Un nuevo intento “serio” de demostración de la conjetura de Goldbach…que tampoco se sostiene

Hace tres días apareció en arXiv un nuevo trabajo que, según su autor, contiene una demostración de la veracidad de la conocidísima conjetura de Goldbach. No es la primera vez que una supuesta demostración de que esta conjetura es cierta aparece en internet, y seguro que tampoco será la última. Pero quizás sea interesante detenerse a analizar ésta, ya que proviene de un profesor de la Universidad de Roma “La Sapienza”, que pasa por ser la mayor universidad de Europa en número de estudiantes.

Agostino PrástaroEl documento se titula The Goldbach’s conjecture proved (como veis tiene un título bastante descriptivo de lo que se supone que contiene) y su autor es el profesor Agostino Prástaro (a quien podéis ver en la imagen de la derecha), de la sección de Matemáticas del Departamento de Ciencias Básicas y Aplicadas a la Ingeniería de dicha universidad, cuya investigación en matemáticas (según su web) está relacionada principalmente con la Geometría de las Ecuaciones en Derivadas Parciales, la Geometría Algebraica, la Topología Algebraica y otros temas relacionados. El trabajo fue subido el pasado 13 de agosto y revisado el 14.

Me enteré de la existencia de este intento de demostración de la conjetura de Goldbach a través de este tuit de @MathUpdate:

pero si os digo la verdad no le di demasiada importancia, a pesar del “Parece de fiar”. El caso es que más tarde este otro tuit de @AngelBlascoMuoz

me recordó el asunto y me “obligó” a leerme el trabajo del profesor Prástaro…

…y mi conclusión es que este trabajo no contiene una demostración correcta de la veracidad de la conjetura de Goldbach. Una lástima, aunque no voy a negar que era lo que esperaba.

La primera de las cuestiones que quiero comentar de este trabajo ya valdría para echarlo por tierra completamente. Veamos el abstract:

¿Cómo que en este paper consideramos al 1 como número primo? El 1 no es un número primo, por lo que no se le puede considerar como tal. Cuando vi esto estuve a punto de dejar de leer, pero continué con la esperanza de que esta consideración no fuera demasiado importante en el desarrollo de la demostración…pero por desgracia sí lo es. Por ejemplo, el paper contiene un resultado donde se asegura que cierto subgrupo multiplicativo de \mathbb{Z} tiene algún número primo entre sus elementos, y la demostración que se da es que el 1 siempre pertenece a este subgrupo (hecho que es cierto). Por tanto, como me temía, la consideración del 1 como número primo es fundamental en este trabajo. Mal empezamos.

Pero hay alguna cosa más. Echemos un ojo a este párrafo:

Uhmmm…¿la única descomposición de 2n como suma de dos primos es ésa? ¿Cómo va a ser eso posible si ni siquiera son primos esos dos términos? De hecho son ambos pares, y además obligatoriamente uno de ellos debe ser positivo y el otro negativo.

Y hay más cosas. Por ejemplo, una buena cantidad de teoría de anillos e ideales que bajo mi punto de vista es innecesaria casi en su totalidad para el resto del trabajo. O los últimos lemas antes de “demostrar” la conjetura de Goldbach como un colorario de los mismos, que sinceramente no quedan nada claros (al menos a mí me chirrían bastante). Seguro que vosotros encontráis más detalles extraños. Os animo a comentarlos si es así.

Como decía al principio, no es el primer intento de demostración de la validez de la conjetura de Goldbach ni será el único (por aquí ya he comentado algún intento de los muchos que me han llegado al mail). Pero este caso me parece especialmente grave, ya que se trata de un profesor universitario. Los intentos de demostración que yo he recibido son en su mayoría (si no todos) propuestas de demostración de gente autodidacta, y en muchas ocasiones presentan problemas en el propio proceso de demostración (y múltiples errores en sus deducciones). Pero, como digo, este caso es mucho más preocupante, porque no creo que se trate de ninguna broma (estamos en agosto, ¿verdad?), ya que el propio Agostino Prástaro ha actualizado ya la sección de su página dedicada a Publicaciones añadiendo este trabajo. Quizás al profesor Prástaro le vendría bien echarle un vistazo al post Algunos resultados camino de la conjetura de Goldbach que Rafael Tesoro escribó para Gaussianos hace unos meses para estar al tanto de los avances en el tema y las líneas de demostración que se están siguiendo en la actualidad.

