Tipos de números

Los números, esos fieles compañeros que nos acompañan en todos los momentos de nuestra vida. Conocemos muchos tipos de números, ya sea porque los usamos a diario o porque los hemos visto en algún documento libro (o, por qué no, en este blog): los naturales (0, 1, 2, 3,…), los enteros (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…), los racionales (todo número que puede ponerse en froma de fracción), los irracionales (todo número que no puede ponerse en forma de fracción), los reales (el conjunto de todos los anteriores), los complejos

Pero podemos calificar a los números de muchas otras maneras. Hay muchas propiedades de los números que hacen que cuando alguno las cumple se le denomine de cierta forma. En este post vamos a ver unas cuantas:

  • Número primo: todo número natural mayor que 1 que cumple que sus únicos divisores son el 1 y el propio número. Ejemplos: 2, 3, 5,… Éste es el más grande que se conoce.
  • Número compuesto: todo número natural mayor que 1 que no es primo. Ejemplos: 4, 6, 10, …
  • Número primo probable: todo número del cual no se sabe si es primo o no pero que verifica alguna condición que verifican todos los números primos
  • Número pseudoprimo: todo primo probable que acaba siendo compuesto.
  • Número perfecto: todo número natural que es igual a la suma de sus divisores propios (es decir, todos sus divisores excepto el propio número). Por ejemplo, 6 es un número perfecto ya que sus divisores propios son 1, 2, y 3 y se cumple que 1+2+3=6. Los números 28, 496 y 8128 también son perfectos.
  • Número semiperfecto: todo número natural que cumple que es igual a la suma de algunos de sus divisores propios. Por ejemplo, 18 es semiperfecto ya que sus divisores son 1, 2, 3, 6, 9 y se cumple que 3+6+9=18.

  • Número abundante: todo número natural que cumple que la suma de sus divisores propios es mayor que el propio número. Por ejemplo, 12 es abundante ya que sus divisores son 1, 2, 3, 4 y 6 y se cumple que 1+2+3+4+6=16, que es mayor que el propio 12.
  • Número deficiente: todo número natural que cumple que la suma de sus divisores propios es menor que el propio número. Por ejemplo, 16 es un número deficiente ya que sus divisores propios son 1, 2, 4 y 8 y se cumple que 1+2+4+8=15, que es menor que 16.
  • Números amigos: parejas de números que cumplen que la suma de los divisores propios de cada uno de ellos da como resultado el otro número. Por ejemplo, 220 y 284 son números amigos.
  • Números sociables: cumplen lo mismo que los números amigos pero en vez de ir en parejas van en grupos más grandes. La suma de los divisores del primer número da el segundo, la suma de los del segundo da el tercero, y así sucesivamente. La suma de los divisores del último da el primer número de la lista. Por ejemplo los números 12496, 14288, 15472, 14536 y 14264 son números sociables.
  • Número apocalíptico: todo número natural n que cumple que 2n contiene la secuencia 666. Por ejemplo, los números 157 y 192 son números apocalípticos.
  • Número ambicioso: todo número que cumple que la secuencia que se forma al sumar sus divisores propios, después los divisores propios del resultado de esa suma, después los del número obtenido…acaba en un número perfecto. Por ejemplo, 25 es un aspiring number ya que sus divisores propios son 1 y 5 y se cumple que 1+5=6, que es un número perfecto.
  • Número curioso: todo número natural n que cumple que n2 tiene al propio n como última cifra. Por ejemplo, 25 y 36 son números curiosos.
  • Número de Carmichael: todo número compuesto n que cumpla que bn-1 ≡ 1 (mod (n)) (véase Congruencias) .para todo natural b que sea primo relativo con n. Por ejemplo, 561 y 1105 son números de Carmichael.
  • Cuadrado: todo número natural que es el cuadrado de otro número natural. Por ejemplo, 9 es un cuadrado ya que 9=32.
  • Cubo: todo número natural que es el cubo de otro número natural. Por ejemplo, 125 es un cubo ya que 125=53.
  • Número malvado: todo número natural cuya expresión en base 2 (binaria) contiene un número par de unos. Por ejemplo, y 15 son números malvados ya que 12=11002 y 15=11112.
  • Número feliz: todo número natural que cumple que si sumamos los cuadrados de sus dígitos y seguimos el proceso con los resultados obtenidos el resultado es 1. Por ejemplo, el número 203 es un número feliz ya que 22+02+32=13; 12+32=10; 12+02=1.
  • Número infeliz: todo número natural que no es un número feliz. Por ejemplo, el número 16 es un número infeliz.
  • Número hambriento: el k-ésimo número hambriento es el más pequeño número natural n que cumple que 2n contiene los primeros k dígitos de Pi. Los primeros números hambrientos son: 5, 17, 74, 144, 144, 2003,…
  • Número afortunado: Tomemos la secuencia de todos los naturales a partir del 1: 1, 2, 3, 4, 5,… Tachemos los que aparecen en las posiciones pares. Queda: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,… Como el segundo número que ha quedado es el 3 tachemos todos los que aparecen en las posiciones múltiplo de 3. Queda: 1, 3, 7, 9, 13,… Como el siguiente número que quedó es el 7 tachamos ahora todos los que aparecen en las posiciones múltiplos de 7. Así sucesivamente. Los números que sobreviven se denominan números afortunados.
  • Número de Fermat: todo número natural de la forma 22n+1 para algún n. Si ese número resulta ser primo se denomina primo de Fermat.
  • Número de Mersenne: todo número natural de la forma 2p-1, siendo p un número primo. Si ese número resulta ser primo se denomina primo de Mersenne.
  • Número narcisista: todo número de k dígitos que cumple que es igual a la suma de las potencias k de sus dígitos es un número narceisita. Por ejemplo, 153 es un número narcisita de 3 dígitos, ya que 13+53+33=153.
  • Número odioso: todo número cuya expresión en base 2 (binaria) contiene un número impar de unos. Por ejemplo, 11=10112 es un número odioso.
  • Número palindrómico: número natural que se lee igual de derecha a izquierda y de izquierda a derecha. Por ejemplo 1348431.
  • Número poderoso: todo número natural n que cumple que si un primo p es un divisor suyo entonces p2 también lo es. Por ejemplo, el número 36 es un número poderoso ya que los únicos primos que son divisores suyos son 2 y 3 y se cumple que 4 y 9 también son divisores de 36.
  • Número oblongo: todo número natural que cumple que es el producto de dos naturales consecutivos. Por ejemplo, los números 30, 42 y 56 son pronic numbers:
  • Número repunit: todo número natural que está formado solamente por unos: 1, 11, 111, 1111,…
  • Número de Smith: todo número natural que cumple que la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de sus divisores primos contando su multiplicidad (es decir, el número de veces que aparece cada uno de ellos). Por ejemplo, el número 27 es un número de Smith ya que 2+7=9 y su único divisor primo es 3, que aparece tres veces, y por tanto 3+3+3=9.
  • Número libre de cuadrados: todo número natural que cumple que en su descomposición en factores primos no aparece ningún factor repetido. Por ejemplo, el número 30 es un número libre de cuadrados.
  • Número ondulado: todo número natural de la forma ababab…. Por ejemplo, los números 121 y 13131 son números ondulados.
  • Número intocable: todo número natural que no es la suma de los divisores propios de ningún número. Por ejemplo, los número 52 y 88 son números intocables.
  • Número vampiro: todo número natural para el cual exista una factorización formada por lo dígitos del propio número. Por ejemplo, el número 126 es un número vampiro ya que lo podemos factorizar así: 126=21·6.
  • Número raro: todo número natural que es abundante pero que no es igual a la suma de ningún subconjunto de sus divisores propios. Por ejemplo, los número 70 y 836 son raros.

