La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen
Nov08

La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen

El concepto de infinito es un concepto complicado de entender (de hecho no sé si alguien es capaz de comprenderlo a la perfección), como ya hemos comentado en una gran cantidad de ocasiones. Pero si es complicado ahora, mucho más lo era en el siglo XIX, cuando Georg Cantor realizó sus importantes estudios sobre los cardinales infinitos y dejó la famosa conjetura denominada hipótesis del continuo.

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¿Es más trascendente la cantidad de números algebraicos?
Jun13

¿Es más trascendente la cantidad de números algebraicos?

Hablábamos el pasado miércoles sobre la curiosa sucesión Look-and-say y la constante de Conway, número que surgía como límite de los cocientes entre las cantidades de cifras de cada elemento de la sucesión entre el elemento anterior. Esta constante de Conway era la siguiente:

\lambda = 1.30357726 \ldots

y muchos decimales más sin ningún patrón. Vamos, que este número \lambda es irracional.

En este mismo post comentábamos que \lambda también era, sorprendentemente, un número algebraico. ¿Sorprendentemente? ¿Por qué?

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Increíble pero cierto

¡Lo veo, pero no lo creo!

Georg Cantor

INFINITUM. Citas matemáticas

Demostró que el conjunto \mathbb{R} de los números reales no es numerable (es decir, que no se puede poner en correspondencia biunívoca con el conjunto \mathbb{N} de los números naturales). Pero no se quedó ahí. Al demostrar que los números reales sí se pueden poner en correspondencia biunívoca con los puntos del plano, es decir, que hay tantos puntos en una recta como en un plano, o que el cardinal de \mathbb{R} es igual al cardinal de \mathbb{R} \times \mathbb{R}. Se quedó tan perplejo que no pudo hacer más que pronunciar esta frase.

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Embajador del infinito

…no sólo un mensajero de Dios que registraba con exactitud, comunicaba y transmitía la teoría recién revelada de los números transfinitos, sino también un embajador de Dios.

(Refiriéndose a él mismo)

Georg Cantor

INFINITUM. Citas matemáticas

Dejando un poco aparte el tema religioso, lo que sí es cierto es que fue precisamente él, nadie más, quien nos abrió el camino en el mundo de los números transfinitos con su demostración. Viéndola uno piensa: ¿cómo no se dio cuenta nadie antes que él?

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La diagonalización de Cantor

Este artículo está basado en una colaboración enviada por Daniel. Si estás interesado en colaborar con Gaussianos puedes enviar tus propuestas a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

En las últimas semanas habéis podido leer en Gaussianos un par de artículos relacionados con los conjuntos infinitos y sus peculiaridades. A saber, Qué extraño es el infinito y El mALEPHicio del infinito. En este último se alude a la demostración de Cantor de la imposibilidad de poner en correspondencia biunívoca el conjuntos de los naturales, \mathbb{N}, con el conjunto de los reales, \mathbb{R}. En este artículo vamos a desgranar dicha demostración.

La demostración de Cantor

Como hemos dicho antes, en El mALEPHicio del infinito vimos cómo poder en correspondencia uno a uno el conjunto de los naturales positivos con el conjunto de los enteros distintos de cero y con los racionales positivos (y por extensión con los racionales). Y comentamos que no podemos hacer lo mismo con los reales. Para demostrar este hecho comenzamos con un resultado previo:

Lema:

El cardinal del intervalo (0,1) es el mismo que el cardinal de \mathbb{R}.

Demostración:

La idea de la demostración es encontrar una función que pongan en correspondencia uno a uno el intervalo (0,1) con \mathbb{R}. Este tipo de funciones se llaman biyectivas.

La función que buscamos es composición de dos:

  • La primera es la función f(x)=\pi (x-\textstyle{\frac{1}{2}}), que establece una biyección entre el intervalo (0,1) y el intervalo (\textstyle{\frac{-\pi}{2}},\textstyle{\frac{\pi}{2}}). Es bien sencillo demostrar que esta función es biyectiva, es decir, que pone en correspondencia uno a uno a esos dos intervalo.
  • La segunda es f(x)=tg(x). Esta función es una biyección entre el intervalo (\textstyle{\frac{-\pi}{2}},\textstyle{\frac{\pi}{2}}) y \mathbb{R}, es decir, pone en correspondencia biunívoca ese intervalo con el conjunto de los números reales.

Realizando la composición de las dos obtenemos una biyección entre el intervalo (0,1) y \mathbb{R}. Por tanto ambos conjuntos tienen el mismo cardinal.
\Box

La idea ahora es demostrar que el infinito de los números reales es mayor que el de los naturales. Para ello veremos que el cardinal de estos últimos es menor que el de los primeros. Pero antes vamos a dar una definición sobre esto que nos va a echar una mano:

  • Dados dos conjuntos, A,B, decimos que el cardinal de A es menor que el cardinal de B, |A| < |B| (|A| representa el cardinal de A), si podemos poner en correspondencia biunívoca el conjunto A con un subconjunto de B y no podemos hacer lo mismo entre A y B.

