Trigonometría esférica en el Almagesto

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.


Introducción

El 8 de abril de 1810, estando Brianchon en Toledo (como teniente de artillería del ejército francés) escribe a Hachette lo siguiente que traduzco literalmente de aquí:

El azar habiéndome hecho caer entre las manos una edición latina del Almagesto de Ptolomeo (Almagestum, Venecia 1515), he extraido y traducido el pasaje siguiente, relativo a la Teoría de las Transversales, y que incluso contiene su principio fundamental. Como la sabia exposición de esta nueva rama de la geometría acaba de hacer época en la historia del progreso de la ciencia que, por ello, se ha enriquecido con un nuevo elemento, he pensado que sería curioso mostrar que los antiguos griegos conocieron los primeros lineamientos de esta teoría de la que hacían uso para resolver algunos problemas astronómicos.

Y sigue la traducción del pasaje del Almagesto. Cabe preguntarse qué sucedió con ese ejemplar de la primera edición impresa del Almagesto (por cierto, también en Toledo el Almagesto fue traducido por primera vez al latín, en 1175, por Gerardo de Cremona).

El principio fundamental que se menciona no es otro que el llamado teorema de Menelao, y la sabia exposicion de la teoria de las transversales sólo puede referirse a la obra de Lazare Carnot, en cuyo Ensayo sobre la teoría de las transversales se adjudica al teorema de Menelao (sin mencionar este nombre) el título de principio fundamental de la teoría.

El texto de Brianchon parece indicar que no conocía previamente la relación del Almagesto (ni de Menelao) con el teorema de Menelao, y parece que no era muy conocida entre los matemáticos de aquellos años.

Teoría.

Llamamos configuración de Menelao a la figura formada por dos segmentos (exteriores, en azul) que se unen en un vértice A, entre los que se sitúan otros dos (interiores, en verde), que parten de los extremos de los anteriores y se cortan en un punto F.

En el capítulo 13, que traduce Brianchon, del libro I del Almagesto (hacia 150 d.C.) se demuestra que:

En una configuración de Menelao, usando las letras de la figura para designar a los segmentos, y m=m_1+m_2 (igual para r_i, s_i y n_i), se cumple que:

  1. \dfrac{m}{m_1} = \dfrac{r}{r_1} \cdot \dfrac{s_2}{s}
  2. \dfrac{r_2}{r_1} = \dfrac{m_2}{m_1} \cdot \dfrac{n}{n_2}

Esta proposición es el teorema de Menelao, aplicado en uno y otro caso a los triángulos \triangle ABD cortado por la transversal EFC y \triangle EBF cortado por la transversal ADC.

Pero en lugar de un triángulo cortado por una transversal, Ptolomeo ve relaciones que dan las razones entre los segmentos de una linea exterior(/interior) en función de las razones entre los segmentos de las dos lineas interiores(/exteriores) en una configuración de Menelao.


La demostración de Ptolomeo del resultado anterior es esencialmente idéntica a la primera prueba que se da en este sitio,

A continuación, Ptolomeo demuestra el lema:

Si una cuerda GH (ver figura) es cortada en el punto K por un radio OP,

\dfrac{GK}{KH} = \dfrac{\mathrm{sen } \ GP}{\mathrm{sen } \ PH}

y usa este resultado junto con el teorema de Menelao (en el plano) para demostrar el teorema de Menelao en la esfera:

Si tenemos una una configuración de Menelao sobre la superficie de una esfera, es decir, si m,n,r,s son arcos (menores que una semicircunferencia) de círculos máximos de una esfera, entonces:

  1. \dfrac{\mathrm{sen} \ m}{\mathrm{sen} \ m_1} = \dfrac{\mathrm{sen} r}{\mathrm{sen} \ r_1} \cdot \dfrac{\mathrm{sen} \ s_2}{\mathrm{sen} \ s}
  2. \dfrac{\mathrm{sen} \  r_2}{\mathrm{sen} \  r_1} = \dfrac{\mathrm{sen} \  m_2}{\mathrm{sen} \  m_1} \cdot \dfrac{\mathrm{sen} \  n}{\mathrm{sen} \  n_2}

Obviamente Ptolomeo no usa la expresión el seno de m, que no se había inventado, sino la cuerda del doble del arco m. Pero como \textrm{cuerda } 2m = 2\ \mathrm{sen } \ m, podemos traducir las razones de cuerdas de ángulos dobles como razones de senos.

Este resultado es también la proposición I del libro III de las Esféricas (hacia 100 d.C.) de Menelao de Alejandría.

Menelao asume el teorema de Menelao para el plano como conocido y lo demuestra para la esfera de la misma forma que Ptolomeo.