Si se os ocurre alguno que no esté por aquí comentadlo y lo pondremos.

Fuentes:

Actualización: Traduccidos los que faltaban. Gracias Prez.

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127 comentarios

  1. Gina | 13 de diciembre de 2006 | 10:28

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    ooohhh!! el primero post de gaussianos que entiendo…snifff… creo que voy a llorar… me habeis hecho muuuy feliz… snifff…

  2. carlos | 13 de diciembre de 2006 | 10:55

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    ¿Y lo números capicúas? Ya sabéis, los que se leen igual de un lado que del otro… ;-)

  3. Prez | 13 de diciembre de 2006 | 11:35

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    Sobre los números que has dejado sin traducir.

    Los «pronic numbers» se llaman en español «números oblongos».
    Repunit number: en una rápida consulta a la wikipedia he visto que «repunit» es un neologismo acuñado a partir de «repeated unit», y que en alemán, francés e italiano se ha optado por dejarlo igual, por lo que yo optaría por lo mismo: «número repunit».
    Aspiring number: «aspiring» significa «ambicioso», así que «número ambicioso» quizá sea lo más adecuado.

    Venga, un saludo.

  4. ^DiAmOnD^ | 14 de diciembre de 2006 | 00:49

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    Gina nos sabes cómo me alegro :D.

    Carlos los números capicuas son los que en el post se llaman palindrómicos.

    Prez muchas gracias. Es lo que pensaba, pero prefería que alguien diera su opinión. Ahora mismo lo cambio.

    Por cierto, ¿qué es oblongo?

    Saludos :)

  5. Sieke | 14 de diciembre de 2006 | 02:22

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    Oblongo: Más largo que ancho o excesivamente largo.
    adj. Más largo que ancho.

    “Repunit” se podría traducir como “repetir unidades” (algo asi como “número repetidor de unidades” 1, 11, 111, 1111…)

  6. Trackback | 14 dic, 2006

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  7. Trackback | 14 dic, 2006

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  8. Gazoo | 15 de diciembre de 2006 | 00:06

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    Sencillamente notable.
    Felicitaciones por el Blog y gracias por darme varios minutos diarios de recreación.

    Saludos desde Santiago de Chile :)

  9. Serther | 15 de diciembre de 2006 | 01:09

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    No sabeis lo oportuno que ha sido este post para mí.
    La semana pasada mi hijo estaba jugando a pares y nones con un amigo y tuvieron un conflicto:
    - Los dos hemos elegido 0, y el 0 ¿es par o impar?.
    Dado que yo no tenía claro siquiera si era natural o no, la respuesta era clara.
    - El 0 significa nueva jugada.
    Veo que lo incluís entre los números naturales, luego supongo que será par. ¿o no?
    Gracias

  10. ^DiAmOnD^ | 15 de diciembre de 2006 | 03:17

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    Serther el cero es un número par, eso es cierto. Pero no es menos cierto que en el caso que comentas, sorteo a pares o nones el cero debería significar nueva jugada, ya que en este caso, y considerando que cada jugador usa una mano, los pares tendrían ventaja: 6 posibles resultados (0, 2, 4, 6, 8 y 10) contra 5 (1, 3, 5, 7 y 9).

    Y sí, se incluye en los números naturales (aunque hay gente que no lo hace).

  11. Qeu | 15 de diciembre de 2006 | 03:52

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    Diamond, creo qeu te has lucido :P

    Lo importante no son lso posibles resultados, sino las combinaciones qeu dan lugar a ellos.

    El 0 y el 10 sólo se consiguen con una combinación.

    El 1 y el 9 se consiguen con 2.

    El 2 y el 8, con 3

    El 3 y el 7 con 4

    El 4 y el 6 con 5

    El 5 con 6.

    Total, de 36 combinaciones posibles,
    Pares: 1+1+2+3+4+5 = 16

    Impares: 2+3+4+5+6 = 20

    ¡¡Siempre es mejor escoger nones!!

    Es como lanzar dos dados, solo que en vez de de 1 a 6, de 0 a 5.

  12. ^DiAmOnD^ | 15 de diciembre de 2006 | 03:58

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    Cierto Qeu, me he lucido. Debe ser el sueño que no perdona :P.

    Aunque parece que a ti también te afecta, ya que has sumado mal. En realidad salen 18 pares y 18 nones.

    Por tanto, Serther, para que el juego sea justo el cero debe considerarse como lo que es: un número par.

    Saludos y a dormir :)

  13. Trackback | 15 dic, 2006

    meneame.net

  14. Sim0n | 15 de diciembre de 2006 | 12:10

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    Número coprimo o primo relativo: Dos números enteros son coprimos o primos entre sí si su máximo común divisor (mcd) es 1. Por ejemplo, 36 y 91 son coprimos porque en la descomposición en factores primos de cada uno, no aparece ningún factor común: 36 = 22×32 y 91 = 7×13.

