Trigonometría visual…y elementos sobrantes

Hoy os traigo una imagen que se ha hecho bastante popular en internet durante estos días, junto con un comentario que quiero hacer sobre ella.

El primer sitio en el que la he visto es Coder Facts!, gracias a que nuestro lector y asiduo comentarista josejuan me la envió por mail. La imagen en cuestión es la siguiente:

Como digo, esta imagen ha aparecido en muchos sitios internetiles de hace uno o dos días hasta hoy, como por ejemplo en Tito Eliatron Vidit, el Tumblr de nuestro querido Tito Eliatron.

Lo que me ha parecido curioso es que apenas nadie haya dicho nada sobre lo que voy a comentar yo ahora. De hecho, el único lugar en el que he visto ese comentario ha sido en Fuck Yeah Mathematics. Bien, la cuestión es que los dos términos z^2 de la imagen no deberían aparecer, ya que la función a la que corresponde esa representación gráfica es:

f(x,y)=\cfrac{\sin{(\sqrt{x^2+y^2})}}{\sqrt{x^2+y^2}}

Podéis ver la gráfica en WolframAlpha o, mucho mejor, en Mathematica. Yo la he representado en este programa con el siguiente código:

Plot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]]/Sqrt[x^2+y^2],{x,-15,15},{y,-15,15},PlotPoints->50,ViewPoint->{0.901,2.750,1.026},AspectRatio->1]

El resultado es éste:

De todas formas tengo que reconocer que la imagen está bastante chula. Al César lo que es del César.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

13 Comentarios

  1. Yo creo que lo de la z es una coña de quien la hizo porque obviamente, fué capaz de hacer las plantillas (y por tanto conocer la función), claro que quizás alguien se la dió, copió mal la formula, etc… pero no creo.

    En cualquier caso, ¡la fórmula está bien!, símplemente que el dominio no son dos dimensiones (x,y) sino 3 (x,y,z) y la figura mostrada, sólo es la proyección de la forma cuatridimensional en z=0.

    Si representamos la cuarta dimensión con el tiempo, la figura puede verse así (animada):

    gorro animado

    A mí lo que me gustó fué el aspecto “papirofléxico”. 😀

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  2. Creo que los que os equivocais sois vosotros, la figura emplea un código de colores precisamente porque es una función de R^3 en R.

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  3. Jorgito, parece claro que dos de las componentes de entre: x, y o z representan el plano (ej. de la mesa), supongamos por comodidad que son x e y; y que el valor de la función en cada punto (de (x,y,z)) es la “altura” de la función (cuyo vector director es la perpendicular al plano anterior indicado).

    Es decir, el dominio junto con la imagen forma una superfície en R^4 (es decir, nos queda una implícita de la siguiente forma

    f(x,y,z)-u=0

    ).

    Entonces, ¿qué representa z?.

    Como variable obviamente no tiene que representar nada, lo que vemos en la foto es una proyección en R^3 del espacio en R^4 de la función original indicada. O, equivalentemente, en mi animación se puede ver directamente el objeto cuatridimensional en el que z es el tiempo.

    Pero no entiendo eso que dices de los colores…

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  4. Es cierto lo que ha comentado Jorgito, los colores son para visualizar la cuarta dimensión. A cada tono de color se le asigna números, y asi cuando ves un punto de la figura, no solo ves las coordenadas x e y, sino que el color te indica el valor de w (cuarta coordenada). Obviamente lo de los colores no es una representación matemática exacta (igual ningun grafico lo es exactamente), pero permite darte una idea del objeto en cuatro dimensiones. Es como cuando ves un mapa de la tierra, por medio de colores te indican la altura (la elevación del terreno), y por consiguiente te transmiten de alguna forma información tridimimensional. Esto mismo se puede usar en 3 dimensiones para ver conjuntos de cuatro dimensiones. En física por ejemplo, para graficar los gradientes de temperatura, se usa esta representación de colores para ver la función T:R^3—>R de temperatura.
    En conclusión, el que lo hizo sabía lo que hacía.

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  5. Pues yo discrepo, es decir, o no entiendo el razonamiento de los colores, o el razonamiento es incorrecto.

    La imagen que vemos es claramente (lo intento pero no veo mi error si lo hay) una proyección de la superfície en R^4 sobre R^3 dejando fija z (u otra entre x e y, vaya), por tanto, si el color representa el valor de z, ¡el color que deberíamos ver sería constante!.

