La singular belleza de las demostraciones visuales (II)

Ya hemos visto en Gaussianos que las demostraciones visuales tienen una belleza especial, además de ser tremendamente descriptivas del resultado que se quiere demostrar.

Lo hemos visto con el teorema de Pitágoras, aquí y aquí, con las potencias de un binomio, con algunas sumas infinitas o con segmentos y rectas hace bien poco.
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La singular belleza de las demostraciones visuales

No hay nada como una demostración visual para que un resultado matemático quede suficientemente claro. Las demostraciones analíticas son interesantes, tienes sus ventajas, hasta pueden tener cierta belleza, pero si mediante un dibujo podemos ver el resultado, podemos admirar mucho más su belleza y dicho resultado se nos acaba quedando mucho mejor.

Por desgracia no podemos demostrar de manera visual todo resultado matemático (o sí, quién sabe). Además, aunque tengamos un gráfico explicativo del mismo siempre nos hará falta una demostración formal que nos asegure que dicho resultado es cierto. De todas formas, como hemos dicho antes, eso no resta ni un ápice de belleza a las demostraciones visuales.

Cubo

Una de las más típicas es la demostración visual de la validez del desarrollo del cuadrado y del cubo de una suma de la que hablamos en este artículo hace tiempo. En la imagen podéis ver un cubo dividido en las partes necesarias para que se pueda ver de manera sencilla el resultado del desarrollo del cubo de un binomio. Os recomiendo hacer click en el enlace anterior para que todo quede más claro.

El teorema de Pitágoras es otro de los resultados que mejor se prestan a este tipo de demostraciones. Entre las muchas que podemos encontrar están ésta y estas dos que ya hemos publicado en Gaussianos.

Vale, el teorema de Pitágoras está muy relacionado con la geometría, por lo que era más normal encontrar demostraciones visuales como esas. Y para el caso del desarrollo del cuadrado y el cubo de un binomio se puede encontrar una equivalencia geométrica con el área de un cuadrado y el volumen de un cubo, por lo que tampoco es tan sorprendente.

Las demostraciones visuales que vamos a ver ahora están relacionadas con sumas infinitas, por lo que son más sorprendentes que las anteriores. La verdad es que la originalidad que desprenden es enorme. Vamos a dar la demostración formal de cada una de ellas y después una imagen con la demostración visual, que intentaremos explicar para que se entienda bien.

  • Suma de los inversos de las potencias de 2

    Vamos a calcular el valor de la siguiente suma:

    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}}

    Para ello vamos a usar la fórmula para calcular la suma de una serie geométrica que vimos es este artículo. Dicha fórmula es la siguiente:

    \displaystyle{\sum_{n=\Box}^{\infty} a^n=\cfrac{a^{\Box}}{1-a}}

    siendo \Box el número natural en el que comienza dicha suma.

    Haciendo a=\textstyle{\frac{1}{2}} tenemos el resultado:

    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}}=\cfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1

    Veamos ahora una imagen que aclara este resultado:

    Inversos de las potencias de 2

    En la imagen podemos ver cómo \textstyle{\frac{1}{2}} es la mitad del área del cuadrado de lado 1, cómo \textstyle{\frac{1}{4}} es la mitad de la otra mitad del cuadrado, y así sucesivamente. Realizando esa división un número infinito de pasos llegamos a tener el cuadrado entero, que al tener lado igual a 1 da área igual a 1.

  • Suma de los inversos de las potencias de 3

    Igual que antes, usaremos la fórmula para calcular la suma de una serie geométrica convergente. En este caso a=\textstyle{\frac{1}{3}}, por lo que obtenemos el siguiente resultado:

    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}}=\cfrac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\cfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\cfrac{1}{2}

    Y ahora la demostración visual:

    Inversos de las potencias de 3

    Volvemos a tener un cuadrado de lado 1, por lo que su área también es 1. Lo dividimos en dos partes iguales mediante una de sus diagonales y tomamos \textstyle{\frac{1}{3}} del área (el de abajo). Se ve que el triángulo verde que queda abajo a la derecha rellena el que queda arriba a la izquierda. Después del tercio central del cuadrado volvemos a tomar un tercio (que ahora será un noveno del total), que nos quedamos en su totalidad para la suma final. Luego tomamos \textstyle{\frac{1}{27}}, con el que el pequeño triángulo de abajo a la derecha vuelve a rellenar el de arriba a la izquierda (como ocurría en el primer paso), y así sucesivamente. Después de un número infinito de pasos obtenemos la mitad del cuadrado, es decir, un área igual a \textstyle{\frac{1}{2}} del total.

  • Suma de los inversos de las potencias de 4

    Igual que en los dos casos anteriores, utilizamos la fórmula para sumar una serie geométrica de razón menor que 1 en valor absoluto. En esta ocasión, a=\textstyle{\frac{1}{4}}. Obtenemos lo siguiente:

    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n}}=\cfrac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\cfrac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\cfrac{1}{3}

    Y ahora la imagen iluminadora:

    Inversos de las potencias de 4

    Volvemos a tomar un cuadrado de lado 1 y lo dividimos en cuatro cuadrados iguales. Tomamos tres de ellos (en este caso, el de arriba a la izquierda y los dos de abajo) y coloreamos uno de ellos, obteniendo entonces un tercio del total del área de esos tres cuadrados. El cuarto cuadrado (el que no hemos tomado) también lo dividimos en cuatro cuadrados iguales como antes, nos volvemos a quedar tres y coloreamos uno, y así sucesivamente. Es fácil entonces ver que la parte coloreada corresponde a un tercio del total del cuadrado.

Después de ver estas imágenes creo que es innegable la singular belleza de las demostraciones visuales. No hay nada como un gráfico explicativo de un resultado cuando sea posible.

¿Conocéis más demostraciones visuales del mismo tipo que éstas?


La idea y las imágenes las he tomado de Six Visual Proofs, donde además podéis ver otra imagen sobre el teorema de Pitágoras y otras dos demostraciones visuales muy típicas.

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