  15. Alfonso Jiménez | 22 de diciembre de 2006 | 03:21

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    Los números de Catalan :)

    Un saludo!

  16. leandro | 22 de diciembre de 2006 | 22:51

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    Hola tambien quería agregar los números trascendentes, como pi o e. Los números taxicab o Hardy-Ramanujan, que son números expresables como suma de cubos de distintas maneras.
    Los números de friedman, que son números expresables como operaciones matematicas(-,+,*,/y potencia) con sus digitos.Ej: 347 porque 7^3+4=347.
    los numeros poligonales, que se pueden acomodar formando poligonos regulares(cuadrado,triangulo,pentagono,hexagono,etc)

    ej:

    6= x
    x x
    x x x

    Los números primos de Sophie Germain,que son de la forma 2*p-1, con p primo. El mayor conocido es 137211941292195*2^171961-1.

    Nos vemos.
    Leandro.

  17. leandro | 22 de diciembre de 2006 | 22:59

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    ACABO DE VER QUE EL EJEMPLO DEL NUMERO POLIGONAL SE CORRIO.DISCULPEN.

  18. Trackback | 18 ene, 2007

    » Curiosidades sobre el número primo 23 | Maikelnai’s blog

  19. José | 19 de enero de 2007 | 20:46

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    **940**
    Puedo introducir una nueva definición….

    Para ello introdusco en concepto la función aritmética multiplicación de divisores .

    La función m(n) se define como la multiplicación de los divisores menores de n.

    y llamo números idénticos a los que “m(n)=n”

    por ejemplo:

    el 6 cuyos divisores menores son 1,2,3 y además 6=1*2*3

    O el 8 cuyos divisores menores son 1,2,4 y además 8=1*2*4…

    Asi obtuve una lista muy curiosa con estos números…
    me detuve en el “83″´…

    6,8,10,(14,15),(21,22),(26,27),(33,34,35),(38,39),46,51,55,(57,58),62,65,69,74,77,82

    Creo que el 6 es el único número que cumple que si s(n)=m(n)=n entonces n=6 y además que el único trio seguido de estos números es (33,34,35)… hasta el 83 no encontré otra triada más..

    ¿Son infinitos estos números?

    Un Saludo…

    **12465**

  20. Leandro | 19 de enero de 2007 | 23:43

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    hola he notado que los numeros afortunados son los mismo que los numeros primos.corrijanme si me equivoco.y por cierto queria saber si me podian mandar enlaces a mi mail sobre mas tipos de numeros porque estoy haciendo un gran listado de tipos de numeros.desde ya gracias.

  21. ^DiAmOnD^ | 20 de enero de 2007 | 16:28

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    Leandro no son lo m ismo. Fíjate que entre los números afortunados no están, por ejemplo, ni el 2 ni el 11.

  22. Naka Cristo | 20 de enero de 2007 | 20:30

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    José, esos números son los que tienen exactamente dos divisores además del 1 y él mismo.

  23. José | 20 de enero de 2007 | 20:36

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    Eso responde mi pregunta que si son infinitos o no, ahora trato de buscar otra triada aparte de (33,34,35)… :P

  24. Yrekthelas | 31 de enero de 2007 | 01:48

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    En numeros deficientes (y no se si en los otros ya que no he comprobado los ejemplos) se pone el 1 como divisor propio. Pero, que yo sepa, los divisores propios son aquellos distintos de 1 y del mismo numero. no?

    Por otro lado, interesante post. Realmente los hay muy curiosos. Me interesaria saber de donde salen algunos nombres. Y ya que hablamos de nombres, un texto sobre de donde salieron los numeros taxicab que comentaba leandro:

    “El número 1729 es el llamado número de Hardy-Ramanujan, cuenta la historia que estando el matemático Srinivasa Aaiyangar Ramanujan enfermo en un hospital de Londres éste fué visitado por su mentor Godfrey Harold Hardy, el cuál le comentó que el número del Taxi en el que había llegado al hospital era un número muy aburrido, el 1729. Ramanujan le comentó que no era un número aburrido, sino todo lo contrario, era un número muy interesante, de hecho era el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes.”

  25. Nephilin | 12 de febrero de 2007 | 07:29

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    los numeros 91 y 143 a que tipo de numeros pertenencen?

  26. jose | 12 de febrero de 2007 | 23:56

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    el 91 a la comunidad autónoma de madrid. El hotro nos e

  27. cian | 25 de febrero de 2007 | 21:00

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    Número de Friedman

  28. ^DiAmOnD^ | 25 de febrero de 2007 | 21:23

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    cian ahí lo tienes:

    Número de Friedman

  29. lileni virginiaruelas torres | 4 de marzo de 2007 | 00:13

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    es una estupides sobre los comoentarios

  30. susana | 6 de marzo de 2007 | 01:24

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    los numeros son muchos tipos

  31. sara | 11 de marzo de 2007 | 20:52

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    Y los NÚMEROS AMBIGUOS? Los busco y nada. Alguien me pude decir cuales son?
    Gracias.

  32. Sable | 12 de marzo de 2007 | 18:21

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    Todo número natural n primo e impar si cumple que 2n+1 también es primo, entonces n es un número primo de Sophie Germain. Estos son: 2,3,5,11,23,29,41,53,83…
    Os recomiendo a todos la colección “Las matemáticas en sus personajes”, muy buena como este blogg.

  33. K-MILA GUTIERREZ | 28 de marzo de 2007 | 22:48

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    YO CREO QUE ES MUY BUENO PARA LOS ESTUDIANTES COMO YO Y TODOS LOS CHILENOS DE CHILE

  34. Nexus7 | 29 de marzo de 2007 | 00:22

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    Aunque hablásteis de los trascendentales (pi, e), veo que se os pasaron sus complementarios en R (los algebraicos). La característica de los algebraicos es que dichos números son el valor que resuelve alguna ecuación polinómica.

    Por ejemplo: el número phi (1.61803…) también llamado aúreo o dorado, es el valor que resuelve la ecuación x^2=x+1. Los números pi y e son trascendentales porque no son algebraicos.

    P.D. el enlace de la wiki al número phi tiene un error pues phi-1 (0.61803…) también resuelve esa ecuación.