Pero bueno, también es cierto que los intentos siempre aportan algo, aunque sólo sea descartar argumentos incorrectos. Por ello yo sigo animando a todo el que esté interesado en el tema a que estudie el asunto, a que investigue y a que, por qué no, lo intente. Porque, hoy más que nunca, ¿quién no tiene una demostración de la conjetura de Goldbach?.


Justo antes de publicar este post le he dado un nuevo vistazo a la web de Prástaro y he encontrado esta joya de párrafo:

By means of the Algebraic Topology of PDE’s some fundamental problems (some Millennium Problems) in Mathematics are solved. More precisely, solutions for the following problems: 1) Poincaré conjecture, 2) Navier-Stokes existence and smoothness, 3) Yang-Mills existence and mass-gap, are contained in some works ([62, 70, 74, 77, 78, 80, 81], [39, 42, 45, 46, 63, 74], [54, 60, 69, 71, 75, 76],) quoted below in ”Publications”. (For more details see also CV and works quoted there.)

Ahhhh, que también tiene usted soluciones de la conjetura de Poincaré, las ecuaciones de Navier-Stokes y la existencia de Yang-Mills y el salto de masa…comienzo a entender…

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

28 Comentarios

  1. He leído su currículum y no entiendo cómo ha podido cometer los errores que comentas.

    Mi sospecha es que el problema no es tanto su formación, como su edad: nació en 1942.

    Esto es, tiene 70 años.

    En todo caso, no tardarán mucho en aparecer comentarios en foros de matemáticas señalando los errores que contiene su artículo.

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  2. Samuel Dalva, pienso que la edad no es la causa, ya que algunos de los trabajos donde dice haber resuelto otros problemas gordos son de hace más de 10 años.

    Antonio Rojas, vaya, no conocía ese significado de la frase. Gracias por comentarlo :).

    Pedro, pues sí, podría ser :).

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  3. No sé que tal andara el nivel del personal docente universitario en Italia, pero aquí, en España, ser profesor en una universidad no es prueba de nada.

    Yo tuve un profesor, en segundo de carrera, que cuando “resolvía” un problema, era todo una cadena de errores hasta llegar sorprendentemente al resultado correcto (que por supuesto, sabía de antemano). De teoría de la señal no tenía ni idea, pero era todo un virtuoso haciendo trampas, eso tengo que reconocérselo,

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  4. Después del resultado de T. Tao “Every odd integer larger than 1 is the sum of at most five primes”, de febrero de 2012, se puede citar al menos un avance importante en relación con la conjetura ternaria de Golbach. Se trata del impresionante trabajo del matemático Harald Helfgott, nacido en Perú y actualmente trabajando en Francia, titulado “Minor arcs for Goldbach’s problem” (v. http://arxiv.org/abs/1205.5252 con fecha 23 de mayo de 2012).

    Los resultados de Harald nos acercan a la demostración incondicional de la versión ternaria cuyo enunciado sería “Todo número impar mayor que 1 es la suma de a lo sumo tres primos”. En palabras de Harald: “The least one can say is that the problem is now mortally wounded, and that the way it is finished off is now in part a matter of expediency and in part a matter of taste. ”

    Otra lectura interesante relacionada es la entrada titulada “Heuristic limitations of the circle method” en el blog de Tao (http://terrytao.wordpress.com/2012/05/20/heuristic-limitations-of-the-circle-method/) publicada el 20 de mayo 2012. En ella Tao explica con detalle las dificultades que impiden usar el método del círculo para probar la conjetura (binaria) de Golbach. Termino con una cita de esta entrada:

    “In view of the above conclusions, it seems that the best one can hope to do by using the circle method for the twin prime or even Goldbach problems is to reformulate such problems into a statement of roughly comparable difficulty to the original problem, even if one assumes powerful conjectures such as the Generalised Riemann Hypothesis (which lets one make very precise control on major arc exponential sums, but not on minor arc ones). These are not rigorous conclusions – after all, we have already seen that one can always artifically insert the circle method into any viable approach on these problems – but they do strongly suggest that one needs a method other than the circle method in order to fully solve either of these two problems. I do not know what such a method would be, though I can give some heuristic objections to some of the other popular methods used in additive number theory (such as sieve methods, or more recently the use of inverse theorems); this will be done at the end of this post.”

