Teoría de números elemental: Congruencias

Después de mi parón por los examenes de Septiembre, aquí vuelvo para dar la puntilla definitiva a mi serie de posts sobre la teoría de números elemental. Así que aquí viene quizá lo más importante (en mi opinión) de la teoría de números elemental, las congruencias.

¿Qué es una congruencia?

Es una relación de equivalencia (no me quiero meter a explicar que es una relación de equivalencia, por eso os pongo el enlace) que cumple la siguiente propiedad:

Sean a, b ∈ Z, m ∈ N, entonces “a” y “b” son congruentes si:

a mod (m) = b mod (m) ó b – a = K·m (siendo K ∈ Z)

Cuando dos números son congruentes se denota de la siguiente manera:

a ≡ b (mod (m))

Definimos “mod” como la operación módulo, que es el resto de la división euclídea de dos números:

r = a mod (m) a = m·q + r

(Más información en Wikipedia)

Conjuntos cocientes

Como las congruencias son relaciones de equivalencia, se pueden definir para cada elemento del conjunto en el que se da la relación, las clases de equivalencia.

La clase de equivalencia de cualquier elemento “a” perteneciente al conjunto “A”, se define como el conjunto:

[a] = {b ∈ A : aRb} (donde R es la relación de equivalencia)

Aplicando esto a los números enteros y a las congruencias, tenemos que:

a ≡ b (mod (m)) en Z tiene como clases de equivalencia a:

[o] = {…., -2·m, -m, 0, m, 2·m, ….}
[1] = {…., 1-2·m, 1-m, 1, 1+m, 1+2m, ….}
….
[m-1] = {…., -1-m, -1, m-1, 2·m-1, 3·m-1, ….}

(Más información en Wikipedia)

Sabiendo ya que son las clases de equivalencia, podemos pasar a explicar qué son los conjuntos cocientes. El conjunto cociente de A por R, se denota A/R, es el conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia por R de los elementos de A, es decir:

A/R = {[a] : a ∈ A}

Aplicando esto a los números enteros y a las congruencias, tenemos que:

Siendo a ≡ b (mod (m)) y sus clases de equivalencia [0], [1], …, [m-1], su conjunto cociente es:

Zm = {[0], [1], …, [m-1]} [Para los números enteros y las congruencias se denota Zm en lugar de Z/(mod (m))]

(Más información en Wikipedia)

Aunque no quería meterme demasiado en el tema de las relaciones de equivalencia, he tenido que explicar que son las clases de equivalencia y conjuntos cocientes sin haber explicado antes nada de relaciones de equivalencia ni de relaciones binarias, lo he hecho lo más sencillo posible y orientado a las congruencias en lugar de a cualquier relación, así que espero que lo entendáis bien, de todos modos ahí tenéis los comentarios para exponer vuestras dudas.

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Sin comentarios

  1. nieves (abelgalois) | 21 de septiembre de 2006 | 14:24

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    Pues precísamente,ando yo a vueltas con las congruencias de resto módulo X,porque “tutelo” académicamente a un amigo que está haciendo Telecomunicación en Vigo,y edité en el blog,unos post donde expuse los ejercicios referidos a congruencias, de la convocatoria de febrero y septiembre de 2006,puedes pasarte y verlos (los enunciados son divertidos…de monos y cacahuetes y náufragos y cocos…muy friki todo)…acabé resolviéndolos,porque me lo pidieron,y en los comentarios,para no cansar expliqué las congruencias,como una “clasificación “de números enteros atendiendo al resto que deja su división por X,si ese es el módulo.Es interesante la aplicación que tienen para la resolución de ecuaciones diofánticas.Tu post ,yo lo entiendo,pero soy consciente de que es dificil de explicar…

  2. ^DiAmOnD^ | 21 de septiembre de 2006 | 14:56

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    Sí, la verdad es que es complicado explicar este tema, pero al final te ha quedado bien neok. De todas formas, como bien dice él en el post, aquí tenéis lo comentarios para exponer vuestras sugerencias y vuestras dudas.

    nieves interesante el tema. Cuando pueda me paso por tu blog a echarle un ojo :)

  3. manuti | 22 de septiembre de 2006 | 16:55

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    No lo pasé mal yo con las congruencias en 1º de industriales, que infierno de álgebra y de demostrar que no sé que es divisible por no sé cual. Un infierno…

  4. ^DiAmOnD^ | 22 de septiembre de 2006 | 18:34

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    La verdad es que el tema es duro cuando uno lo coge al principio, pero echándole un poco de tiempo y teniendo a alguien que te lo explique más o menos bien se acaba cogiendo fácil.

  5. Trackback | 14 dic, 2006

    labitacora.net » Blog Archives » Tipos de números

  6. Saul | 10 de febrero de 2007 | 23:52

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    Que tal, una buena descripción general de las clases de congruencia. Me gustaria, si fuese posible, me recomendases alguna buena bibliografía para poder estudiar lo que son clases de congruencia y aritmética módulo un poco mas a detalle. Hasta luego

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