¿Sabía que…

…podemos encontrar series de números compuestos consecutivos tan largas como queramos?

Me explico: dado un número natural $n$ cualquiera (sí, sí, cualquiera) podemos encontrar un conjunto de $n$ números naturales consecutivos tal que todos ellos son compuestos. ¿Cómo? Muy sencillo:

Sabemos que $n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$ es divisible por $2, 3, \ldots, (n-1), n$ . Entonces $n!+2$ es divisible por $2$ , $n!+3$ es divisible por $3$ , … , $n!+n$ es divisible por $n$ . Tenemos aquí un conjunto de $n-1$ números naturales consecutivos que son compuestos.

Tomando $(n+1)!$ en vez de $n!$ obtenemos que $(n+1)!+2$ es divisible por $2$ , $(n+1)!+3$ es divisible por $3$ , … , $(n+1)!+n$ es divisible por $n$ y $(n+1)!+(n+1)$ es divisible por $n+1$ . Dado un $n$ número natural cualquiera obtenemos así una serie de $n$ números naturales consecutivos tal que todos ellos son compuestos.

Comentario: Con este procedimiento encontramos una serie de $n$ números naturales consecutivos tal que todos son compuestos, pero no tiene que ser la menor posible. Por ejemplo, para $n=3$ la serie que encontramos es $26$ , $27$ y $28$ , pero la más pequeña posible $8$ , $9$ y $10$ . Aunque eso no es problema ya que lo que nos interesaba es la existencia de esa serie.

Y, como he dicho antes, $n$ puede ser cualquier número natural, da igual lo grande que sea. Es decir, hay series de números naturales consecutivos enormemente grandes entre los cuales no hay ningún número primo. Cosas como esta pueden hacer más difícil creerse que el conjunto de números primos es infinito, pero en realidad es así. En este blog ya hemos visto dos demostraciones de este hecho: la demostración de Euclides y la demostración utilizando números de Fermat.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de Noviembre de 2007
Categorías: ¿Sabía que ...?

13 comentarios

PelaoX | 22 de Noviembre de 2007 | 11:27

Muy interesante, no se me habia ocurrido, en fin esto probablemente puede usarse para descartar rangos, aun que aun no me familiarizo bien con el problema, en una primera mirada puede ser posible.

Saludos desde Viña del Mar
Omar-P | 22 de Noviembre de 2007 | 13:03

¿Cómo se llaman éstas series?
Las series de números compuestos consecutivos que se encuentran entre dos números primos forman lo que se denomina “laguna”, “desierto”, “hueco”, o “gaps between primes”. Y así como existe el primo(n) o p(n) también existe la laguna(n) o g(n). El tamaño de la laguna es igual a diferencia entre los dos números primos, menos 1.
Solaufein | 22 de Noviembre de 2007 | 13:33

Desde luego, es un resultado sorprendente y, a primera vista, chocante. Sin embargo, teniendo en cuenta que la densidad de números primos en los naturales disminuye a medida que “avanzamos”, intuitivamente se puede ver que es cierto.

Me ha gustado mucho esta demostración, tanto como el resultado, pues es constructiva y se puede visualizar fácilmente con números pequeños.

Un saludo,

Solaufein
Domingo H.A. | 22 de Noviembre de 2007 | 23:36

Es interesante que se puedan encontrar secuencias de números compuestos consecutivos arbitrariamente largas en los naturales, pero más impactante es el reciente teorema de Green-Tao (al primero le ha valido recientemente el premio SASTRA Ramanujan 2007, mientras que al segundo le valió en parte una medalla Fields). Es fascinante que en los primos existan progresiones aritméticas tan largas como se desee.
^DiAmOnD^ | 23 de Noviembre de 2007 | 4:13

Cierto Domingo, eso es aún más impactante.