  35. Nexus7 | 29 de marzo de 2007 | 00:34

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    Perdón, cometí un error. El enlace de la wiki es correcto porque indica que es el único real POSITIVO que resuelve la ecuación. El otro número que resuelve dicha ecuación es negativo -(phi-1)

  36. virgo | 2 de abril de 2007 | 18:14

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    Quiero saber sobre los Numeros Consecutivos su definicion y ejemplos ok bye.
    Espero la respuesta lo mas pronto posible.

  37. Nexus7 | 3 de abril de 2007 | 14:57

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    Hombre, yo por “números consecutivos” entiendo una relación de orden entre dos o más números tal que dada una enumeración previa, si b es el siguiente de a entonces se dice que a y b son números consecutivos. Si c es el siguiente de b y b es el siguiente de a, entonces a, b y c son números consecutivos.

    Si no se especifica lo contrario, lo normal es sobreentender que nos referimos a la enumeración de los naturales siguiendo los axiomas de Peano (el 1 es natural, todo número natural tiene un siguiente, etc).
    Esto es, seguimos la siguiente enumeración: {1,2,3,4,5,…}
    ¿Ejemplos?
    Pues el 4, el 5 y el 6 son números consecutivos.
    Y también son consecutivos 22, 23, 24, 25 y 26
    Y el 1.021, 1.022 y 1.023

    Pero también podemos emplear otros conjuntos diferentes. Por ejemplo, si definimos el conjunto A como …
    A={8, 25, pi, 1/2, 57}
    Entonces los números 25, pi y 1/2 son 3 números consecutivos en A.

    El conjunto de los racionales pueden ser ordenados de múltiples formas y entonces sí pueden establecerse números consecutivos. Por ejemplo la que empleó Cantor
    Q* = {1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, …}
    Donde 1/3, 4/1, 3/2, 2/3 y 1/4 son 5 números consecutivos.

    NO podemos establecer números consecutivos en un conjunto no numerable. Por ejemplo R* (reales)

    Espero no haberme equivocado y que exista alguna otra definición de “números consecutivos” que yo desconozca.

  38. ANDRÉS | 6 de abril de 2007 | 22:09

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    el numero aureo que aprece en la estrela de 5 puntas , que tambien estuvo presente desde los comienzos de la civilización y en proporciones de la naturaleza como el propio hombre animales y plantas ,

  39. ANDRÉS | 6 de abril de 2007 | 22:11

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    solo el phi de los 3 numeros raros (e , phi y pi ) no es trascendete

  40. carlos | 6 de abril de 2007 | 22:13

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    solo el phi de los 3 numeros raros (e , phi y pi ) no es trascendete

  41. ruth | 11 de abril de 2007 | 00:16

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    quiero saber algún número primo que resulte de la suma de dos números pares

  42. Nexus7 | 11 de abril de 2007 | 00:39

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    ruth, no existe dicho número primo. La suma de dos números pares es otro número par, y por lo tanto es múltiplo de 2 y por lo tanto no puede ser primo.

    Si lo quieres saber por algún acertijo donde se pida dicha solución, entonces sugiero que utilices un número par positivo y otro negativo (para llamar suma a la resta de los valores absolutos). Por ejemplo: 24 y -22, cuya suma es un número primo 24+(-22)=2

  43. f1d3l8 | 6 de marzo de 2008 | 03:56

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    ¿Que me dicen del número de hilbert (2^{\sqrt{2}})? Es trascendente.

    ¿O que tal la constante de Euler Mascheroni?

    \gamma = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left[\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}\right)-\log(n)\right]  = \int\limits_{1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}-\dfrac{1}{x}\right)dx

    Debería de formularse la definición de número misterioso. Aquel número que no se sabe si es racional o irracional, trascendente o algebraico.

    Ejemplo \gamma.

  44. Noè Santos Urbina | 6 de abril de 2008 | 00:37

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    AL LEER LOS TIPOS DE NÙMEROS Y LA MAGÌA DE LOS NÚMEROS,QUEDÉ MUY MARAVILLADO DE LA OCURRENCIA CIENTÌFICA DE LOS NÚMEROS QUE SON LOS MEJORES AMIGOS DEL HOMBRE

  45. Veronica | 22 de mayo de 2008 | 14:51

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    Hola! Me pareció magnífica la explicación sobre todos estos tipos de números. Por favor, podría exolicarme qué es un número cabal?

  46. Jorge | 4 de julio de 2008 | 13:03

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    Número desolador : todo numero cuantificado en segundos, que pasas en el trabajo hasta que sales.

  47. Trackback | 14 ago, 2008

    ¿Tu DNI es perfecto, ambicioso o malvado? « El pito doble

  48. Trackback | 17 ago, 2008

    ¿Tu DNI es perfecto, ambicioso o malvado? | Andrebills

  49. Trackback | 24 oct, 2008

    ¿Propiedades del 1 al…? « Blog Inacabado

  50. guetto | 15 de noviembre de 2008 | 17:44

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    ¿Cómo se llama aquel para el que la suma de las cifras de su cuadrado es igual al número?

  51. Omar-P | 15 de noviembre de 2008 | 18:16

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    Corresponde a los números naturales 1 y 9.

  52. Rafael Cerezo | 17 de noviembre de 2008 | 00:16

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    Desde luego que esto de los números es muy curioso en algunos casos.
    Existe un número como es el 6174 que cumple que si tenemos un número de 4 dígitos, no todos ellos iguales, los ponemos en orden descendente y los restamos en orden ascendente llegamos a 6174.
    7731-1377=6354
    6543-3456=3087
    8730-0387=8352
    8532-2358=6174
    7641-1467=6174.

  53. ^DiAmOnD^ | 17 de noviembre de 2008 | 04:26

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    Rafael, ya hemos hablado de ese número en Gaussianos, acemás hace tiempo ya. Pon constante de Kaprekar en el buscador de la barra lateral del blog y verás de qué te hablo :).

  54. Trackback | 2 dic, 2008

    Suma de abundantes | Gaussianos

  55. Rafael Cerezo | 7 de diciembre de 2008 | 19:20

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    ^DiAmoNd^, no es que entre mucho aquí pero sí estoy interesado en números curiosos como es también el 153.

