Fracción continua, o cuál es la mejor aproximación

Las aproximaciones numéricas son muy importantes en muchos problemas de matemáticas, ya que en gran cantidad de ocasiones no podemos disponer del valor exacto de ciertos datos, ya sea porque el cálculo de dicho valor exacto es demasiado laborioso o porque ni siquiera es posible (por ejemplo, en la práctica no podemos aspirar a disponer del valor exacto de \pi). Además en la mayoría de los casos necesitamos la mejor aproximación posible, ya que el hecho de utilizar una no muy buena aproximación puede hacer que el error cometido en nuestros cálculos crezca hasta niveles demasiado altos, inadmisibles en ciertos casos.

En este artículos vamos a hablar de fracciones continuas, y de cómo estos entes matemáticos nos dan, en cierto sentido, la mejor aproximación posible a un cierto dato cuyo valor exacto no podemos calcular.

¿Qué es una fracción continua?

En este artículo que nos envió fede ya se definía lo que era una fracción continua y se hablaba sobre algunas de sus propiedades. Vamos a volver a definir este concepto y a comentar algunas de sus características, además de incidir en otros aspectos.

Una fracción continua es una expresión del tipo

a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{a_4+\ddots}}}}

donde a_0, a_1, \ldots son números enteros positivos, que en muchas ocasiones suele escribirse como [ a_0;a_1,a_2, \ldots ]. Bueno, en realidad este tipo de fracciones continuas donde los numeradores son todos 1 se denominan fracciones continuas regulares o simples. Si se permite que los numeradores parciales tomen valores arbitrarios (en algunos casos hasta funciones) la expresión se denomina fracción continua generalizada.

Esta expresión tiene varias características muy interesantes. Por ejemplo, todo número real, ya sea entero, racional o irracional, puede escribirse como una fracción continua, aunque en algunos casos será más sencillo que en otros. Por otra parte, no todas las fracciones continuas son infinitas. De hecho, una fracción continua es finita si y sólo si el número real al que corresponde es un número racional. Además, la fracción continua asociada a un número real es única siempre que no acabe en 1.

¿Cómo calcular la fracción continua de un número real? Bien, como hemos dicho antes la dificultad que entraña la búsqueda de la fracción continua de un número real no es siempre la misma. Hay casos en los que este cálculo es relativamente sencillo y otros en los que es bastante complicado.

Vamos a explicar el método, digamos, general para calcular la fracción continua regular de un número real junto con un ejemplo: la fracción continua regular del número 3,67:

  • La parte entera del número será a_0. En nuestro caso, a_0=3.
  • Tomamos a_0 y se lo restamos a nuestro número. En nuestro caso, 3,67-3=0,67.
  • Calculamos ahora el inverso del resultado obtenido. En nuestro caso, 1/0,67=1,49253731 \ldots \ldots. La parte entera del número obtenido será a_1. En nuestro caso, a_1=1.
  • A partir de aquí repetimos el proceso hasta que lleguemos a que en una resta obtenido 0 como resultado. Vamos a ver qué nos queda a nosotros:

    1,49253731 \ldots-1=0.49253731 \ldots
    1/0,49253731\ldots=2,030303 \ldots, por lo que a_2=2
    2,030303 \ldots-2=0,030303 \ldots
    1/0.030303 \ldots=33,000033 \ldots, por lo que a_3=33
    33,000033 \ldots-33=0,000033 \ldots, número que podemos considerar ya como 0.

Por esto, la fracción continua regular de 3,67 es:

3+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{33}}}=[ 3;1,2,33 ]

Este método sirve para todos los números reales, pero tiene un problema bastante evidente: en la mayoría de los casos hay que tomar aproximaciones. De hecho hay que tomar aproximaciones de los resultados parciales con un buen número de decimales, ya que si no los pequeños errores que cometemos al tomar dichas aproximaciones se van acumulando y podemos llegar a resultado erróneos.

¿Cómo solucionamos esto? Pues no hay una respuesta totalmente satisfactoria a esta pregunta. Para ciertos tipos de números existen algoritmos mejores que el descrito anteriormente para encontrar su fracción continua regular, aunque no sirven para otros. Nos vamos a centrar en dos tipos de números y vamos a explicar cómo calcular su fracción continua.

1.- Números racionales

El algoritmo que hemos comentado sirve para calcular la fracción continua de un número racional, de hecho lo hemos usado con uno, pero hay una manera mejor. El procedimiento comienza pasando ese número racional a fracción, si es que no estaba ya de esa forma, para después aplicarlo el algoritmo de Euclides a la pareja formada por el numerador y el denominador. En el proceso nos vamos quedando con los cocientes de las divisiones hasta llegar a una que tenga resto cero. Esos cocientes, en el orden en el que han ido apareciendo, son los a_0,a_1, \ldots , a_n de la fracción continua de nuestro número (recordemos que la fracción continua de un número racional es finita).

Podéis probar con el 3,67, veréis como obtenéis la misma que he obtenido yo.

