“La conjetura débil de Goldbach”, coloquio de Harald Helfgott en el ICMAT

El próximo viernes 21 de febrero el matemático peruano Harald Helfgott dará una charla sobre la conjetura débil de Goldbach en el ICMAT. El evento se encuadra dentro de la serie de coloquios que organiza el ICMAT junto con la Universidad Autónoma de Madrid.

Aunque en Gaussianos ya hemos hablado sobre el tema (de hecho el propio Harald Helfgott publicó en este blog un extenso post en el que explicaba las líneas generales de su demostración), creo que es interesante volver a recordar algunos de los detalles más importantes de la historia de este resultado y de otros relacionados con él. Por ello, a continuación podréis encontrar un resumen de esta historia realizado por Javier Cilleruelo (que ya ha colaborado en otras ocasiones en Gaussianos, por ejemplo con este post sobre su resolución del problema de los conjuntos generalizados de Sidon) en el que también se incluyen enlaces a los artículos de Gaussianos que han hablado sobre esta conjetura.
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Desafíos Matemáticos en El País – Desafío Extraordinario de Navidad 2013: Un número curioso

¡¡Nuevo Desafío Matemático RSME-El País!! Tal y como pasó en 2012, la Real Sociedad Matemática Española y El País nos traen un nuevo Desafío Matemático Extraordinario de Navidad. En esta ocasión lo propone Javier Cilleruelo, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) que, por cierto, ha colaborado un par de veces en Gaussianos (hablándonos sobre el problema de los conjuntos generalizados de Sidon y sobre Endre Szemerédi).
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Endre Szemerédi, premio Abel 2012

El matemático húngaro Endre Szemerédi, a los 71 años de edad, ha sido galardonado con el premio Abel 2012 por la Norgewian Academy of Science and Letters por “sus contribuciones fundamentales en matemática discreta y en teoría de las ciencias de la computación, así como en reconocimiento del profundo y duradero impacto de estas contribuciones a la teoría aditiva de números y la teoría ergódica”. Szemerédi, actualmente profesor de ciencias de la computación en la Universidad de Rutgers, añade esta importantísima distinción al premio Pólya (1975), al premio Leroy P Steele (2008) y al premio Schock (también en 2008). El 22 de mayo será el día en el que reciba este premio.

El resultado más importante de Szemerédi, de quien, por cierto, ya hablamos en Gaussianos (curiosamente justo un año antes del anuncio de la consecución de este premio, que fue ayer 21 de marzo), es el conocido como teorema de Szemerédi, del cual hablábamos en ese post y que dice lo siguiente:

Teorema de Szemeredi (1977): Si la densidad de un conjunto infinito de enteros es positiva, entonces contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

Pero ni mucho menos es lo único por lo que es conocido Endre Szemerédi. Os recomiendo que le echéis un vistazo al post del año pasado y al artículo The work of Endre Szemerédi que ha escrito Tim Gowers para la ocasión.

Y para terminar, pero no menos importante, creo que es interesante comentar que Endre Szemerédi ha trabajado (y lo sigue haciendo) junto a Javier Cilleruelo, matemático español que ya ha colaborado en Gaussianos un par de veces (con el propio artículo sobre Szemerédi que enlacé unos párrafos más arriba y con este artículo sobre la resolución de la conjetura de los conjuntos generalizados de Sidon).


Fuentes y enlaces relacionados:


Esta es mi cuarta contribución con la edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Hablando de Ciencia.

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Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 3

Hoy viernes ha aparecido en la edición digital de El País el tercer problema de la serie de 30 problemas matemáticos que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este tercer problema se titula Un cuadrado mágico de productos y lo propone Javier Cilleruelo, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del ICMAT, bien conocido por los lectores de Gaussianos debido al problema de los conjuntos generalizados de Sidon. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a [email protected] antes de que termine el lunes día 4 de abril.