  56. ^DiAmOnD^ | 7 de diciembre de 2008 | 20:03

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    Rafael, échale un ojo a este artículo:

    Curiosidades del número 153

    Saludos :)

  57. Armando De La Rosa | 7 de abril de 2009 | 21:50

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    Me podrian decir cual es el número sordo?

  58. Trackback | 9 jun, 2009

    De unos a unos | Gaussianos

  59. Trackback | 7 jul, 2009

    Suma de dígitos convergente | Gaussianos

  60. Trackback | 7 jul, 2009

    Suma de dígitos convergente | Gaussianos « El camello, el León y el niño. O la evolución del perro al lobo.

  61. Victoria Gladiali | 31 de julio de 2009 | 08:41

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    Faltan los “numeros tensos”, son aquellos numeros que son iguales al doble del producto de sus cifras. Ej: el 36, 2 x 3 x 6 = 36

  62. Trackback | 4 ago, 2009

    Crisol Matemático » Blog Archive » Números

  63. Javier | 14 de agosto de 2009 | 03:23

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    En cuanto a los números llamados “repunit”, yo lo interpreto como repetir la unidad, motivo por el cual yo los llamo repetunos.

  64. Omar-P | 15 de agosto de 2009 | 20:18

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    Los repunits se definen como: R_n = (10^n – 1)/9.
    Por lo tanto, si la secuencia comienza desde el índice cero vemos que los repunits son:
    0, 1, 11, 111, 1111, 11111,…

  65. Trackback | 28 ago, 2009

    Lectura de otoño « blog de Antonio Corral

  66. karina rolon | 15 de septiembre de 2009 | 21:13

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    como se le llaman los numeros que al descomponerlos en sus factores primos con sus exponentes correspondientes, el numero de digitos que se utiliza es enor que el nuero de digitos del numero original

  67. karina rolon | 15 de septiembre de 2009 | 21:15

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    necesito dos ejemplo estos muneros que sea menor que 5000 y que sean consecitivos

  68. gabriela | 30 de septiembre de 2009 | 05:10

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    muchas gracias por brindarnos toda esta informacion

  69. ____*DannY*___ | 9 de octubre de 2009 | 00:07

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    muchas grax me ayudo mucho con mi tarea de mate…

    Saludos desde guadalajara Jal.

  70. Rafael Cerezo | 25 de noviembre de 2009 | 00:17

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    Quisiera saber si existe algún programa para calcular los números vampiro. He visto en alguna web que una condición es que tengan los dos factores del producto el mismo número de digitos, con lo cual no valdría 6*21=126, pero sí 60*21=1260.

  71. María | 30 de noviembre de 2009 | 12:34

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    Quisiera saber que es un número natural inmersionista y cuáles son?

  72. Trackback | 10 dic, 2009

    Tipo de numericos | Jonéame

  73. jorge | 2 de marzo de 2010 | 23:59

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    sueño mucho el numero 29 en personas en cosas en papeles que significa

  74. jorge | 3 de marzo de 2010 | 00:00

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    si alguien me puduera ayudar se lo agaredeceria jorge

  75. melwin | 23 de marzo de 2010 | 09:23

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    Número feliz

    Los números felices se definen por el siguiente procedimiento. Empezando con cualquier número entero positivo, se reemplaza el número por la suma de los cuadrados de sus dígitos, y se repite el proceso hasta que el número es igual a 1 o hasta que se entra en un bucle infinito que no incluye el 1. Los números que al finalizar el proceso terminan con 1, son conocidos como números felices, pero aquellos que no terminan con un 1 son conocidos como números infelices.

    Definición
    Más formalmente, dado un número n = n0, se define una secuencia n1, n2, … donde ni + 1 es la suma de los cuadrados de los dígitos de ni. Entonces n es feliz si y sólo si existe i de tal modo que ni = 1.

    A continuación se muestran algunos ejemplos. 7 es un número feliz:

    72 = 49
    42 + 92 = 97
    92 + 72 = 130
    12 + 32 + 02 = 10
    12 + 02 = 1.
    Si n no es feliz la secuencia no terminará en 1, sino que entrará en un bucle infinito:

    4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, …
    Los números felices entre 1 y 500 son:

    1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490 y 496.

  76. melwin | 23 de marzo de 2010 | 09:30

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    Número transfinito

    Un número transfinito es un número cardinal o un número ordinal mayor que cualquier número natural. El término “número transfinito” fue introducido por el matemático alemán Georg Cantor.

    1 Historia y desarrollo
    2 Primeros números transfinitos
    3 Aritmética de cardinales
    4 Véase también

    Historia y desarrollo [editar]Cantor se percató de que era posible hablar de la cantidad de elementos de un conjunto infinito tal y como se habla de la cantidad de elementos de un conjunto finito. Es decir, encontró que era posible “medir” el tamaño de un conjunto infinito y, de hecho, comparar el tamaño de dos conjuntos infinitos para encontrar que el de uno era “mayor” que el del otro, y elaboró una teoría hasta cierto punto rigurosa respecto de estas ideas: la teoría de números transfinitos.

    Cantor argumentaba que el desprecio de los matemáticos por el infinito y su naturaleza se debía a un abuso de este concepto. Lo que Cantor quería decir era que el término infinito se aplicaba sin distinción a cualesquiera conjuntos no finitos, siendo que, de entre ellos, era posible tomar algunos que son, de alguna manera, medibles y de tamaños comparables. Las reflexiones y posterior estudio de Cantor acerca de todo esto comenzaron cuando, intuyendo éste algún resultado no trivial, se preguntó si era posible poner en correspondencia uno a uno el conjunto de los números naturales con el conjunto de los números reales. Pronto pudo Cantor demostrar que no existía tal correspondencia, revelando así una diferencia entre la infinitud de dos conjuntos infinitos, lo que constituyó, en definitiva, un resultado de mucho interés. Cantor probó también que, contrario a lo que pudiera pensarse, el conjunto de los números racionales, que tiene propiedad de densidad, se corresponde uno a uno con el conjunto de los números naturales.

    Es fácil dar un ejemplo de dos conjuntos que, uno teniendo todos los elementos del otro y más, se corresponden uno a uno. Tomemos, por ejemplo, a los números naturales:

    y tomemos ahora solo aquellos números que son el cuadrado de algún número natural (claramente no todos los números naturales cumplen con esta característica, por lo que se descartan muchos de ellos):

    Apenas es necesario explicar más para percatarse de que existe una correspondencia uno a uno entre y su subconjunto

    .

