Todos los números reales son iguales a 1

El problema de esta semana está relacionado con los números complejos y me lo propuso Carlos mediante un mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com hace ya algún tiempo. A ver si somos capaces entre todos de encontrar el error y explicarlo de una forma clara.

Primero vamos a demostrar que 1^z=1, \; \forall z\in\mathbb{C}:

1^z={(e^0)}^z=e^{0 \cdot z}=e^0=1

Hecho esto tomamos x\in\mathbb{R^+}, es decir, un número real x estrictamente positivo y hacemos los siguientes cálculos:

x=e^{log(x)}=e^{2\pi i \cdot \frac{log(x)}{2\pi i}}=(e^{2\pi i})^{\frac{log(x)}{2\pi i}}=1^{\frac{log(x)}{2\pi i}}=1

Hemos usado que e^{2\pi i}=1 y hemos aplicado la demostración inicial al número complejo z=\frac{log(x)}{2\pi i}.

Hemos llegado a que x=1, \; \forall x\in\mathbb{R^+}, resultado que evidentemente es falso. ¿Dónde está el error?

Extra: en la sección ¿Quiénes somos? se originó una discusión con un problema de este tipo hace un tiempo. La cosa comenzó exactamente en este comentario. Por si lo queréis comentar aquí y dar sugerencias.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

15 Comentarios

  1. Segun mi punto de vista z no es un complejo cualquiera, z es imaginario puro, ya que multiplicando y dividiendo por i queda z=-i log(+)/(2pi)

    Asi que está demostrado para los reales y para los imaginarios puros, pero no para cualquier complejo a + bi.

    http://www.juzamdjinn.blogspot.com

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  2. Hombre, es que en COMPLEJOS, el LOGARITMO no está unívocamente determinado, es decir, log(x)=log(x)+2\pi ki,\ \ k\in{\Bbb Z}, así a boteporrnto es lo primero que se me puede ocurrir

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  3. La propiedad a^n*a^m = a^(nm) no es válida más que para número reales.

    Con esa propiedad también se puede demostrar que 1 = -1

    1 = sqrt(1) = sqrt(-1*-1) = sqrt(-1)*sqrt(-1) = i^2 = -1

    El fallo está en que sqrt(-1*-1) no es sqrt(-1)*sqrt(-1), pues esa propiedad sólo funciona para números reales.

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  4. Diría que no se puede aplicar el primer resultado, porque estamos empleando ramas diferentes a la hora de aplicarlo (coincido en ello).

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  5. \ln 1 tiene dos valores, uno real y uno complejo: \ln 1 = 0 \land \ln 1 = 2\pi i El problema está en que la “demostración” es una forma escondida de hacer 2\pi i=\ln 1=0 \Longrightarrow 2\pi i=0 , que es falso. Si uno se fija, en un momento tenemos que $latex \displaystyle (e^{2\pi
    i})^{\frac{\ln x}{2\pi i}}= (e^0)^{\frac{\ln x}{2\pi i}} $

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  6. …, lo que es verdadero, pero no se puede sacar de allí que $latex e^{2\pi
    i*\frac{\ln x}{2\pi i}}= e^{0*\frac{\ln x}{2\pi i}} $

    **puse comentar sin querer y me quedó partido a la mitad

    Saludos

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  7. En general a^{z_1z_2} \neq {(a^{z_1})}^{z_2} siendo z_1 y z_2 complejos.

    El problema viene como dice Mithril de que \exp{2\pi i} = \exp{0} = 1 \nRightarrow 2\pi i = 0. Esto hace que no se den las condiciones necesarias para que la igualdad a^{z_1z_2} = {(a^{z_1})}^{z_2} sea cierta.

    En particular e^{2\pi i\cdot\frac{\log{x}}{2\pi i}} \neq (e^{2\pi i})^{\frac{\log{x}}{2\pi i}}.

    La falacia se encuentra en utilizar transformaciones que se asumen válidas cuando no lo son. Es como si dado un conjunto A (un anillo de matrices por ejemplo) con una operación \cdot que no posea la propiedad conmutativa utilizamos en una demostración un paso M_1 M_2 = M_2 M_1 siendo M_1 y M_2 elementos del conjunto A. El resultado será falso.

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  8. de hecho no sólo tiene 2 valores, sino INFINITOS:

    1=1(\cos(2k\pi)+i\sin(2k\pi)), luego  \displaystyle 1^z=e^{z\log(1)}=e^{z(\ln(1)+2k\pi i)}=e^{2ki\pi z} \forall k\in{\Bbb Z}, luego 1^z no es sólo 1, sino toda una sucesión de números.

    En particular, si hacemos k=1 y \displaystyle z=\frac{\ln(x)}{2\pi i} sellega a la conclusión que 1^z=x

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  9. Por ahi, hay una division por cero en el exponente.

    La prueba seria que:

    2 pi i = ln [ cos (2 pi) + i sin (2 pi) ] = ln [ 1 + 0 ] = ln 1 = 0

    dividir por 0 no esta definido (excepto en ciertos pentiums)

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  10. Para mi la clave está en que 1= e^0 no es exacto del todo, sino que como trabajamos en el campo de los complejos 1=e^{2k\pi i},  k\in\mathbb{N} , con lo cual en la primera expresión queda que 1^z=e^{2k\pi i\cdot z} donde ya se ve claro que en general (salvo casos como k=0), y dependiendo de las partes real e imaginaria de z, 1^z\not= 1

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  11. Para ser más exactos:
    Dados z=a+bi, a,b\in\mathbb R, y 1=e^{2k\pi i}, k\in\mathbb N
    Entonces:
    1^z=e^{2k\pi i\cdot z}=e^{-2kb\pi+2ka\pi i}

    Se concluye que:
    1^z=1, si y solo si:
    o (k=0),
    o (k > 0, b=0 , a \in \mathbb Z ),
    o (k > 0, b=0 , a=1/n siendo n\in\mathbb N un divisor de k)

    1^z\not=1, en cualquier otro caso

    Lo que demuestra que el error está en 1^z=1

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  12. Que coincide con lo que dice Tito Eliatron 4 comentarios más arriba

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  13. Rectifico:

    1^z=1, si y solo si:
    o (k=0),
    o (k > 0, b=0, a=m/n, siendo n\in\mathbb N un divisor de k, n\not=0 y m\in\mathbb Z)

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  1. meneame.net - Todos los números reales son iguales a 1...¿O no?... Interesante propuesta vista en Gaussianos, con una no menos interesante…

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