2.- Números cuadráticos irracionales

Llamo número cuadrático irracional a todo número real que es solución de una ecuación de segundo grado y que no es un número racional (es decir, la raíz cuadrada que aparece en su expresión no es exacta). La fracción continua de este tipo de números posee la curiosa característica de ser periódica. Es decir, de un punto en adelante, sus coeficientes tiene un período que se repiten indefinidamente. De hecho, este resultado es un si y sólo si, ya que toda fracción continua periódica corresponde con un número cuadrático irracional. Vamos a ver cómo calcular dicha fracción continua con un ejemplo:

Fracción continua de \sqrt{3}

Sabemos que \sqrt{3} está entre 1 y 2, por lo que a_0=1 y su fracción continua tendrá entonces la siguiente forma:

\sqrt{3}=1+\cfrac{1}{x} (1)

De aquí, \sqrt{3}-1=\textstyle{\frac{1}{x}}, por lo que x=\textstyle{\frac{1}{\sqrt{3}-1}}. Multiplicando arriba y abajo por \sqrt{3}+1 (para quitar la raíz) llegamos a que x=\textstyle{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}.
En esta misma expresión sustituimos \sqrt{3} por su valor de (1), llegando a x=1+\textstyle{\frac{1}{2x}}.
Y ahora en esta expresión obtenida sustituimos x por ese valor al que hemos llegando de forma indefinida, obteniendo los siguiente resultado parciales:

x=1+\cfrac{1}{2x}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{x}}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2x}}}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{x}}}}=\ldots

Vemos que las expresiones se van repitiendo. Si continuamos con el proceso de forma indefinida la fracción continua tendrá esa estructura, con los mismo valores repitiéndose indefinidamente.

Ahora tomamos la expresión inicial (1) y sustituimos x por lo que acabamos de obtener, llegando por fin a la fracción continua buscada:

\sqrt{3}=1+ \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+ \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}

En algunos de los enlaces que aparecen al final del artículo pueden verse más ejemplos. Y más adelante veremos en Gaussianos más fracciones continuas correspondientes a números muy conocidos.

Ah, y aquí os dejo una calculadora de fracciones continuas en la que podemos calcular la fracción continua regular de cualquier número racional y cualquier número cuadrático irracional.

Fracciones continuas como mejor aproximación

Bien, ¿qué significa esto de la mejor aproximación? Vamos a intentar explicarlo.

Dado un número real x y su fracción continua regular [ a_0; a_1, a_2, \ldots , a_n, \ldots ], definimos la sucesión de cocientes C_n=\textstyle{\frac{A_n}{B_n}} mediante la siguiente recurrencia:

\begin{matrix} A_0=a_0 \; ; \; B_0=1 \\ A_1=a_0 \cdot a_1 +1 \; ; \; B_1=a_1 \\  A_k =a_k \cdot A_{k-1}+A_{k-2} \; ; \; B_k=a_k \cdot B_{k-1}+B_{k-2},\mbox{ para} k > 1 \end{matrix}

Definida así, a los valores de la sucesión C_n=\textstyle{\frac{A_n}{B_n}} se les denomina convergentes de la fracción continua.

Bien, estos convergentes tienen una interesante propiedad relacionada con el número x de cuya fracción continua provienen. Es la siguiente:

Un convergente de la fracción continua de un número real x es la mejor aproximación racional a dicho número entre las fracciones con denominador menor o igual que dicho convergente.

Es decir, que si tomamos un convergente de la fracción continua de un número real y tomamos todas las fracciones con denominador menor o igual que él, entonces este convergente da mejor aproximación racional que cualquiera de las demás.

Por ejemplo, tomemos la fracción continua regular de \sqrt{3} calculada hace un rato y calculemos algunos de los valores de C_n:

  • A_0=1 \; ; \; B_0=1 \rightarrow C_0=\frac{1}{1}=1
  • A_1=1 \cdot 1+1 =2 \; ; \; B_1=1 \rightarrow C_1=\frac{2}{1}=2
  • A_2=2 \cdot 2+1=5 \; ; \; B_2=2 \cdot 1+1=3 \rightarrow C_2=\frac{5}{3}
  • A_3=1 \cdot 5+2=7 \; ; \; B_3=1 \cdot 3+1=4 \rightarrow C_3=\frac{7}{4}
  • A_4=2 \cdot 7+5=19 \; ; \; B_4=2 \cdot 4+3=11 \rightarrow C_4=\frac{19}{11}

El resultado que acabamos de comentar nos dice que \textstyle{\frac{5}{3}} es la mejor aproximación racional a \sqrt{3} de entre todas las fracciones con denominador menor o igual que 3, que \textstyle{\frac{7}{4}} es la mejor aproximación racional a \sqrt{3} de entre todas las fracciones con denominador menor o igual que 4, que \textstyle{\frac{19}{11}} es la mejor aproximación racional a \sqrt{3} de entre todas las fracciones con denominador menor o igual que 11, etc.

Por tanto, si alguna vez necesitáis una buena aproximación racional (la mejor, vamos) de un número real solamente tendréis que tomar la fracción continua de dicho número y calcular unos cuantos convergentes de la misma hasta que lleguéis a la que más os convenga teniendo en cuenta la exactitud que necesitéis…o también podéis usar la calculadora de fracciones continuas que os he proporcionado antes, porque en ella también aparecen un buen número de convergentes.

Fuentes:


Con este artículo colaboro con la VI Edición del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog de Sangakoo.

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