    Además, Cantor encontró que la medición de un conjunto (ya sea finito o infinito), puede realizarse de dos maneras: una de ellas no considera nada más que la cantidad de elementos de un conjunto, mientras que la otra toma en cuenta el orden de los elementos de un conjunto. De esta distinción surgen los números cardinales y los números ordinales, los cuales pueden ser también transfinitos. Para conjuntos finitos, estos dos conceptos son equivalentes. Sin embargo, los dos conceptos difieren en el momento de aplicarse a conjuntos infinitos.

  77. Oscar García | 1 de julio de 2010 | 22:42

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    Hola,

    Dice mi mujer, que no está de acuerdo con la definición de números felices e infelices. Sin duda, un número que no tiene que ir por la vida disociándose, elevándose al cuadrado y sumándose, puede vivir mucho más tranquilo que uno tan ajetreado…

    No?

  78. ^DiAmOnD^ | 2 de julio de 2010 | 02:49

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    Hombre Oscar, en cierto modo tu mujer tiene razón :D, pero yo no soy quien los ha definido así :).

  79. Trackback | 10 ago, 2010

    España roja…y azul. « Blog de Adalid – Asociación Cultural

  80. gauss3_14 | 28 de septiembre de 2010 | 12:16

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    Una vez oí hablar de los números separables, que son los que se pueden separar sus cifras en dos grupos que sumen lo mismo.
    A raíz de esta definición se definían los números 7-separables, que son los números “n” de forma que n es separable y también lo son n+7 y n-7.
    Saludos.

  81. josejuan | 28 de septiembre de 2010 | 13:44

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    Uhm… el problema de determinar si un número es separable o no, es NP-completo. Por tanto, una posible caracterización de los mismos “podría” llevar a una resolución (positiva o negativa) del problema P vs NP.

  82. stefa | 29 de septiembre de 2010 | 03:55

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    holaa!!! .. sera q alguien me ayuda a hacer un programa en lenguaje C sobre un numero vampiro, curioso, narcicista y amigo .. porfa lo agredeceria..!! aunq sea alguno de ellos! =)

  83. josejuan | 29 de septiembre de 2010 | 09:47

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    Enumerar los curiosos es fácil, por ejemplo

    Int64 p = 10, n = 0;
    while( n < 1000000000 ) {
    while( ++n <= p )
    if( ( n * n ) % p == n )
    /* n es curioso */;
    p *= 10;
    }

    Para ir 5 veces más rápido:

    Int64 p = 10, n = -5;
    /* el 1 es curioso */
    while( n < 1000000000 ) {
    while( ( n += 10 ) <= p ) {
    Int64 z = n * n;
    if( z % p == n )
    /* n es curioso */;
    z += ( n << 1 ) + 1;
    if( z % p == n + 1 )
    /* n+1 es curioso */;
    }
    p *= 10;
    }

    Otra forma exponencialmente más rápida que las anteriores (complejidad O(d) donde d es el número de dígitos del número curioso a obtener) sería:

    BigInteger MayorCuriosoMenorQue( BigInteger c, BigInteger N ) {
    BigInteger p = 10;
    while( c < N ) {
    BigInteger q = 10 * p;
    for( int d = 1; d <= 9; d++ ) {
    BigInteger z = p * d + c;
    if( ( z * z ) % q == z ) {
    c = z;
    break;
    }
    }
    p = q;
    }
    return c;
    }

    Que calcula los dos curiosos de exactamente 1000 dígitos decimales en menos de 1 segundo (notar que dado un curioso, si quitamos el dígito más significativo, seguimos teniendo un curioso).

    127812540013369008603488908436402387576593682197962618191783352049270419932487
    523782586714827890534489744014261231703569954841949944461060814620725403655999
    827158835603504932779554074196184928095209375302685239093756283914857161236735
    197060922424239877700757495578727155976741345899753769551586271888794151630756
    966881635215504889827170437850802843408441264412682184851415772991603449701789
    233579668499144738956600193254582767800061832985442623282725755611073316069701
    586498422229125548572987933714786632317240551575610235254399499934560808380119
    074153006005605574481870969278509977591805007541642852770816201135024680605816
    327617167676526093752805684421448619396049983447280672190667041724009423446619
    781242669078753594461669850806463613716638404902921934188190958165952447786184
    614091287829843843170324817342888657273766314651910498802944796081467376050395
    719689371467180137561905546299681476426390395300731910816980293850989006216650
    9580863811000557423423230896109004106619977392256259918212890625

    872187459986630991396511091563597612423406317802037381808216647950729580067512
    476217413285172109465510255985738768296430045158050055538939185379274596344000
    172841164396495067220445925803815071904790624697314760906243716085142838763264
    802939077575760122299242504421272844023258654100246230448413728111205848369243
    033118364784495110172829562149197156591558735587317815148584227008396550298210
    766420331500855261043399806745417232199938167014557376717274244388926683930298
    413501577770874451427012066285213367682759448424389764745600500065439191619880
    925846993994394425518129030721490022408194992458357147229183798864975319394183
    672382832323473906247194315578551380603950016552719327809332958275990576553380
    218757330921246405538330149193536386283361595097078065811809041834047552213815
    385908712170156156829675182657111342726233685348089501197055203918532623949604
    280310628532819862438094453700318523573609604699268089183019706149010993783349
    0419136188999442576576769103890995893380022607743740081787109376

  84. JOseph | 15 de octubre de 2010 | 00:01

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    alguien me puede enviar el codigo en c de los numeros poderosos??? por favor a pchtlagargola@hotmail.com…gracias

  85. josejuan | 15 de octubre de 2010 | 09:19

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    @JOseph, tu pregunta está mal formulada, ¿qué quieres de los números poderosos?, ¿generarlos?, ¿saber si uno dado lo es?, etc…

    Para generarlos, puedes tomar los primos y elevarlos a una potencia 2 o superior, luego tener en cuenta que el producto de dos poderosos es otro poderoso y ya los tienes todos.

    Para saber si un número n es poderoso, “sólo” tienes que factorizarlo y ver si todos sus factores aparecen al menos dos veces.

