Todos los dígitos iguales

Vamos con el problema de esta semana. Ahí va:

Encuentra los números a de un solo dígito que cumplen que existe algún entero n \geq 4 tal que todos los dígitos de n(n+1) \over 2 son iguales a a.

Que se dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

15 Comentarios

  1. ¿Puede ser que no exista ninguno?.

    Si a = 1 -> n=1
    Si a = 3 -> n=2
    Si a = 6 -> n=3

    Un saludo,
    jaz

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  2. Mi respuesta es incorrecta. Lo que he respondido es n*(n+1)/2 = a pero no es lo que se pide.

    Un saludo,
    jaz

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  3. Para a = 5 se cumple con n=10 (55)
    Para a = 6 se cumple con n=11 (66) y 36 (666)

    Un saludo,
    jaz

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  4. Hasta aquí he llegado:

    n=10 n*(n+1)/2 = 55 a=5 € solución
    n=11 n*(n+1)/2 = 66 a=6 € solución
    n=36 n*(n+1)/2 = 666 , mala suerte, 6 € a la solución

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  5. Los únicos valores posibles de n(n+1)/2 módulo 10 son 0, 1, 3, 5, 6 y 8. Por lo tanto, podemos descartar para a los valores 2, 4, 7 y 9. Como 5 y 6 ya sabemos que son soluciones, queda por descubrir si son soluciones los valores 1, 3 y 8. Alguien se anima a mirar si se obtiene algo más calculando módulo 100? Apostaría a que sí, pero no tengo tiempo ahora de comprobarlo.

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  6. El ciclo es de 200, y haciendo módulo 100 en el ciclo solo son válidas 11, 55 y 66.

    El problema ahora es que hay números triangulares que terminan en cadenas de unos arbitrariamente largas, así que los módulos no sirven para descartar el 1.

    Falta demostrar si un repunit puede o no puede ser un número triangular.

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  7. Los únicos restos módulo 100 de n(n+1)/2 formados por dos cifras iguales son 11 (n = 58, 66), 55 (n = 10, 85) y 66 (n = 11, 36), aparta de 00, lo que deja sola la duda del 1. Eso si, a costa de hallar todos los restos módulo 100. Supongo que debe haber algún otro razonamiento más “económico”.

    Y lo del 1, no parece fácil de descartar por este procedimiento,. Calculando módulo 10^k, siempre hay dos valores de n que producen un resto de k unos para n(n+1)/2:

    n = 6(10^k – 1)/9 (k seises) y otro

    Por el primero ni hay de que preocuparse, pues para esos valores de n, n(n+1)/2 = 22…211…1, con k doses y k unos. Lo del otro me resulta algo más complicado de discernir.

    Pero insisto, debe haber procedimientos mejores.

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  8. Los números triangulares n(n+1)/2 módulo 10 acaban en 0, 1, 3, 5, 6 y 8. Podemos descartar 2, 4, 7 y 9. También el 0 por motivos más triviales (el único repdigit con 0 es el 0, que se escapa a lo que pide el enunciado).

    Si tomamos n=20k+r para valores enteros de k y r,
    1) Los r que generan números triangulares acabados en 3 son 1 y 17.
    1.a) Para r=1 el número triangular es de la forma (20k+1)(20k+2)/2 = 200k^2 + 50k + 3, que no puede dar resto 33 módulo 100.
    1.b) Para r=17 el número triangular es de la forma (20k+17)(20k+18)/2 = 200k^2 + 350k + 153, que tampoco puede dar resto 33 módulo 100.
    2) Los r que generan números triangulares acabados en 8 son 7 y 12.
    2.a) Para r=7 el número triangular es de la forma (20k+7)(20k+8)/2 = 200k^2 + 150k + 28, que no puede dar resto 88 módulo 100.
    3.b) Para r=12 el número triangular es de la forma (20k+12)(20k+13)/2 = 200k^2 + 250k + 78, que tampoco puede dar resto 88 módulo 100.

    Ni a=3 ni a=8 puede dar lugar a un repunit, así que también quedan descartados.

    Quedan a=5 (con el número triangular 55 como solución), a=6 (soluciones 66 y 666) y a=1.