    Por ejemplo, supongamos que variamos z como función de x e y (vaya, que en lugar de proyectar sobre el plano (x,y,u) o eq. z=0, lo hacemos sobre otro plano o superfície) entonces tendríamos una imagen como la siguiente:

    gorro 2

    en el que el cizallamiento es real. Dicho de otra forma, si la proyección “papiroflexada” no es sobre z=K (y por tanto todo color de z es constante) entonces, la proyección no genera círculos (y en la imagen se ve que sí son círculos).

    También puede ser que la escala del degradado es muy pequeña respecto los otros ejes (es decir, z varía muy poco aunque los colores sí lo hacen), pero ésto, es “casi” tanto como hacer z=K y sería como “falsear” el resultado.

    En fin, es costumbre que esté equivocado, pero no me cuadran los colores que se ven.

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  6. A lo mejor esto es una chorrada, pero ¿podría z representar el color? Cada curva está pintada de un color distinto, quizás tiene algo que ver…

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  7. Yo creo que el color solo indica la cota z, ya que varía con la altura más que con la curva, y en ese caso la superficie es la proyección de la función escrita, ahora me ha entrado el gusanillo de representar cuperficies con este método jejeje

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  8. Saludos a todos, no he podido evitar ver el problema del valor “z” de la función.Para mi razonamiento Jose Juan tiene toda la razon,en el dominio de una función matemática como de este tipo,no rigen en las variables “x, y, z” nada más que no sea la representación espacial de los valores resultantes que da la función.
    Y como ha dicho, z=0,no interviene nada del color.

    Alomejor soy yo que me equivoco,dada mi corta experiencia universitaria matemática(cursando en este momento),pero no he visto nunca una función f(x,y,z) donde una variable represente el color.Si encontrais alguna,quisiera verla enserio(aunque mi razonamiento me diga al 100% que no existe jaja),de temas tan rebuscados siempre se puede aprender algo ;).Un saludo!

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  9. MarioB,

    “…no he visto nunca una función f(x,y,z) donde una variable represente el color…”

    los mapas de nivel usados desde hace más de 40 años o más recientemente los mapas de temperatura que nos muestran en los telediarios son la representación de superfícies en R^3 en las que una de las componentes (altura o temperatura en mis ejemplos) son indicadas mediante el color. Ambos ejemplos pueden ser obtenidos comom funciones implícitas f(x,y,z)=K

    El problema en este caso no es, que se use el color, sino que no veo cómo se está usando.

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  10. Pues te doy la razón después de todo JoseJuan… con lo que me comentaste lo pense bien y no encontre forma de como se puede estar usando el color adecuadamente. Cuando vi la representación con curvas de distintos colores lo primero que pense es que este se usaba para reprensentar la cuarta dimensión como aquí:
    http://www.rdrop.com/~half/Creations/Puzzles/visualizing.4D/index.html
    Sin embargo analizandolo bien es cierto que la imagen no se corresponde con lo que debería mostrar si z reprensenta el color. Sin embargo el que yo no vea como se puede estar usando no significa que el que lo hizo no tuvo en cuenta esta detalle y de alguna forma este usando el color… o simplemente se equivoco y el color es adorno. En cualquier caso habría que localizar al autor y preguntarle que es lo que quiso decir. Pido disculpas por mi otro comentario.

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  11. No os enteráis. Primero, se ve claramente que la función que quiere representar es f(x,y) en dos variables como dice el post, que es esa exactamente.

    Además, si usáramos los colores, A CADA punto de R^3 se le daría un color para representar su imagen f(x,y,z), y curiosamente, sólo tienen color los puntos de la gráfica f(x,y) del post.

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  12. No manuel, lo que pense inicialmente es que la funcion es que el tradicional eje z, es en realidad el eje w en la cuarta dimension, y la función toma valores (x,y,z) donde x,y son los del plano y z es el color. Pero tal como me indico JoseJuan si asi fuera no debería tener esa forma, sino que los circulos no serían tan regulares, a no ser claro que el gradiente del color varie poco, pero en ese caso es medio “trucha” la gráfica es casi igual a si hicieramos z=cte. En cualquier caso no se puede estar seguro… habria que realizar con algún programa la gráfica que digo y ver si con algún codigo de colores queda algo parecido a la imagen presentada.

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