Teoría de números elemental: Divisibilidad

¿Qué es la divisibilidad?

Decimos que un número entero “b” es divisible por otro entero “a” (distinto de cero) si existe un tercer entero “c” tal que b = a·c. Se expresa como a|b, que se lee “a” divide a “b” (o “a” es divisor de “b”, o también “b” es múltiplo de “a”).

Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero “c” tal que 6 = 4·c.

Propiedades

Sean a, b, c ∈ Z; entonces:

  1. Se tiene 1|a, a|0, a|a.
  2. Si a|b y b|a entonces b=±a.
  3. Si a|b entonces a|b·x (∀x ∈ Z)
  4. Si a|b y b|c entonces a|c.
  5. Si a|b y a|c entonces a|(b+c).
  6. (Más información en Wikipedia)

    Teorema de la división euclídea

    Sea a, d ∈ Z, tal que d sea distinto de cero (sea nulo). Entonces, existen unos únicos q, r ∈ Z, tales que a=d·q+r con r mayor o igual a cero y menor que el valor absoluto de “d”.

    Siendo “a” el dividendo, “q” el cociente, “d” el divisor y “r” el resto que será siempre positivo. Este método de división es la que se enseña en los colegios.

    (Más información en Wikipedia)

    Como veís no os mentía en que la teoría de números elemental era entendible para gente no matemática.

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Autor: fran

3 Comentarios

  1. Ahí ahí, empezando por abajo :)

    Te ha faltado decir que este símbolo “∀” significa “para todo” y “∈” es “pertenece a”… es decir, que la proposición:

    3. Si a|b entonces a|b·x (∀x ∈ Z)

    Significa: Si a divide a b, entonces a divide a b por x, para todo x que perteneca a Z. (Donde Z son los números enteros: …, -2, -1, 0, 1, 2,… etc.)

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  2. Ese conocimiento lo presuponía, pero sí es una aclaración oportuna.

    Además en el anterior post Diamond nos hablaba de webs donde aparecen los simbolos más comunes de las matemáticas, así que nadie tiene excusa. ;)

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  3. “Como veís no os mentía en que la teoría de números elemental era entendible para gente no matemática.”

    Ya llegarán los primos, ya…

    😛

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  1. Gaussianos » Teoría de números elemental: Aritmética modular II - [...] Bueno, existe un tercer método basado en el teorema de la división euclídea pero me parece muy largo de…
  2. Gaussianos » Teoría de números elemental: Congruencias - [...] 1 en Teoría de números elemental: Divisibilidad [...]

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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