Un nuevo primo “titánico” y los primos de Proth: porque Mersenne “no está solo”

Hace unos días se conocía la noticia del descubrimiento de un nuevo número primo por parte de John Perretta, profesor de informática del Broward College. El número primo en cuestión es el siguiente:

4737 \cdot 2^{985810}+1

y tiene cerca de 300000 cifras (y no 30 millones como decía la noticia en su redacción inicial). Si estáis interesados en ver este número primo con todas sus cifras lo tenéis aquí.

Algunas curiosidades sobre esste número primo:

  • El profesor Perretta utilizó para calcularlo un “superordenador casero” con 3076 procesadores que construyó él mismo.
  • Comprobó unos 625000 números “potencialmente primos” hasta llegar a éste, cada uno de los cuales requirió el equivalente a entre 300 y 400 horas de cálculo.
  • El “superordenador” realizó 1,4 trillones de operaciones para comprobar que este número era primo. Y sigue funcionando, por lo que igual pronto nos vuelve a sorprender con otro descubrimiento.

Los primos como éste que tiene más de 1000 cifras en base 10 se denominan primos titánicos, denominación que data de los años 80 del pasado siglo XX, siendo Samuel Yates quien acuñó dicho nombre. En la actualidad el nombre está un poco desfasado, teniendo en cuenta que se conocen unos 10000 primos de más de 1000 dígitos en base 10 (en la época de Yates se conocían bien pocos).

¿Alguna otra característica de este número primo que sea interesante reseñar? Pues sí. Este número primo pertenece a un tipo de números primos denominados primos de Proth. Vamos a contar algunas cosas sobre estos números.

Los números de Proth son los números de la forma

P=k \cdot 2^n+1

donde k es un entero positivo impar y n es un entero positivo que cumple que 2^n > k. Los primeros números de Proth, A080075 en la OEIS, son:

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, 257, 289, 321 \ldots

Los números de Proth que a su vez son números primos se denominan, evidentemente, primos de Proth. Los primeros, A080076, son:

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, \ldots

Su denominación proviene del matemático François Proth, matemático autodidacta francés de la segunda mitad del siglo XIX que los estudió (y que, por cierto, también estuvo relacionado con la conjetura de Gilbreath, de la que hablamos hace unos días). Estos números de Proth son una generalización de los números de Fermat, para k=1, y de los denominados números de Cullen, para k=n.

Como podéis ver, el número protagonista de esta entrada es, además de primo, un número de Proth, el que corresponde a k=4737 y n=985810, cumpliéndose claramente también que 2^{985810} > 4737. Por tanto es un primo de Proth, uno más que se une a la lista de primos de Proth conocidos.

¿Se conocen muchos? Pues sí, unos cuantos (si los ordenamos de menor a mayor, el que ocupa el puesto 10000 tiene 10 cifras…), y algunos bien grandes. El mayor de ellos es

19249 \cdot 2^{13018586} + 1

que tiene la nada despreciable cantidad de 3918990 cifras y pasa por ser el mayor número primo conocido que no es un primo de Mersenne. Los 20 primeros primos de Proth atendiendo a su número de cifras son los que aparece en esta lista.

Y para finalizar, comentar que existe un teorema relacionado con la primalidad de los números de Proth. Es el siguiente:

Teorema de Proth:

Un número de Proth p es primo si y sólo si existe un número entero a para el que se cumple la siguiente condición:

a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 (\mbox{mod } p)

El resultado, posiblemente, es complicado de manejar, pero menos da una piedra.


En Microsiervos también hablaron sobre este descubrimiento hace unos días.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

3 Comentarios

  1. Otra forma de entender los números de Proth en base 2. Un número n es de Proth si, y sólo si, existe un natural h tal que:

    1) n tiene entre h+1 y 2h dígitos en base 2.

    2) Los últimos h+1 dígitos de n en base 2 son 100…01.

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  2. La última parte me recordó a los números de Carmichael. Hace una semana en una charla una matemática de la región nos habló de ellos y su contribución… ¿Se relacionarán?

    Saludos.

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