    Este último caso es el más peliagudo. Tomando de nuevo n=20k+r, he aquí los valores r que generan números triangulares acabados en 1 y la expresión de estos en función de n:
    a) r=1 -> 200n^2 + 30n + 1
    b) r=6 -> 200n^2 + 130n + 21
    c) r=13 -> 200n^2 + 270n + 91
    d) r=18 -> 200n^2 + 370n + 171

    Igualamos estas expresiones en función de n a un repunit.
    Multiplicando los dos lados de la igualdad por 9, sumando 1 y dividiendo entre 10 quedan estas cuatro expresiones igualadas a potencias de 10, que procedo a factorizar:
    a) 180n^2 + 27n + 1 = (12n + 1)(15n + 1)
    b) 180n^2 + 117n + 19 = (3n + 1)(60n + 19)
    c) 180n^2 + 243n + 82 = (3n + 2)(60n + 41)
    d) 180n^2 + 333n + 154 = (12n + 11)(15n + 14)

    Cada uno de estos factores debe ser un número de la forma (2^p)(5^q), con p y q enteros no negativos.
    Esto permite descartar b) y c), ya que 60n+19 y 60n+41 no pueden expresarse de esa forma.
    En cuanto a las otras dos posibilidades, como 12n es obviamente múltiplo de 2 y 15n lo es de 5, no pueden serlo también 12n+1 y 15n+1. Tampoco pueden serlo 12n+11 (=12(n+1) – 1) ni 15n+14 (=15(n+1) – 1).

    Así que solamente podemos igualar así:
    a) 12n + 1 = 5^p, 15n + 1 = 2^p
    d) 12n + 11 = 5^p, 15n + 14 = 2^p
    (el exponente es el mismo, recordemos que el producto de los dos factores debe ser una potencia de 10)

    Pero si n>0 y p>0 esto no puede ser:
    a) 12n + 1 < 15n + 1,
    pero 5^p > 2^p
    d) 12n + 11 < 15n + 14,
    pero 5^p > 2^p

    Por lo que también habrá que descartar a=1.

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  9. Perdón, algunos de los n del comentario anterior en realidad son k, concretamente la parte a partir de donde expreso los n como 20k+r. De todas formas, no afecta a la resolución del problema.

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  10. afeérico

    Correción menor:
    1.a) Para r=1 el número triangular es de la forma (20k+1)(20k+2)/2 = 200k^2 + 50k + 3, que no puede dar resto 33 módulo 100.

    Lo correcto creo que es:

    (20k+1)(20k+2)/2 = 200k^2 + 30k + 1 que no puede dar resto 33 módulo 100.

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  11. Juanjo Escribano: En realidad quería decir r=2, no r=1, y el número triangular es (20k+2)(20k+3)/2, que sí da 200k^2+50k+3. Acaba en 3 pero no en 33, que es a lo que quería llegar.

    El peligro de hacer estas cosas en papel y luego pasarlas al ordenador es que es muy fácil que salgan gazapos. 😛 Gracias por la corrección.

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  12. afeérico

    Efectivamente, cometemos errores todos (incluso con copy paste y correcciones menores tambien)

    Un saludo

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  13. Esta fácil sólo hay que resolvel la ecuación cuadrática: n(n+1)/2=aaaa… Dependiendo de la cantidad de dígitos de a y de a misma si se tiene una solución entera se habrá encontrado lo requerido.

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  14. Si existe un entero:

    =>n ≥4;Por definición de lo enteros positivos

    =>-n ≤-4;Por Mulitplica de(-1) todo el sistema,entero negativo

    Se tiene que:

    =>n=- 4

    =>n.(n+1)/2;Por definición

    =>-4.(-4+1)/2;Por Sustitución n=- 4

    =>-2.(-3);Por Por operaciones aritméticas

    =>6;Por multiplicación de signos y números

    Esto quiere decir que si existe un número de un solo dígito donde a = 6

    Éxito a todos, saludo.

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  15. Si existe un entero:

    =>n ≥4;Por definición de lo enteros positivos

    =>-n ≤-4;Por Mulitplica de(-1) todo el sistema,entero negativo

    Se tiene que:

    =>n=- 4

    =>n.(n+1)/2;Por definición

    =>-4.(-4+1)/2;Por Sustitución n=- 4

    =>-2.(-3);Por Por operaciones aritméticas

    =>6;Por multiplicación de signos y números

    Esto quiere decir que si existe un entero negativo donde da un sólo dígito donde a = 6

    Éxito a todos, saludo.

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