  86. WilsonT | 14 de febrero de 2011 | 17:33

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    he notado un detallado segimiento a los tipos de números, pero quiciera saber si ¿saben de alguna página que me hable de la historia de ellos? (en qué año surge, qué motiva su aparición, quién se encarga de hacer el estudio de estos números por primera vez, etc)

  87. josejuan | 14 de febrero de 2011 | 23:26

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    WilsonT, “Historia Universal de las Cifras” de Georges Ifrah.

  88. WilsonT | 15 de febrero de 2011 | 17:20

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    gracias josejuan ^^

  89. Dany | 9 de marzo de 2011 | 23:05

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    que hay de los numeros primos gemelos?¿? y de los numeros espejo?

  90. gaussianos | 10 de marzo de 2011 | 22:07

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    ¿Espejo?

  91. Trackback | 20 may, 2011

    Tipos de números « labitacoranet

  92. Jose Acevedo J | 1 de agosto de 2011 | 18:03

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    Hay una clase de números que no han sido mencionados aquí, se trata de los números dúos perfectos:

    un número Nq es cuasi perfecto o dúo perfecto si la suma de sus divisores propios pares es igual al número Nq.
    6 + 4 + 2 = 12

    Otra característica distintiva de los números cuasi perfectos es que sólo uno de sus divisores propios lo convierte en números abundantes, a este divisor lo denominaremos sobrante (Ds), para encontrar el número sobrante dentro de los divisores propios de un número Nq, usaremos la siguiente fórmula:
    Ds = Pm + 1

    Donde:
    Ds = divisor sobrante y Pm = primo de Mersenne.
    El divisor sobrante de 12 es 4.
    Pm = 3
    Ds = Pm + 1

    Si apartamos este número de los divisores propios de 12, la suma de los restantes será igual a 12, es decir que existen dos maneras diferentes de expresar los números Nq por medio de la suma de sus divisores propios, de aquí su otro nombre, dúos perfectos.
    12 = 6 + 3 + 2 + 1

  93. Pmat | 2 de agosto de 2011 | 18:01

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    Yo pondría también los numeros trascendentes, construibles y algebraicos que forman conjuntos entre los reales irracionales…

  94. Javier | 3 de agosto de 2011 | 04:15

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    A los números “repunit” ó “repeated unit” yo he optado por nombrarlos repetunos. Ha habido aceptación del nombre entre mis colegas profesores.

  95. JORGE LUÍS BARAZARTE SOTO | 4 de agosto de 2011 | 22:53

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    Número Estructurado: Es aquel que se forma con valores establecidos comunes a un determinado grupo, y se diferencia por dígitos finales unicos consecutivos.Por ejemplo: los Nacidos en La República Bolivariana de Venezuela(058). En el estado Aragua (04). En el municipio Girardot (01).En la parroquia Las Delicias (01).En el año 1957 (1957). En el mes de Diciembre (12). El día veintinueve (29).En una casa (008). Es gemelo (078). Grupo sanguineo A+ (04).Finalmente, fue el primero asignado,con cinco dígitos consecutivos,Obtendremos el siguiente númeron estructurado:
    058040101195712290080780400001

  96. Jessy | 16 de agosto de 2011 | 22:25

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    Hey!!!
    Faltan los números mágicos, por ejemplo 1978. Es mágico si cumple: La suma de los dos primeros dígitos con los dos últimos digitos, me dan los dos del medio !!! 19+78 = 97,hay 36 numeros de cuatro cifras que cumplen esta propiedad!! las matemáticas son geniales!!!

  97. axel antonio | 22 de septiembre de 2011 | 06:04

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    wow con esto terminare mi tarea jajaja!!!! :D

  98. lemyk balugo | 15 de octubre de 2011 | 19:13

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    Esta lista esta muy bien, ya que tiene una gran variación de definición de números, pero me consta decir que la definición de numero oblongo es el doble de un numero triangular. Si me equivoco por favor digan me lo.
    Gracias

  99. Trackback | 12 nov, 2011

    A propósito de Capicúas… « Varias Voces

  100. heinar | 21 de enero de 2012 | 22:33

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    todo es posible

  101. Kathy | 12 de febrero de 2012 | 19:43

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    muy bien esta pag

  102. Elisabeth | 20 de febrero de 2012 | 19:19

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    la pagina esta bien, pero yo necesito saber que son los numeros consecutivos, y aqui no lo explica.

  103. Carlos Federico Garcia | 21 de febrero de 2012 | 22:35

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    Números Consecutivos

    Números que siguen el uno al otro en orden, sin saltos, del menor al mayor.

    12, 13, 14 y 15 son números consecutivos.

  104. Carlos Federico Garcia | 21 de febrero de 2012 | 22:41

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    Otra definición de números consecutivos

    Un número consecutivo se obtiene sumando una unidad al anterior.

    Número consecutivo = n + 1. n es cualquier número entero.

    Son números consecutivos 2 y 3, 158 y 159.

    Números pares consecutivos
    Un número par consecutivo se obtiene sumando dos unidades al anterior número par.

    Número par consecutivo = 2n + 2. n es cualquier número entero.

    Son números pares consecutivos 4 y 6, 158 y 160.

    Números impares consecutivos
    Un número impar consecutivo se obtiene sumando dos unidades al anterior número impar.

    Número impar consecutivo = (2 · n − 1) + 2. n es cualquier número entero.

    Número impar consecutivo = (2 · n + 1) + 2. n es cualquier número entero.

    Son números impares consecutivos 5 y 7, 151 y 153.

  105. HLM | 12 de abril de 2012 | 15:53

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    El ejemplo de nùmero vampiro es incorrecto. Estos deben tener una cantidad par de dìgitos

  106. JJGJJG | 13 de abril de 2012 | 02:16

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    José, he estado mirando tus números “idénticos” para encontrar las tríadas que buscas.
    Ninguno de tus números debe ser múltiplo de 4 ya que 4xa tiene como factores, al menos, 2, 4 y a y su producto es 2x4xa = 8xa, mayor que él.
    Por tanto la tríada debe ser 4n+1, 4n+2 y 4n+3 (un par y dos impares).
    El par tiene que ser el duplo de un primo, uno de los impares tiene que ser el triple de un primo, ya que entre tres números consecutivos siempre uno es múltiplo de tres y el segundo impar será producto de dos primos.
    Con estas condiciones resulta fácil encontrar todas las ternas. Ahí van las doce que he encontrado por debajo de 1000:
    (33,54,35)(85,86,87)(93,94,95)(141,142,143)(202,202,203)(213,214,215)(217,218,219)(301,302,303)(445,446,447)(633,634,635)(697,698,699)(921,922,923).
    Tiene que haber infinitas ternas, te pongo la primera que hay mayor que 200000:
    (200137,200138,200139).