A ver si me acuerdo y escribo algo sobre eso.
Guayota | 25 de Noviembre de 2007 | 2:00

Yo me pregunto hace tiempo si este resultado tiene alguna consecuencia sobre la conjetura de Golbach: se me hace difícil aceptar que frente a estas ‘lagunas’ sea siempre posible encontrar dos números primos para representar cualquier par del ‘hueco’.
otro | 25 de Noviembre de 2007 | 5:11

No es tan elegante, pero hay otro conjunto de n números naturales consecutivos entre mcm(2, 3, 4, …, n) + 2 y mcm(2, 3, 4, …, n) + n, que son a lo sumo iguales y generalmente menores que n! + 2 … n! + n.

Y si n > 3, también sirve (creo, de esto no estoy tan seguro) mcm(2, 3, 4, …, n) - n … mcm(2, 3, 4, …, n) - 2.
Domingo H.A. | 25 de Noviembre de 2007 | 12:38

En relación a lo escrito por “otro”, se me ocurre proponer las dos siguientes cuestiones:

1) Probar que existe una constante positiva C, $C\leq 1.2$ , tal que $mcm(1,2,\ldots,n)\leq e^{C\cdot n}$ , si $n\succ\succ 1$ ( $n$ suficientemente grande).

Esta propiedad es muy interesante. La función mcm crece acotada por una exponencial, mientras que la función factorial no.

2) Como curiosidad, demostrar que $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}} \cfrac{mcm(1,2,\ldots,n)}{\Phi^{\frac{5}{2}\cdot n}}=0$ , siendo $\Phi$ el número áureo.
otro | 26 de Noviembre de 2007 | 3:23

También se puede probar con el primorial de n, o sea, n#. n#~es divisible entre cualquier número primo menor o igual que n, así que n#+p (y n#-p, salvo en el caso que indiqué antes cuando mencioné lo de mcm(1, 2, …, n) de p=n=3) es divisible por p si p es un número primo menor o igual que n. Si p no es primo pero es menor o igual que n, es producto de primos que sí entran en el caso anterior, y n#+p y n#-p siguen siendo divisibles entre alguno de los factores de p y por tanto son compuestos.
Domingo H.A. | 3 de Diciembre de 2007 | 21:43

Aunque el tema está bastante muerto, me parece de interés que figure aquí una demostración de las dos propiedades que puse en un comentario anterior (en especial de la primera):

1) “existe una constante positiva $C\leq 1.2$ , tal que $m.c.m.(1,2,\ldots,n)\leq e^{C\cdot n}$ , si $n\succ\succ 1$ ”

Veámoslo. Dado $n\in \mathbb{N}$ , hay $\pi(n)$ primos menores o iguales que $n$ . Además, si $p$ es primo, entonces la mayor potencia de $p$ menor o igual a $n$ es $p^k$ , con $k=\left\lfloor \cfrac{log\;n}{log\;p}\right\rfloor$ .

Así pues, $m.c.m.(1,2,\ldots,n)=\displaystyle{\prod_{i=1}^{\pi(n)}} p_i^{\frac{log\;n}{log\;p_i}}$ .

Tomando logaritmos llegamos facilmente a que $log\;m.c.m.(1,2,\ldots,n)\leq log\; n\;\cdot \pi(n)$ .

Finalmente, el teorema de Chebychev sobre primos nos dice que existe una constante $C\leq 1.2$ tal que $\pi(n)\leq C\cdot\cfrac{n}{log\;n}$ , para $n$ suficientemente grande. Esto demuestra (1).

(2) es elemental a partir de (1).

Lo interesante aquí es que podemos acotar el mcm en términos exponenciales, lo cual es útil a la hora de hacer acotaciones, ya que que ésto no ocurre con la función factorial.
Omar-P | 3 de Diciembre de 2007 | 23:20

Este link es muy interesante:
http://primes.utm.edu/howmany.shtml
Domingo H.A. | 3 de Diciembre de 2007 | 23:49

en mi comentario previoo hay una pequeña errata. En la expresión del mcm como producto de primos, los exponentes deben aparecer en términos de partes enteras de lo que aparece escrito.
Omar-P | 4 de Diciembre de 2007 | 0:46

¿Sabía que…
El apellido de Pafnuty Lvóvich se translitera de varias maneras: Cebisev, Chebychev, Tchebychev, Tchebycheff, Tschebyscheff, etc. Sin embargo la forma más aceptada y utilizada es:
Chebyshev.