INCISO:

Es interesante recalcar que no basta con que A pueda ponerse en correspondencia uno a uno con un subconjunto de B para decir que |A| < |B|. La segunda condición es obligatoria para que la definición tenga sentido. Un ejemplo claro de esto es la relación entre los números pares y todos los números naturales: los números pares pueden ponerse en correspondencia biunívoca con un subconjunto de los naturales (de hecho con varios: los propios números pares, los impares,…), pero sabemos ya que los números pares también pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los propios números naturales, por lo que el cardinal de los pares es el mismo que el de los naturales.

Recordando que dijimos que un conjunto infinito es numerable si puede ponerse en correspondencia biunívoca con los naturales, presentamos el enunciado del teorema de Cantor:

Teorema: (de Cantor):

El conjunto de los números reales, \mathbb{R}, no es numerable, es decir, |\mathbb{N}| < |\mathbb{R}|.

Demostración

La idea es utilizar la definición anterior. Por ello lo primero que debemos hacer es encontrar un subconjunto de \mathbb{R} que pueda ponerse en correspondencia uno a uno con \mathbb{N}. Ese subconjunto va a ser el propio \mathbb{N}, que como sabemos es un subconjunto de los reales. Ya tenemos entonces la primera parte: podemos poner en correspondencia biunívoca a \mathbb{N} con un subconjunto de \mathbb{R}.

Según el resultado demostrado anteriormente tenemos que |(0,1)|=|\mathbb{R}|. Por ello si demostramos que |\mathbb{N}| < |(0,1)| ya tendremos que |\mathbb{N}| < |\mathbb{R}|. Para ello vamos a suponer que tenemos una correspondencia cualquiera entre \mathbb{N} y (0,1) y encontraremos un elemento de (0,1) que no se corresponde con ninguno de \mathbb{N}, es decir, veremos que no hay correspondencias uno a uno entre esos dos conjuntos.

Cualquier correspondencia biunívoca entre \mathbb{N} y (0,1) es básicamente una numeración de los elementos de (0,1), es decir, creamos una lista con los elementos de ese intervalo, digamos a_1,a_2, \ldots, a_n, \ldots, y asociamos cada número natural con uno de esos elementos. Cada uno de ellos será un cero seguido de un cierto número (finito o infinito) de decimales. Evitando repeticiones (ya sabemos que 0,2999 \ldots y 0,3 son el mismo número) tendríamos algo así:

\left \{ \begin{matrix} 1 \rightarrow a_1= 0,a_1^1\,a_1^2\,a_1^3 \ldots \\ 2 \rightarrow a_2= 0,a_2^1\,a_2^2\,a_2^3 \ldots \\ 3 \rightarrow a_3= 0,a_3^1\,a_3^2\,a_3^3 \ldots \\ 4 \rightarrow a_4= 0,a_4^1\,a_4^2\,a_4^3 \ldots \\ 5 \rightarrow a_5= 0,a_5^1\,a_5^2\,a_5^3 \ldots \\ \vdots \end{matrix} \right.

La clave es la siguiente: vamos a encontrar un elemento del intervalo (0,1) que no corresponde con ningún número natural. Para ello tomamos a_1 y nos quedamos con su primer decimal, al que sumamos 1 obteniendo b_1=a_1^1+1; tomamos ahora a_2 y nos quedamos con su segundo decimal, sumándole también 1, obteniendo b_2=a_2^2+1; y así sucesivamente (si alguno de ellos es un 9 ponemos un cero). Ahora formamos el número b siguiente:

b=0,b_1 b_2 b_3 \ldots

Para que se entienda mejor pongo el siguiente ejemplo:

Si tenemos las siguientes relaciones:

\left \{ \begin{matrix} 1 \rightarrow 0,\mathbf{3} 240069 \ldots \\ 2 \rightarrow 0,1 \mathbf{4}29871 \ldots \\ 3 \rightarrow 0,77 \mathbf{9} 2851 \ldots \\ 4 \rightarrow 0,198 \mathbf{2} 555 \ldots \\ 5 \rightarrow 0,3175 \mathbf{4} 03 \ldots \\ \vdots \end{matrix} \right.

construiríamos b=0,45035 \ldots.

Es evidente que, construido así, b \in (0,1) y también es claro que b no corresponde con ningún número natural, ya que difiere con a_1 en (al menos) el primer decimal, con a_2 en (al menos) el segundo, con a_3 en (al menos) el tercero…

Hemos encontrado entonces un elemento del intervalo (0,1) que no corresponde con ningún número natural en cualquier correspondencia que podamos crear entre estos dos conjuntos. Por tanto |\mathbb{N}| < |(0,1)| y, en consecuencia:

|\mathbb{N}| < |\mathbb{R}|

\Box
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