Un ejemplo de lo peligroso que es la dependencia de la regla de L’Hopital

En matemáticas, en la medida de lo posible, conviene saber realizar ciertos cálculos básicos de varias formas distintas, porque aunque en muchas ocasiones podemos salir del paso sabiendo un único método puede haber momentos en los que nos encontremos algún caso especial para el cual dicho método no sea suficientemente efectivo.

Guillaume de l'HôpitalUn ejemplo muy típico es la resolución de sistemas de ecuaciones. Los primeros sistemas de ecuaciones que se enseñan en secundaria son los lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas, para los que se proporcionan tres métodos de resolución: sustitución, igualación y reducción. Lo que hay que evitar es lo que ocurre en muchas ocasiones, que es que el alumno se acostumbra a resolver todos los sistemas con un único método, ya que eso provoca que cuando se encuentra con otros tipos de sistemas (lineales de orden mayor que 2, no lineales…) intente resolverlos también por ese método, y en muchos casos puede que no sea conveniente.

Y otro ejemplo son los límites, y concretamente los que son susceptibles de resolverse con la regla de L’Hopital. Pero antes de meternos con el ejemplo vamos a dar un enunciado de dicha regla sin alguno de los detalles formales necesarios y adaptado a la situación que vamos a tratar después, que será un límite cuando x \to \infty (para mayor profundidad podéis consultar este completo pdf de Camilo Aparicio del Prado):

Regla de L’Hopital:

Sean dos funciones f(x) y g(x) definidas en un intervalo I=(a, \infty ], tales que son derivables en dicho intervalo y además g ^\prime (x) \ne 0, \; \forall x \in I.

Si se cumple una de las dos condiciones siguientes:

  • \displaystyle{\lim_{x \to \infty} f(x)=\lim_{x \to \infty} g(x)=0}
  • \displaystyle{\lim_{x \to \infty} g(x)= \pm \infty}

Entonces existe un número real tal que para x mayor que él se tiene que g(x) \ne 0. Además, se verifica la siguiente condición:

\mbox{Si } \displaystyle{\lim_{x \to \infty} \cfrac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)}= L \in \mathbb{R} \Rightarrow \lim_{x \to \infty} \cfrac{f(x)}{g(x)}= L \in \mathbb{R}}

Y si el cociente de las derivadas diverge positiva o negativamente, el cociente de las funciones también lo hace.

Esto es, si se cumplen las condiciones iniciales podemos encarar el cálculo del límite inicial derivando numerador y denominador de forma independiente y viendo cuál es el valor del límite del cociente de las derivadas, ya que ese valor, si existe o es \pm \infty, sera el de nuestro límite. Además, mientras esas condiciones se sigan cumpliendo podemos seguir aplicando la regla de L’Hopital a los cocientes obtenidos en cada caso si la situación lo requiere.

En particular, la regla de L’Hopital se puede aplicar en límites que inicialmente dan indeterminación 0 \over 0 o \infty \over \infty. El problema es que mucha gente considera a la regla de L’Hopital como el único método para resolver dichas indeterminaciones. Y no me refiero a que sea el único que conozcan, sino a que es el único que aplican, sin pensar en ningún otro.

Esto podría no ser una mala estrategia, pero en realidad sí lo es, ya que hay límites que dan esas indeterminaciones en los que la regla de L’Hopital es totalmente inútil. Ciertos límites que involucran a funciones trigonométricas pueden ser buenos ejemplos de límites que con cada aplicación de la regla de L’Hopital se convierten en más y más complicados, pero hoy os traigo un ejemplo más curioso que he encontrado en este hilo de los foros de Rincon Matemático. Ahí va:

Calcular el siguiente límite:

\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \cfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}}

Como obtenemos la indeterminación \infty \over \infty procedemos utilizando la regla de L’Hopital:

\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \cfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}=\lim_{x \to \infty} \cfrac{\frac{2x}{2 \sqrt{1+x^2}}}{1}=\lim_{x \to \infty} \cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=}

