Un jugador con la misma altura

Vuelven los problemas semanales a Gaussianos. Ahí va el de esta semana:

En un torneo de baloncesto participan 25 equipos. Los 5 jugadores de cada equipo son de altura diferente y cada pareja de equipos coincide en la altura de un solo jugador. Se pide demostrar que los 25 tienen que tener necesariamente un jugador de la misma altura.

El problema lo propuso Joaquín García-Escudero en la lista de Snark. Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. Así pensado rápido creo que se puede refinar a 22 equipos.

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    • Será que es un número impar de equipos, y si tiene que cumplirse el enunciado…. Al ir emparejando equipo con equipo, se queda uno colgado…. Con lo que la única opción posible es que los 25 equipos tengan un jugador cada uno el cual mide lo mismo que el homólogo de cada uno de los 24 equipos restantes.

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  2. Doy un esbozo de mi argumento. Lo pruebo para 22 equipos y se extiende con los mismos argumentos para más de 22.

    Tomemos un equipo (llamémosle equipo A) y agrupemos en clases cada uno de los 21 restantes, en función de la altura común que comparten con el equipo A. Claramente hay a lo sumo 5 clases (sean V W X Y Z) y por principio del palomar hay una clase con al menos 5 equipos (supongamos que sea V la que tiene la máxima cantidad de equipos).

    Cada uno de los equipos de V comparte una altura distinta con un equipo fijo de Z (si compartiesen una altura igual esos dos equipos de X tendrían dos jugadores de igual altura). Pero esto no es posible, puesto que V tiene al menos cinco equipos y cada equipo de Z tiene sólo cuatro alturas disponibles (la común a los de Z no vale). Entonces Z no puede contener ningún equipo.

    Basta hacer lo mismo cambiando Z por W X Y para deducir que ninguna de esas clases tiene equipos y por tanto V tiene 21 equipos lo que prueba el enunciado.

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    • Lástima que no esté ahora la opción de “me gusta” en los nuevos comentarios, daniel, porque sin duda te lo habría mandado.

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      • He tenido que eliminar algunos plugins, y el de “Me gusta” a los comentarios fue uno de ellos. Si en algún momento puedo lo volveré a instalar.

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    • Entiendo que los distribuyes en clases en función de con qué jugador comparten altura (el grupo V es el que tiene un jufador que comparte altura con un jugador concreto de A).

      Si esto es así, ¿por qué puedes poner en cada clase los equipos por el principio del palomar? ¿Por qué debe V contener al menos 5 equipos?

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      • Yo tengo 22 equipos inicialmente. Cojo uno cualquiera y le llamo equipo A y a sus jugadores a_1, a_2, a_3, a_4, a_5. Me quedan 21 equipos y sé que cada uno de esos 21 equipos coincide en la altura de un jugador y sólo uno con la altura de un jugador de A. Como A tiene 5 jugadores y cada uno de los 21 equipos tiene una coincidencia de altura con un jugador de A uno de los 5 jugadores de A comparte altura con al menos otros 5 de otros equipos (fíjate que si eso no fuese así, todos los jugadores de A tendrían a lo sumo 4 coincidencias, y al haber 5 jugadores en A habría sólo 20 coincidencias en total; lo que es imposible).

        Además las clases están bien definidas pues en cada equipo distinto a A hay un y sólo un jugador que coincida en altura con alguno de A.

        Espero haberlo aclarado, pero si todavía no estás convencido no dudes en preguntar!

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  3. Hace un tiempo di con un problema muy similar, al recibir de regalo un juego de cartas infantiles para mi hijo. Cada carta (circular) tiene 8 dibujos. Y cada par de cartas del mazo comparten un único dibujo. El juego consiste en buscar y encontrar rápidamente el dibujo que comparte cada par de cartas. El que la encuentra primero se la lleva, y gana el que junta más cartas. El mismo planteo, con equipos por cartas y alturas por dibujos.
    Por curiosidad, nos preguntamos cuál era el número máximo de cartas que se pueden construir con estas condiciones (un y sólo un dibujo en común en cada par de cartas), si cada carta tuviera $N$ dibujos (en los equipos, $N=5$, y en las cartas $N=8$). La fórmula general a la que llegamos es $N_{cartas}=N*N(-1)+1$. Para $N=5$, se llega a 21 cartas. Por lo que, como Daniel plantea, alcanza con 22 para que esa fórmula y ese planteo fallen.
    Lo que no tuvimos en cuenta es esta otra solución, que también satisface las condiciones del problema, con un único dibujo compartido por todas las cartas. Claro, esta solución no tiene número máximo de cartas, ¡pero sería muy aburrido de jugar!
    Con esto, al planteo del problema de las cartas deberíamos agregarle “¡y que sea divertido!”, para que tenga sentido. ¿Cierto?

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