Comments on: Todo número de Mersenne con exponente compuesto es también compuesto http://gaussianos.com/todo-numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/ Porque todo tiende a infinito... Thu, 09 Sep 2010 02:45:50 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: Arturo http://gaussianos.com/todo-numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/#comment-8608 Arturo Tue, 23 Sep 2008 01:21:39 +0000 http://gaussianos.com/?p=527#comment-8608 necesito demostrar si a mayor a 1 p/q mayor a r/s Entoncees (a^(p/q) -1): (p/q)mayor que (a^(r/s) -1): (r/s) necesito demostrar
si a mayor a 1
p/q mayor a r/s

Entoncees

(a^(p/q) -1): (p/q)mayor que (a^(r/s) -1): (r/s)

]]> By: M http://gaussianos.com/todo-numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/#comment-8607 M Sun, 31 Aug 2008 21:27:32 +0000 http://gaussianos.com/?p=527#comment-8607 perfecto, Asier, así es: $latex a^{2^{k+1}}-1=(a^{2^{k}}+1)(a^{2^{k-1}}+1)\ldots(a+1)(a-1)$ y en el caso $latex a=2$ no puede haber un primo impar que divida a dos factores consecutivos $latex 2^{2^{j}}+1$ y $latex 2^{2^{j+1}}+1$. perfecto, Asier, así es: a^{2^{k+1}}-1=(a^{2^{k}}+1)(a^{2^{k-1}}+1)\ldots(a+1)(a-1)

y en el caso a=2 no puede haber un primo impar que divida a dos factores consecutivos 2^{2^{j}}+1 y 2^{2^{j+1}}+1.

]]> By: Asier http://gaussianos.com/todo-numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/#comment-8606 Asier Sun, 31 Aug 2008 21:08:49 +0000 http://gaussianos.com/?p=527#comment-8606 No conocía esa propiedad, jorge. La demostración que se me ha ocurrido es: Descomponemos la expresión (resta de cuadrados): $latex \displaystyle (2^{2^n} - 1) = (2^{2^{n-1}} - 1)(2^{2^{n-1}} + 1) \quad \forall n \ge 2$ Vemos que el primer término es justamente el anterior número del tipo que estamos descomponiendo, que a su vez puede descomponerse de la misma manera teniendo al anterior como factor (el primero de todos ellos para $latex n = 1$ sería el $latex 3$). El segundo término es otro número impar que difiere en 2 del primero, con lo cual no pueden tener ningún factor común. De esta manera vemos cómo cada número de este tipo tiene todos los factores de los anteriores más los que le añada el término $latex \displaystyle (2^{2^{n-1}} + 1)$ No conocía esa propiedad, jorge. La demostración que se me ha ocurrido es:

Descomponemos la expresión (resta de cuadrados): \displaystyle (2^{2^n} - 1) = (2^{2^{n-1}} - 1)(2^{2^{n-1}} + 1) \quad \forall n \ge 2

Vemos que el primer término es justamente el anterior número del tipo que estamos descomponiendo, que a su vez puede descomponerse de la misma manera teniendo al anterior como factor (el primero de todos ellos para n = 1 sería el 3). El segundo término es otro número impar que difiere en 2 del primero, con lo cual no pueden tener ningún factor común. De esta manera vemos cómo cada número de este tipo tiene todos los factores de los anteriores más los que le añada el término \displaystyle (2^{2^{n-1}} + 1)

]]> By: Jorge http://gaussianos.com/todo-numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/#comment-8605 Jorge Sun, 31 Aug 2008 17:41:48 +0000 http://gaussianos.com/?p=527#comment-8605 Hola David, Gracias por la reseña, no obstante ¿podrías indicar la demostración? ¡Gracias! Hola David,

Gracias por la reseña, no obstante ¿podrías indicar la demostración? ¡Gracias!

]]> By: David http://gaussianos.com/todo-numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/#comment-8604 David Sun, 31 Aug 2008 16:58:54 +0000 http://gaussianos.com/?p=527#comment-8604 Es evidente la demostración, y se conoce desde hace mucho tiempo, hay este y varios teoremas relacionados en el Álgebra Superior de Hall-Knight en el capítulo correspondiente a teoría de números. Es evidente la demostración, y se conoce desde hace mucho tiempo, hay este y varios teoremas relacionados en el Álgebra Superior de Hall-Knight en el capítulo correspondiente a teoría de números.

]]> By: M http://gaussianos.com/todo-numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/#comment-8603 M Sun, 31 Aug 2008 12:47:04 +0000 http://gaussianos.com/?p=527#comment-8603 Muy bueno, Jorge. Propongo también este otro: "Demostrar que para cada natural $latex n\geq 3$, el mayor factor primo de $latex 2^{2^n}+1$ es mayor que $latex 2^{n+2}\cdot(n+1)$." Muy bueno, Jorge. Propongo también este otro:

“Demostrar que para cada natural n\geq 3, el mayor factor primo de 2^{2^n}+1 es mayor que 2^{n+2}\cdot(n+1).”

]]> By: Jorge http://gaussianos.com/todo-numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/#comment-8602 Jorge Sun, 31 Aug 2008 10:39:23 +0000 http://gaussianos.com/?p=527#comment-8602 En relación a los números de Mersenne, esto me recuerda el siguiente problema: "Sea $latex n \geq 2$ entero. Demuestre que $latex 2^{2^{n}}-1$ tiene al menos $latex n$ factores primos diferentes." En relación a los números de Mersenne, esto me recuerda el siguiente problema:

“Sea n \geq 2 entero. Demuestre que 2^{2^{n}}-1 tiene al menos n factores primos diferentes.”

]]> By: ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/todo-numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/#comment-8601 ^DiAmOnD^ Fri, 29 Aug 2008 22:17:53 +0000 http://gaussianos.com/?p=527#comment-8601 Eso se dice en la última frase del post: <blockquote>...número éste que podría ser primo o no.</blockquote> Eso se dice en la última frase del post:

…número éste que podría ser primo o no.

]]> By: M http://gaussianos.com/todo-numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/#comment-8600 M Fri, 29 Aug 2008 21:44:07 +0000 http://gaussianos.com/?p=527#comment-8600 Ramón, efectivamente $latex 2^p-1$ puede ser compuesto, aunque $latex p$ sea primo. Los primeros ejemplos se obtienen con $latex p=11, 23, 29, 37, 41, 43, \ldots$ Ramón, efectivamente 2^p-1 puede ser compuesto, aunque p sea primo. Los primeros ejemplos se obtienen con p=11, 23, 29, 37, 41, 43, \ldots

]]> By: Ramón http://gaussianos.com/todo-numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/#comment-8599 Ramón Fri, 29 Aug 2008 21:35:47 +0000 http://gaussianos.com/?p=527#comment-8599 Perdon, por un momento olvidaba que se trataba de los numeros de Mersenne. Perdon, por un momento olvidaba que se trataba de los numeros de Mersenne.

]]>