Volvemos a obtener \infty \over \infty, por lo que aplicamos L’Hopital de nuevo:

\displaystyle{=\lim_{x \to \infty} \cfrac{1}{\frac{2x}{2 \sqrt{1+x^2}}}= \lim_{x \to \infty} \cfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}}

Y aquí a más de uno le explotaría la cabeza al ver que después de aplicar la regla de L’Hopital un par de veces obtenemos de nuevo el límite inicial, por lo que si continuáramos el proceso se convertiría en un bucle infinito del que no obtendríamos nada.

Por ello conviene conocer más métodos para resolver este tipo de límites. En este caso la opción más sencilla es, posiblemente, la introducción de x en la raíz para después comparar los grados de los polinomios o simplificar directamente:

\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \cfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}=\lim_{x \to \infty} \sqrt{\cfrac{1+x^2}{x^2}}=\lim_{x \to \infty} \sqrt{\cfrac{1}{x^2}+1}=\sqrt{0+1}=1}

Y por si alguien quiere ser malvado y proponer como ejercicio un límite de este tipo quizás le interese que esta situación se da para los cocientes de funciones f(x) \over g(x) tales que f(x) f^\prime (x)=g(x) g^\prime (x).


Imagen tomada de aquí.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

21 Comentarios

  1. Creo que hay una errata en la segunda condición cuando enuncias la Regla de L’Hopital, falta también la f.

    Cuando explico esto, hago hincapié en el caso de que si tras aplicar la regla de L’Hopital nos sale un límite que no existe (en R ni es + o – infinito), entonces no significa que nuestro límite original no exista, puede que sí… Aunque no se me ocurre ningún ejemplo donde esto ocurra, pero podría suceder.

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  2. En este caso, la regla de L’Hôpital sí que nos da la solución. L’Hôpital nos dice que el límite de F(x) es igual al límite de 1/F(x), así que ese límite tiene que ser 1. ¿O no?

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  3. Christian, no, no hay ninguna errata. Echa un vistazo al pdf que enlazo en el post y verás como la condición es como la he escrito.

    Germán Fernández, sí, tienes razón. Pero apuesto a que alguien que usa solamente la regla de L’Hopital no caería en ese detalle.

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  4. Curiosamente en primero de carrera de ingeniería industrial, en la asignatura de cálculo infinitesimal nos prohibían usar L´Hopital para calcular límites. Teníamos que utilizar otros métodos, sobre todo el de las equivalencias.

    La argumentación era que para usar L´Hoptial teníamos que demostrar primero que se cumplían las condiciones y eso era más costoso que utilizar otros métodos.

    La verdad es que cuando nos enseñaron las equivalencias me empecé a preguntar porque no ensañaban un método tan sencillo en el bachillerato.

    Saluditos
    Hegoi

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  5. A lo que dice Germán habría que añadir que con eso se tendría que el límite, en caso de existir, valdría 1. Pero claro, faltaría comprobar que ciertamente el límite existe, cosa que no se deduciría directamente de dichas cuentas (o eso creo).

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  6. Haciendo una simple inspección, se deduce que el límite es “1”, ambos crecimientos (numerador y denominador) son practicamente iguales, solo difiere un 1 en el numerador que en el infinito se desprecia. A veces es bueno medir así, nos da una noción de como progresa la sucesión.

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  7. En general en mi facultad nos enseñaron a no depender tanto de L’Hopital, nos enseñaron a usarlo en cada caso y como llevar distintos tipos de indeterminaciones a las mencionadas y aplicar la regla, pero siempre nos dijeron que si existía la posibilidad de resolverlo sin aplicar L’Hopital seria mejor que lo hagamos… Creo que en general uno se mal acostumbra y termina dependiendo de la regla, y muchas veces la termina aplicando mal (como me ocurrió varias veces a mi y muchos compañeros de facultad)

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  8. Cuando estudiaba ingeniería eléctica en la Universidad de Carabobo, la prof. Glenda Arocha me enseñó a usar, además de los métodos antes descritos, la regla basada en el orden de los grandes números; para indeterminaciones bajo las condiciones anteriores, pero solamente las de tipo   \tfrac{\infty}{\infty} .