  107. Trackback | 1 may, 2012

    Diga 33 - Gaussianos | Gaussianos

  108. Trackback | 10 jul, 2012

    Los números sublimes y su relación con unos primos muy conocidos - Gaussianos | Gaussianos

  109. Trackback | 15 ago, 2012

    Tipos de números (1) « El Ábaco de Madera

  110. Cristhian Camacho | 16 de agosto de 2012 | 00:15

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    los ‘Números repunit’ tienen una propiedad interesante (que es muy obvia si se los plantea en términos de sumatorias):

    11^{2}=121

    111^{2}=12321

    1111^{2}=1234321

    \vdots

    111111111^{2}=12345678987654321

    Pero solo funciona hasta nueve unos

    pasando a otro tema, los números de la forma:

    ABCDEFGH \cdot n=HGFEDCBA menores que 100000000 ; 1<n<11
    (A, B, C \cdots pueden ser iguales entre si, por ejemplo A=B, etc)

    en que categoría entrarían?

    2178 \cdot 4=8712

    1089 \cdot 9=9801

    219978 \cdot 4=879912

    109989 \cdot 9=989901

    21782178 \cdot 4=87128712

    21999978 \cdot 4=87999912

    10891089 \cdot 9=98019801

    10999989 \cdot 9=98999901

  111. me gusto | 13 de septiembre de 2012 | 01:20

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    gracias lo necesitaba el post ok

  112. hola | 14 de septiembre de 2012 | 05:40

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    diamond y los pares y nones?

  113. gaussianos | 14 de septiembre de 2012 | 13:54

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    Es muy evidente el conocimiento de los pares y nones, por eso no los añadí :).

  114. lawi97 | 5 de diciembre de 2012 | 20:16

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    hola!! creo que te has dejado algunos tipos de números!! Aquí están:
    -Triangulares: sus componentes forman un triángulo equilátero: 1,3,7,12…
    -Cuadrangulares: lo mismo pero con un cuadrado: 1,4,9,16…
    -Pentagonales
    -Hexagonales

    -Cubo: lo mismo pero que forman un cubo: 1,9, 12,15,…
    -Piramidales: lo mismo pero con pirámides.

    -Y los factoriones: son la suma de sus cifras factorizadas: 40585=4!+0!+5!+8!+5!

  115. DCE | 6 de diciembre de 2012 | 06:16

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    Faltan los números metálicos y los números de Fibonacci.

    Metálicos:
    El más conocido y utilizado desde la antigüedad es el número de oro, ( 1,6180339887…) también llamado proporción áurea o divina proporción.
    Algebraicamente los números metálicos se definen como las soluciones positivas de las ecuaciones de 2º grado x2 – px – q = 0.
    Si p=2 y q=1, la solución positiva de la ecuación es 2,414213562373… Este es conocido como número de plata.
    Si p=3 y q=1, la solución positiva de la ecuación es 3,302775637731… Ete es el número de bronce.
    Variando el valor de p en la ecuación obtenemos los distintos números metálicos.

    Fibonacci:
    Los números Fibonacci, en matemáticas, son aquellos donde cada cifra es igual a la suma de las dos cifras precedentes: En el número 112358 1+1 =2, 1+2 =3, 2+3 = 5 y 3+5 = 8

  116. DCE | 6 de diciembre de 2012 | 06:23

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    Es una sugerencia para enriquecer el artículo que me parece muy bueno.

  117. gaussianos | 6 de diciembre de 2012 | 15:09

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    Muchas gracias a todos por vuestras aportaciones. Es cierto que faltan muchos tipos de números, pero en su momento no pude poner todos. Los comentarios enriquecen el artículo, sin duda :).

  118. Trackback | 18 abr, 2013

    Números Amigos | p-fold

  119. FireBoy_98 | 16 de septiembre de 2013 | 19:06

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    faltan muchos tipos de numeros pero gracias me hais ayudado en mi trabajo de mates :D

  120. jose | 16 de septiembre de 2013 | 20:47

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    los ‘numeros de hitler’ prohibidos en alemania en las camisetas y esatmpados

    88 18

    A=1

    H=8 lueo 18= Adolf Hitler y 88?= Heil Hitler

    jutno con el 666 uno de los mas controvesriales… :)

  121. FireBoy_98 | 16 de octubre de 2013 | 17:01

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    LoL face espero que mi profesora de mates me envie mas deberes de estos ^^
    :O

  122. Koopafan | 20 de octubre de 2013 | 17:38

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    ¿Y los numeros tiangulares(1,3,6,10,15,etc)?

  123. flkeitor | 23 de octubre de 2013 | 18:28

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    Hay ciertas parejas de números reflejos (12, 21) que elevados al cuadrado el resultado es otra pareja de números reflejos. (144, 441).
    Alguien sabe si este tipo de números recibe algún nombre especial??

  124. gaussianos | 23 de octubre de 2013 | 20:26

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    Koopafan, sí, cierto, faltan los triangulares. En realidad faltan muchos, es bastante difícil recopilar todos los tipos de números. Gracias por el aviso :)

    flkeitor, no sé si esos números tienen algún nombre especial.

  125. judei | 25 de noviembre de 2013 | 16:49

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    no veo los numeros gemelos

  126. FireBoy_98 | 4 de diciembre de 2013 | 17:39

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    como bien dice gaussianos al principio : quedan muchos numeros no le metais presion :S lo ha hecho muy bien.Tengo esta pagina en favoritos :3

  127. Text Information Processing | 20 de diciembre de 2013 | 16:14

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    La nueva aplicación Números TIP muestra el texto, en español, de los números cardinales, ordinales, fraccionarios y multiplicativos. También convierte de romano a decimal y viceversa. Admite varios formatos numéricos. Tiene ejemplos y notas aclaratorias.
    http://tip.dis.ulpgc.es/numeros-texto/
    Un cordial saludo.
    Text & Information Processing

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