    Saludos, Rafael Tesoro

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  5. No me parece bien tirar por tierra y poner contra las cuerdas a alguien por dedicarse a algo tan difícil como demostrar la conjetura de Goldbach y fallar en el intento. No estaríamos diciendo lo mismo de él si la demostración hubiera sido correcta, pero no nos engañemos, se publicarán muchos intentos infructuosos de demostración antes de que se llegue a la correcta (o la demostración de que no es correcta, o de que es indecidible): se trata de no asustar a quien vaya a publicar la demostración correcta. Si atacamos a todo aquel que lo intenta, al final se generará miedo a intentar demostrarla.

    Yo sigo apoyando a la gente que se equivoca más que a la que se queda sentada en su cátedra dando clase sin dar palo al agua, a quienes tratan de hacer cosas grandes en vez de perder el tiempo, porque sin esas personas no habría ciencia. Este señor se ha equivocado, pero , al menos, lo ha intentado, y lo que debemos buscar es que lo siga intentando y no que se jubile ya —como han insinuado algunos por ahí arriba—; atacar a alguien por su edad en pleno siglo XXI me parece una majadería irrespetusosa. Muchos grandes matemáticos han hecho importantes aportaciones en su vejez (Arquímedes o Euler nunca dejaron de escribir hasta que murieron). ¿Por qué no va a poder ser así con este hombre o con cualquier otro en una época en la que llegar a los 90 años no es tan raro como antes? La falta de respeto a los ancianos es la peor, la más inhumana, porque todos lo seremos algún día y no querríamos que la gente simplemente esperara de nosotros chaladuras propia de “nuestra edad por el Alzhéimer y tal”. Mientras uno sigue vivo puede seguir aportando cosas, opinar lo contrario es gerontofobia. ¿Qué hacemos con los inútiles ancianos? ¿Los matamos para que no publiquen trabajos erróneos y gasten nuestros alimentos? ¿Los encerramos? Este párrafo es una crítica al comentario de Samuel Dalva.

    La demostración es incorrecta, pero no está bien hacer leña del árbol caído. Nadie que no haya intentado seriamente demostrar la conjetura de Goldbach debería tener derecho a atacar a Prástaro, es más, deberíamos tener un profundo respeto a su valentía por atreverse a atacar tal problema. Critiquemos el trabajos, que es bastante criticable y deficiente, pero no a la persona; nunca se debe criticar a quienes se atreven a hacer lo que otros ni si quiera se plantean, jamás, porque algunas veces consiguen lo que a otros nos parece imposible. Lo dicho, el trabajo está mal, es erróneo, pero ofrezco a Prástaro todo mi respeto (algo que perdería, por supuesto, si se tratara de una broma matemática de mal gusto).

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  6. Fractalon, ha interpretado mal mi comentario.

    No es un ataque, es solo mi opinión acerca de cuál puede haber sido la causa de que haya cometido unos errores tan obvios alguien que por su curriculum y trayectoria es evidente que tiene conocimientos amplios (y avanzados) de matemáticas y física. No se regala un doctorado en física-matemática, ni ahora, ni hace varias décadas. Yo, por ejemplo, no tengo el nivel suficiente para analizar el artículo en cuestión.

    Lo que quería indicar es que es muy difícil que una persona de 70 años siga en la brecha en estos temas, y que, lamentablemente, a edades avanzadas, los errores son más frecuentes.

    Eso sí, creo que sigue de profesor universitario, lo cual es muy meritorio.

    En ningún momento mi comentario ha tratado de ser despectivo.