Las Esféricas de Menelao, traducidas por Halley del árabe al latín en 1758, es el texto más antiguo que nos ha llegado donde se usa el que desde finales del siglo XIX se denomina teorema de Menelao, que se supone que era conocido ya por Hiparco (unos 250 años antes de Menelao) y, en su versión plana, por Euclides (400 años antes de Menelao).

Aplicación

La anterior es toda la teoría de trigonometría esférica que se usa en el Almagesto.
Además Ptolomeo ha construido previamente una tabla de cuerdas (es decir, de senos) calculando la cuerda de la suma y diferencia de dos ángulos usando el teorema de Ptolomeo.

Ptolomeo necesita la tabla de cuerdas para aplicar el teorema de Menelao sobre la esfera con valores concretos de arcos.

En el Almagesto, Ptolomeo solo necesita resolver triángulos rectángulos esféricos.

Para resolver un \triangle ABC, con ángulo recto en A, Ptolomeo prolonga los lados a,b del triángulo como en la figura hasta completar arcos CE, CF de 90^{\circ}.

Entonces C es el polo del círculo máximo que pasa por E y F, y uniendo EF con un arco los ángulos en E y F serán rectos y el arco EF será igual al ángulo \gamma de \triangle ABC.

Como los ángulos en F y A son rectos, las prolongaciones de FE y AB se cortarán en un punto D, polo de FAC, y los arcos FD y AD serán de 90^{\circ}.

Se obtiene entonces una configuración de Menelao con vértice F sobre la esfera.Y si, por ejemplo, queremos hallar la hipotenusa a, dados los catetos b,c, usamos el teorema de Menelao para obtener las razón entre los segmentos de FC en función del producto de las razones entre los segmentos de DA y CD y tenemos:


\dfrac{\mathrm{sen } (90)}{\mathrm{sen } (90-b)} = \dfrac{\mathrm{sen } (90)}{\mathrm{sen } (90-a)} \cdot \dfrac{\mathrm{sen }(90-c)}{\mathrm{sen }(90)} , es decir, \cos a = \cos b \cdot \cos c \  (1),

que es el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos esféricos.

De la misma forma, aplicando directamente el teorema de Menelao a los otros segmentos, obtenemos las fórmulas

\mathrm{sen } \ c = \mathrm{sen } \ a \cdot \mathrm{sen } \gamma \  (2), \mathrm{sen } \ b  = \cot \gamma \cdot \tan c \   (3) y \cos \gamma  = \tan b \cdot \cot a \  (4)

y de estas ultimas, por simetría

\mathrm{sen } \ b = \mathrm{sen } \ a \cdot \mathrm{sen } \beta \ (5), \mathrm{sen } \ c  = \cot \beta \cdot \tan b \ (6) y \cos \beta  = \tan c \cdot \cot a \ (7).

Ptolomeo se limita a las fórmulas anteriores, o mejor dicho a aplicar en cada caso el teorema de Menelao con valores de arco concretos, para obtener los resultados que nosotros obtendríamos usando las fórmulas anteriores.

La regla mnemotécnica de Neper

Las anteriores son 7 de las \dbinom{5}{3} = 10 fórmulas que relacionan cada subconjunto de 3 elementos del conjunto \{ a,b,c,\beta,\gamma \} de variables del triángulo.

Las otras 3 fórmulas se derivan de las anteriores (1)-(7) (dejamos esto al lector) y son:

\cos a = \cot \beta \ a \cdot \cot \gamma \ (8), \cos \beta = \cos  b  \cdot \mathrm{sen}\ \gamma \ (9) y \cos \gamma  = \cos c \cdot \mathrm{sen}\ \beta \ (10).

Estas 10 fórmulas vienen dadas por la regla mnemotécnica de Neper que dice que:

Si disponemos en un pentágono los elementos del triángulo rectángulo esférico, en el mismo orden en que aparecen en el triángulo, sustituyendo los catetos b,c por sus complementarios 90º-b,90º-c, el coseno de un elemento en el pentágono es

  • el producto de las cotangentes de los elementos adyacentes
  • el producto de los senos de los elementos opuestos.

A partir de las fórmulas para el triángulo rectángulo se pueden obtener, en no muchos pasos, otras fórmulas de la trigonometría esférica para cualquier triángulo, como el teorema del coseno para la esfera:

\cos a = \cos b \cdot \cos c + \mathrm{sen}\ b \cdot \mathrm{sen}\ c \cdot \cos \alpha

o la fórmula que nos permite obtener los lados en fúnción de los ángulos:

\cos \alpha = - \cos \beta \cdot \cos \gamma + \mathrm{sen}\ \beta \cdot \mathrm{sen}\ \gamma \cdot \cos a .

El lector puede deducir estas últimas a partir de (1)-(10), dividiendo el triángulo en dos triángulos rectángulos mediante una altura.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

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