Respecto al tema de los comentarios me gustaría que supierais mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, sobre todo en problemas como éste donde sólo se pide enviar la solución sin ninguna explicación. Preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.

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Endre Szemerédi: una leyenda viva de las matemáticas

Endre SzemerédiEndre Szemerédi es un matemático húngaro, nacido en Budapest el 21 de agosto de 1940, cuyos trabajos abarcan Combinatoria, Ciencias de Computación y Teoría de números, entre otros campos. Desde 1986 es profesor de Ciencias de Computación de la Universidad de Rutgers, aunque también ha trabajo en otras universidades, como Stanford, McGill, Carolina del Norte y Chicago. No está de más comentar que su director de tesis fue el matemático ruso Israel Gelfand, el mismo que la matemática y bloguera Tanya Khovanova. Por cierto, según el Mathematics Genealogy Project, Gelfand tiene 345 descendientes (casi nada), y compartió director de tesis con Vladimir Arnold: nada más y nada menos que Andrei Kolmogorov.

Como decíamos, los estudios de Szemerédi están referidos a una gran variedad de campos y en muchos de ellos ha quedado un trabajo o un resultado con su nombre. Por citar un par de ejemplos, tenemos el teorema de Szemerédi-Trotter en geometría combinatoria o el teorema de Hajnal-Szemerédi en teoría de grafos.

Pero el resultado por el que Szemerédi se ha convertido en una leyenda viva de las matemáticas es el llamado teorema de Szemerédi. Es sin duda su resultado más importante y el que más repercusión ha tenido en estudios posteriores.

Szemerédi en Madrid

El caso es que el otro día Javier Cilleruelo se puso en contacto conmigo para comentarme que Endre Szemerédi va a venir a Madrid el próximo día 25 de marzo. La razón por la que va a visitar la capital de España es porque va a impartir la conferencia Long arithmetic progressions in sumsets en el Aula Naranja del ICMAT dicho día 25 de marzo a las 11:30 horas, perteneciente al coloquio UAM-ICMAT, actividad organizada conjuntamente por estas dos instituciones. Así que ya sabéis qué tenéis que hacer si estáis interesados en asistir a esta conferencia impartida por uno de los matemáticos más importantes del siglo XX.

El teorema de Szemerédi

Evidentemente no podía dejar escapar esta oportunidad para hablaros un poco sobre el teorema de Szemerédi, este resultado que hemos comentado que ha sido el más importante y conocido de los obtenidos por Endre. Y quién mejor que Javier Cilleruelo para echarnos una mano con la explicación de este teorema. Le pedí que me escribiera unos párrafos para vosotros en los que describiera este teorema y, como siempre, su disposición para colaborar fue magnífica. El resultado lo podéis leer a continuación.

Los antecedentes del teorema de Szemerédi arrancan en el teorema de Van der Waerden, que afirma que si partimos los números naturales en un número finito de subconjuntos, entonces alguno de ellos contendrá progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

A la vista de este resultado, Paul Erdös y Paul Turán conjeturaron que, de hecho, cualquier conjunto de enteros con densidad positiva debería contener progresiones de longitud k, fuese quien fuese k. Esto es lo que se conoce desde entonces como conjetura de Erdös-Turán.

La densidad de un conjunto infinito de enteros A se define como

\displaystyle{\limsup_{x\to \infty}\frac{|\{a\le x: a\in A\}|}{x}}

y es claro que el teorema de Van der Waerden sería una consecuencia inmediata de esta conjetura.

El primer paso hacia la conjetura de Erdös lo dio Klaus Roth, demostrándola para k=3:

Teorema de Roth (1952): Si la densidad de un conjunto infinito de enteros es positiva, entonces contiene infinitas progresiones aritméticas de longitud 3.

No era posible extender el argumento de Roth, que utilizaba herramientas del análisis de Fourier, para progresiones de longitud mayor que tres, pero Endre Szemerédi consiguió dar una demostración de la conjetura para todo k.