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  7. Fractalon, sin pretender monopolizar los comentarios, y aunque es obvio, señalar que no he escrito en ningún momento nada parecido a “que se jubile”, “Alzhéimer”, “¿los matamos?”, etc. Todo ello son juicios de valor suyos, sin ninguna relación con respecto a mi opinión de que es muy difícil que con 70 años se hagan aportaciones geniales en el ámbito matemático.

    Exceptuando dichos prejucios, muy de acuerdo con el fondo y las ideas de su comentario.

    Un saludo cordial.

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  8. Fractalon, yo no he querido tirar por tierra ni poner contra las cuerdas a Prástaro. La cuestión no es que se haya confundido, que haya publicado una supuesta demostración con errores. La cuestión es que en su página dice haber resuelto tres problemas del milenio, además de la conjetura de Goldbach. Y sobre ésta última lo dice después de publicar una “demostración” en la que comienza diciendo “en este paper consideraremos al 1 como número primo”. Vamos, que cambia las reglas y busca las condiciones adecuadas para que le salgan las cosas. Eso no es un error sino algo interesando para apuntarse el tanto de la demostración. Eso es lo que me preocupa, sobre todo viniendo de un profesor universitario con muchos años de experiencia.

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  9. No esta tan mal. Ha intentado demostrar una variante de la conjetura.
    Todos los números pares se pueden expresar como suma de 2 primos
    o usando el 1. Claramente esta es más fácil pero no veo aún el error menciona
    el Blogger. Creo que Lo ha malinterpretado. El autor quería demostrar
    en el segundo párrafo la misma obviedad q el Blogger comenta.
    Ese párrafo no forma parte de la prueba.

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  10. Me parece que hay que tener en cuenta que desde la antiguedad hasta principios del siglo 20 el número 1 se consideró también como número primo debido a que estaba encuadrado dentro de la antigua definición que decía que los números primos son todos aquellos enteros positivos que son divisibles unicamente por la unidad y por si mismos. Sin embargo en la actualidad el 1 no es primo debido a que no encaja en la moderna definición que dice que los números primos son los enteros positivos que tienen unicamente dos divisores.

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  11. Los resultados que comenta Rafael tesoro son en verdad interesantes (los invito a que lean su comentario), realmente parece que el último resultado del genial Tao es una auténtica aproximación a la prueba.

    Por cierto que gran post este un gran análisis, ha y hablando de post buenos el de las limitaciones del método del círculo que señala Tao es sorprendente y por primera vez en mi vida he tenido contacto con la dificultad de la demostración (fuera de las leyendas que se cuentan al rededor de esta), y vaya que deja perplejo las complicaciones del problema, estoy asombrado.

    Y por último comentar que esta conjetura es bellísima (perdón el infinitivo) pero es cautivadora a más no poder…

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  12. Quisiera plantear una duda debida a mi falta de información.
    Goldbach comunicó a Euler su conjetura a mediados del XVIII, época en la que el 1 era aceptado como primo. ¿Sería para él válida la descomposición 12 = 11 + 1?
    Al cambiar la definición de primo en el siglo XX la conjetura fuerte original podría escribirse así: Todo par puede expresarse como suma de dos primos o como suma de un primo más 1. Al enunciado actual habría que llamarlo Conjetura extrafuerte de Goldbach.
    No he encontrado una reproducción de la carta original así que no se si Goldbach utilizó la expresión “Todo primo…” o “Todo primo mayor que 2…”.
    Este punto aclararía si, en contra de la opinión reinante en su época, Goldbach ya excluía el 1 de entre los primos.

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  13. Parece, a la vista del comentario anterior, que tenemos tres conjeturas de Golbach por demostrar. Conseguir cualquiera de ellas sería un importante adelanto.
    Al señor Prástaro, o a cualquier otro candidato a resolver el problema, deberíamos permitirles que en su preámbulo admitan la primalidad de 1 si consiguien demostrar, sin otros errores, la conjetura fuerte original de Goldbach, es decir demostrar la extrafuerte para todos los números pares que no sean de la forma p + 1, y dejar para otros planteamientos la demostración de la extrafuerte tal como se define hoy día.