    Si  \underset {x \to \infty} {L \acute{\imath}m} \tfrac{\sqrt{1 + x^2} }{x} = \tfrac{\infty}{\infty} ; dividiremos a  f(x) = \sqrt{1 + x^2} , y a  g(x) = x , entre la x de mayor grado: ”  x “;
    quedándonos
     \underset {x \to \infty} {L \acute{\imath}m} \tfrac{\sqrt{\tfrac{1}{x^2} + \tfrac{x^2}{x^2} } }{\tfrac{x}{x}} = \tfrac{\sqrt{0 + 1} }{1} = \tfrac{1}{1} = 1
    luego
     \underset {x \to \infty} {L \acute{\imath}m} \tfrac{\sqrt{1 + x^2} }{x} = 1  ;

    Me contenta el hecho de que posts como este, además de permitirme leer las opiniones de muchos sobre temas que me parecen tan interesantes, me traigan al presente recuerdos de aquellos tiempos de estudio; aun cuando hoy ya han pasado años desde que decidí abandonar la carrera de ingeniería y dedicarme a mi profesión de docente en música.

    Por cierto, acabo de aprender a escribir estas funciones matemáticas en Latex gracias a la ayuda que trae anexa esta página. Les invito a intentarlo quienes no lo hayan hecho y gusten, ya que es muy sencillo.

    Saludos!

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  9. Siempre es recomendable hacer manipulaciones algebraicas antes de aplicar nada.

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  10. En realidad se llama “Regla de l’Hôpital-Bernoulli”.
    Sugiero que cambien el titulo a “Un ejemplo de lo peligroso que es la dependencia de la regla de L’Hopital-Bernoulli” para ir haciendo conciencia y dar reconocimiento a Johann Bernoulli.

    Pero, ¿sería atrevido empezar a llamarla “Regla de Bernoulli-Hôpital”? Creo que es lo justo 😛 haha (y por si las moscas, no se lo tomen a mal :P)

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  11. La regla de L’Hopital conviene usarla en límites cuando se verifican las hipótesis del teorema y siempre que el límite resultante al aplicar la citada regla sea más fácil que el inicial o que el resultante nos lleve a un callejón sin salida( por ejemplo con ciertos limites trigonometricos que nos llevan a limites con seno y coseno cuando la x tiende a infinito y el limite no se puede calcular con L’Hopital pero sí con unas manipulaciones algebraicas).También es conveniente poner el neperiano en el numerador y si acaso el limite no es facil calcularlo pues lo calculamos con un desarrollo de Taylor.

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  12. En realidad sólo dice que si existe P => existe Q, pero no dice nada cuando P no exista, donde P y Q son proposiciones.

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  13. En realidad el límite \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}no existe, en la muestra se olvidaron que \sqrt{x^2}=|x|, mas el límite \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}=1 y \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-1

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      • Creo que a lo que se refiere Carlos es a la errata que aparece de \infty en lugar de +\infty, bajo el límite. Si se es quisquilloso con el tema, \infty no es lo mismo que +\infty, como resultado de algún límite. En el primero, los límites laterales pueden ser distintos (+\infty y -\infty), mientras que en el segundo, los dos límites laterales deben ser +\infty. Aunque no sé si es muy utilizado este convenio para distinguir \lim_{x \to \infty}f(x) de \lim_{x \to +\infty}f(x).
        Por otro lado, es interesante la ecuación diferencial que se plantea, para obtener límites los cuales no se pueda aplicar L’Hopital. Habría que resolver, dado f conocida, gg'=ff' para la g

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