Un juego

Os voy a proponer un juego matemático, es un poco chorra y seguramente lo sepáis todos, pero por lo menos nos divertiremos un rato. El juego es el siguiente:

Estáis en un concurso, tipo Allá tú, hay 3 cajas: dos de ellas contienen premios malos (1€ y10€), y la otra un buen premio (600.000€). Así que el presentador os hace elegir una caja, vosotros lo hacéis como buenos concursantes, y acto seguido el presentador os muestra el contenido de una de las cajas que no habíais elegido, dentro de dicha caja estaba el premio de 1€, y ahora os pregunta:

¿Quieres cambiar tu caja?

¿Qué haríais?

Contestad sin miedo, solo tenéis que decir sí o no, no pongáis ninguna explicación, porque fastidiaríais el juego a los demás.

Como veo que ya habéis puesto muchas soluciones, os voy a dar la solución.

La solución al juego

Este jueguecillo, que en realidad es un problema básico de probabilidades y parece ser que se llama el problema de Monty Hall (en honor a un juego Estadounidense).

La solución correcta es cambiar de caja. ¿Por qué? Os preguntaréis.

Vamos a analizar el problema. Tenemos tres cajas, de las cuales elegimos una, y acto seguido el presentador nos abre “una mala”, y nos pregunta si queremos cambiar nuestra caja por la otra que queda.

Analizando matemáticamente el problema, vemos que tenemos al principio con tres cajas una probabilidad de elegir una caja mala de 2/3 (66′67%) y 1/3 (33′33%) para elegir la buena, pero que al quitarnos una caja el presentador la probabilidad se queda en un 50% de que nuestra caja sea la buena o no, dándonos igual cambiarla o no. Pero aquí llega el quid de la cuestión, y es que este planteamiento es totalmente incorrecto, ya que en la primera elección teníamos bien calculadas las probabilidades en la segunda elección no es así.

En la primera elección tenemos dos opciones, elegir la caja buena o una mala:

  • Hemos elegido la buena: Tenemos una probabilidad de 1/3 de que esto ocurra, si es así el presentador puede abrir cualquiera de las dos cajas, y si cambiamos que es la solución correcta perderemos el premio bueno.
  • Hemos elegido una mala: Tenemos una probabilidad de 2/3 de que esto ocurra (es más probable esta situación que la otra), si es así el presentador sólo podrá abrir la otra caja mala (que queda), y por tanto cambiar de caja nos haría quedarnos con el premio bueno. Esto ocurre porque lo que muestra el presentador no afecta a tu elección original, sino sólo a la otra caja no escogida. Una vez se abre una caja y hay un premio malo, esa caja tiene una probabilidad de cero de contener el premio bueno, por lo que deja de tenerse en cuenta. Y como las dos cajas juntas tenían una probabilidad de 2/3, cada caja tiene una probabilidad de 1/3, de tener el premio bueno y una tiene al descartarse tiene una probabilidad de cero de tener el premio bueno, la otra debe tener una probabilidad de 2/3.

Con esto podemos ver que es mejor cambiar de caja, aunque obviamente corremos el riesgo de equivocarnos y no confiar en nuestra grandiosa suerte, por esto no tenemos un 100% de probabilidad de acierto. Espero que se me haya entendido bien.

Esta solución también se puede demostrar mediante el Teorema de Bayes. Y como no tenéis más información sobre el problema en este artículo de la wikipedia.

Autor: fran

15 Comentarios

  1. Yo no la cambiaría, porque soy así de cabezón… pusieron el mismo problema hace tiempo en 86400.

    Lo dicho, soy así de cabezón.

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  2. qwerty solo quedan dos cajas así que se cambiaría por la que no tienes ;) y no hace falta que veas allá tú, sólo era un simil.

    Lek nunca he leído 86400, porque es un blog que no hace vías y me parece un poco mamoncete por eso, y este problema es típico en Estadística, así que es fácil que haya aparecido en cualquier sitio.

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  3. La primera vez que vi esto en internet fue en JaviMoya, dónde el hilo se piró a unos cuantos cientos de comentarios (como todos en el blog del señor Moya).

    Respecto a la caja, yo la cambiaría pero porque conozco la respuesta (también lo vimos en clase). Pero por intuición te diría que da igual, siempre me equivoco.

    En Wikipedia hay montones de estos ejercicios, muy diver todos.

    Y, en plan offtopic, podéis creer que cuando alguién pone un comentario en 86400 avisando de que se les ha “olvidado” poner la vía los tíos editan el comentario para borrar esa parte y siguen como si tal cosa.

    ¡Menos mal que esas cosas no pasan aquí!

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  4. Esas cosas no pasan en ningún blog en el que las personas encargadas de mantenerlo sean mínimamente coherentes. Si te crees que por no citar las fuentes la gente va a pensar que los vídeos los has grabado tú, las noticias las has generado tú o las imágenes las has hecho tú es que no estás muy bien. Pero bueno, cada uno que apechugue con sus actos.

    Respecto al post yo también la cambiaría, y también sé la respuesta. Yo también vi este jueguecito en el blog de Javi Moya, pero ya lo había visto antes en el libro El curioso incidente del perro a medianoche, libro que por cierto recomiendo a tod@s :) .

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  5. Igual es que tienen la idea de que no hablar de algo hace que ese algo no exista… como el gobierno xDDDDD

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  6. Yo también la cambiaría.

    Conocí este problema a través del genial libro: El laberinto mágico, de Ian Steward. Muy muy recomendable para todos aquellos que se pregunten qué son las Mates.

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  7. Por cierto, una cosa que no has dicho: es fundamental para el juego que el presentador sepa qué premio hay en cada caja, ya que si no podríamos haber elegido una mala y el presentador podría abrirnos la buena. Es un pequeño detalle pero es importante.

    Saludos :)

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  8. Hay un problema con este problema dado que en “Allá tú” si escoges una caja es para eliminarla por lo que si quedan 3 cajas y el presentador elimina una de las otras 2, ¡tu premio es la que no escogiste!
    Por lo tanto la respuesta correcta es NO cambiarse de caja (pero solo por las reglas del juego, el análisis es correcto).

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  9. El problema del monty hall es una estafa. Una vez se ha abierto una de las cajas, las probabilidades de que hayas cogido la caja buena aumentan ya que sabes que en esa caja no está el premio gordo.

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  10. Llamemos A, B y C a las tres cajas.
    Yo elijo la A.
    Me enseñan que en otra hay 1 euro.
    Casos posibles al empezar:
    600000, 10, 1
    600000, 1, 10
    10, 600000, 1
    10, 1, 600000
    1, 600000, 10
    1, 10 600000
    Después de elegir y enseñarme el contenido de una caja veo que en realidad solo existen los primeros cuatro casos luego mi probabilidad de ganar es del 50% tanto si cambio como si no.

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