Teorema de Szemeredi (1977): Si la densidad de un conjunto infinito de enteros es positiva, entonces contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

La demostración de Szemeredi era puramente combinatoria y extremadamente compleja e ingeniosa, y por ella Szemeredi ganó los 1000 dólares de premio que Erdös había ofrecido por su resolución. Pero la historia del teorema de Szemerédi no acaba ahí, ni mucho menos. Como ya hemos comentado en este artículo, este teorema ha jugado un papel crucial en las matemáticas de primera linea de los últimos años:

  • En 1995, Tim Gowers dio una demostración analítica del teorema de Szemerédi. Este hecho fue el principal motivo por el que le fue otorgada la medalla Fields en 1998. Además, esta demostración supuso el inicio de un nuevo área de las matemáticas que se denomina Additive Combinatorics.
  • En 2004, Ben Green (discípulo de Gowers) y Terence Tao lograron demostrar que los primos, aunque tienen densidad cero, también tenían la propiedad de contener progresiones aritméticas arbitrariamente largas. El teorema de Green-Tao, como así se denomina este resultado, es uno de los grandes hitos de las matemáticas. En 2006, Terence Tao recibió la medalla Fields por éste y otros resultados del análisis.

No se puede hablar del teorema de Szemerédi sin mencionar una de las conjeturas más famosas de Erdös:

Conjetura (Erdös): Si la suma de los inversos de un conjunto infinito de enteros es infinita, entonces contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

Es un ejercicio sencillo observar que esta conjetura implicaría el teorema de Szemerédi y también el teorema de Green-Tao, pero de momento ni siquiera se sabe concluir que bajo la hipótesis de la conjetura, el conjunto debe tener progresiones de longitud tres.

Por su importancia creo que es interesante recalcar que los trabajos relacionados con el llamado teorema de Szemerédi han derivado en dos medallas Fields. Solamente por eso nuestro protagonista ya se merece figurar en una posición preferente entre los matemáticos de la actualidad.


Fuentes:


Esta entrada es mi cuarta aportación a la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, de la cual Gaussianos es el anfitrión.

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Javier Cilleruelo nos habla sobre el problema de los conjuntos generalizados de Sidon

Como muchos de vosotros recordareis, hace poco tiempo (hablábamos de ello en diciembre del año pasado) tres matemáticos, Javier Cilleruelo, Carlos Vinuesa (españoles) e Imre Ruzsa (húngaro) resolvieron la conjetura de los conjuntos generalizados de Sidon. En el post que acabo de enlazar hablábamos sobre el tema, sobre el problema en cuestión, pero no se profundizaba demasiado en él ni en su demostración.

Tiempo después, a raíz de una cuestión que me comentó Samuel, un lector del blog y alumno de Javier Cilleruelo, me puse en contacto con Javier para ver si nos podía ayudar a profundizar en el tema. Y la verdad es que desde el principio Javier se ofreció amablemente a colaborar. Al final el tema ha quedado en una entrevista en la que se habla del problema de los conjuntos generalizados de Sidon y de algunas otras cosas. Aquí os la dejo.
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Resuelto el problema de los conjuntos generalizados de Sidon…y dos españoles son parte de los “culpables”

Recientemente ha caído otro de esos problemas que se han mantenido sin solución muchos años después de su planteamiento. En este caso se trata del problema de los conjuntos generalizados de Sidon. Y en esta ocasión estamos de doble enhorabuena ya que los culpables ha sido tres matemáticos, de los cuales dos son españoles. En concreto, debemos la solución de este problema a Imre Ruzsa y a nuestros compatriotas Javier Cilleruelo y Carlos Vinuesa. La verdad es que es un orgullo para todos nosotros que sigan saliendo matemáticos españoles asociados a soluciones de problemas que han estado tanto tiempo esperando que alguien consiga meterles mano (recordad el también reciente caso de Francisco Santos y la conjetura de Hirsch). Vamos a explicar un poco qué son estos conjuntos y de qué va este problema.
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