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  14. La sucesión formada por el 1 junto con los números primos se denomina sucesión de números no-compuestos (the noncomposite numbers): 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13,…

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  15. Finalmente he dedicado un rato a leer tanto el artículo del Sr. Prástaro como el post de David Lowry en el que analiza de forma muy pedagógica y sencilla la “demostración”.

    En resumen:

    Hay dos puntos básicos en la “demostración”.

    PUNTO#1: El número 1 se considera primo.

    Démoslo por válido, en el sentido de que se trata de demostrar la conjetura original de Goldbach (i.e. en la época en que el número 1 se tenía por número primo).

    PUNTO#2: La demostración se basa en el siguiente algoritmo de descomposición,

    2n = p1 + p2

    Algoritmo:

    1) tomamos como valor inicial de p1 el del primo más cercano a 2n.

    2) SI p2 es primo, ENTONCES: FIN.

    3) SI p2 no es primo, ENTONCES tomo como valor de p1 el siguiente primo más cercano a 2n. Ir a 2)

    Así, para demostrar la CG, basta con demostrar que está ASEGURADO que SIEMPRE es posible encontrar un p2 primo empleando el algoritmo indicado.

    Y aquí viene el primer error: en el caso de que lleguemos a que p1 = 1 (es decir, hayamos recorrido un montón de primos p1 sin encontrar un p2 que sea también primo), llegamos a que:

    p2 = 2n-1

    pero, según se afirma en la “demostración”, dicho número es PRIMO (para cualquier n).

    Es decir, CUALQUIER número IMPAR es primo.

    Lo cual evidencia que la demostración tiene un error.

    David Lowry nos lo señala: el error radica en el último punto de la demostración, en la cual se aplica una propiedad de la suma “normal” a una suma “modular”.

    Parece que la CG seguirá esperando.

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  16. I was very happy to follow links to this blog, as I hadn’t come across it before but it seems great! I hadn’t realized that he also has “proofs” of some of the millenium problems. How do you say “crank” in Spanish?

    (Y trato de traducirlo a Español – disculpame): Me allegró cuando seguí ‘links’ a tu blog, por no lo conocí. Pero es increíble! No me he dado cuento que él támbien tiene ‘demonstraciones’ de unos de los problemas milleniales. ¿Cómo se dice ‘crank’ en Español?

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  17. Quiero decir una gilipollez………y si considerasemos al numero 1 como primo, como hacian los antiguos? Aun no hay respuesta a ese enigma….quiza no partamos de una buena base?…Podemos estar equivocados….no entiendo mucho…pero personalmente considero a los numeros primos como identidades singulares…algo mistico…quiza?

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  18. En el articulo original no dice “In this paper we consider 1 as primer number” sino “Even if in this paper we consider 1 as primer number, our proof the GC” luego el articulo no tiene errores, ya que se basa en un condicional, “si 1 es primo, la demostración es esa” eso es cierto.
    Por ejemplo, yo puedo decir que “si 1 = 2, puedo demostrar que yo soy el presidente de España” y eso no contiene errores.

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  19. Antonio Galan, “even if” significa “aunque”.
    Lo que dice el artículo es que “Aunque en este artículo consideramos 1 como número primo, nuestra prueba…”
    “Aunque”, no es condicional, sino concesiva. Significa que el hecho de no considerar el 1 como primo no afecta a la validez de la demostración.
    Luego si la demostración no es válida la frase es errónea.
    Tu ejemplo no me gusta demasiado:
    “Si A entonces B” no implica “Si no A entonces no B”.

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  20. Hay varias versiones. Por la fecha en que se publicó la entrada, la versión del “paper” de A. Prástaro era la v2, que es la que se comenta.

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  21. No quisiera ofender al señor Prástaro pero me parece que no rige bien. En su página, al final, se puede leer “más recientemente ha resuelto la conocida conjetura de Goldbach y los problemas de landau […] incluso más, la hipótesis de Riemann ha sido probada también” (WTF?¿?!!!) no sé, además su página personal está redactada en un estilo que podríamos definir como “Sokal style”. No sé si será la edad o qué, pero este señor se presenta como el gran genio de las matemáticas. ¿Alguien sabe de algún sitio donde pueda leer el artículo completo?

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