 2009 | 03:57

    Sote, te he editado el primer comentario que hiciste. Creo que es eso lo que querías poner.

    Como el segundo estaba relacionado con tu error al escribir los símbolos en \LaTeX lo he borrado.

  6. Ricardo | 7 de October de 2009 | 14:43

    Tienen razón, Sote y Rober. B sí puede ser 18, si A=99.

  7. aleatorio | 9 de October de 2009 | 19:23

    Holas:
    Ricardo no entiendo tu afirmacion:Por lo tanto,la suma de los digitos de B es el residuo $16^16$ mod 9.
    Saludos.

  8. Sote | 10 de October de 2009 | 03:36

    Gracias ^DiAmOnD^ por editar mi comentario.

    Aleatorio: Al ser la suma un número del 0 al 9, se puede hayar este como el residuo de 16^{16} módulo 9.

    Quizas ayude ver esto:

    \displaystyle A= \sum_{i=1}^n a_i.10^{i}
    \displaystyle A= \sum_{i=1}^n a_i.(9+1)^{i}=\sum_{i=1}^n a_i.(9)^{i}+\sum_{i=1}^n a_i.(1)^{i}=\sum_{i=1}^n a_i.(1)^{i} \pmod{9}
    \displaystyle A= \sum_{i=1}^n a_i =a_1+a_2+a_3+ .\ .\ .\ \pmod{9}

    De verdad, expresar lo que pienso mediante LaTeX es muy complicado. Quizás cuando termine el colegio sea un diestro en eso O.O

  9. Federico | 11 de October de 2009 | 02:39

    16 a la 1 es 16 y suma 7
    16 a la 2 es 256 y suma 13
    16 a la 3 es 4096 y suma 19
    16 a la n suma 7+6*(n-1)
    16 a la 16 suma 7+6*15 = 97
    B es 18 y su suma 9

  10. Mmonchi | 11 de October de 2009 | 21:14

    Federico, tu fórmula sólo funciona hasta 7. 16 a la octava suma 58 en lugar de 49.

  11. Lalo | 19 de October de 2009 | 05:42

    Pero la respuesta es 16.

Comentarios cerrados.