Un número perfecto impar debe tener al menos tres factores primos

Hace un tiempo propuse este problema sobre números perfectos. Nuestro amigo Domingo lo resolvió y nos propuso otro problema sobre este tipo de números:

Demostrar que si $N$ es un número perfecto impar entonces $N$ debe tener al menos tres factores primos

Parece claro que un camino coherente para llegar a la demostración es descartar que pueda tener uno o dos factores primos. Esa es la línea que se siguió en los comentarios de aquel post y es la que vamos a seguir aquí.

Un número perfecto impar no puede tener sólo un factor primo

edmond, otro de nuestros comentaristas, casi terminó de demostrar esta parte (podéis verlo aquí), aunque quien la remató fue Domingo. La vemos:

Supongamos que tenemos un número perfecto impar con sólo un factor primo, digamos $N=p^{\alpha}$ , con $\alpha \ge 1$ . Sus divisores serán los números $1,p,p^2, \cdots ,p^{\alpha}$ . Calculamos su suma con la fórmula de la suma de una progresión geométrica:

$1+p+p^2+ \cdots +p^{\alpha}=\cfrac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}$

Como $N$ es un número perfecto debe ser igual a la suma de sus divisores propios. Como entre los divisores que hemos tomado está también el propio $N=p^{\alpha}$ entonces esa suma será igual a $2N$ :

$\cfrac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}=2p^{\alpha} \Longrightarrow p^{\alpha+1}-1=2p^{\alpha}(p-1)=2p^{\alpha+1}-2p^{\alpha}$

Simplificamos y queda:

$2p^{\alpha}-p^{\alpha+1}=1 \Longrightarrow p|1$

Lo cual es absurdo ya que $p$ es un número primo impar y por tanto $p \ge 3$ . Por tanto ya tenemos demostrada la primera parte.

Pregunta: ¿dónde hemos usado que $N$ es impar?

Un número perfecto impar no puede tener sólo dos factores primos

Esta parte es algo más complicada que la primera. Yo lo estuve intentado. De hecho mandé varios mails con posibles demostraciones a Domingo, pero por desgracia todas contenían algún error. Al final, aunque yo ya había avanzado bastante, tuvo que terminarla él. Aquí os dejo su demostración:

Sea $N=p^rq^s$ un número perfecto impar con sólo dos factores primos, $p$ y $q$ . Estos factores primos deben ser ambos impares ya que si alguno de ellos fuera par el propio $N$ lo sería. Los divisores de $N$ (incluyendo al propio $N$ ) son:

$1,p,p^2, \cdots ,p^r$ , $q,q^2, \cdots ,q^s$ , $qp,qp^2, \cdots ,qp^r$ , $q^2p,q^2p^2, \cdots ,q^2p^r$ , … , $q^sp,q^sp^2, \cdots ,q^sp^r$ . Su suma (después de algunos cálculos) queda:

$S=(1+p+p^2+ \cdots +p^r)(1+q+q^2+ \cdots +q^s)$

Al ser $N$ un número perfecto la suma de sus divisores propios es igual al propio número. Como en los anteriores hemos incluido a $N$ tenemos que la suma anterior es igual a $2N$ . Esto es:

$S=(1+p+p^2+ \cdots +p^r)(1+q+q^2+ \cdots +q^s)=2p^rq^s$

Dividimos entre $p^rq^s$ convenientemente:

$\cfrac{(1+p+p^2+ \cdots +p^r)}{p^r} \cdot \cfrac{(1+q+q^2+ \cdots +q^s)}{q^s}=2$
Dividiendo queda:

$\displaystyle (1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+ \cdots +\frac{1}{p^r})(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+ \cdots +\frac{1}{q^s})=2$

Ahora, $p$ y $q$ son dos números primos impares distintos. Podemos suponer entonces sin pérdida de generalidad que $p \ge 3$ y $q \ge 5$ con $p<q$ . Acotamos entonces las dos expresiones anteriores así:

$\displaystyle{(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+ \cdots +\frac{1}{p^r})\le(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+ \cdots +\frac{1}{3^r})=\sum_{i=1}^r{\left ( \frac{1}{3} \right )^i}<\sum_{i=1}^\infty {\left ( \frac{1}{3} \right )^i}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}}$ $\displaystyle{(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+ \cdots +\frac{1}{q^s}) \le (1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+ \cdots +\frac{1}{5^s})=\sum_{i=1}^s{\left ( \frac{1}{5} \right )^i} < \sum_{i=1}^\infty {\left ( \frac{1}{5} \right )^i}=\cfrac{1}{1- \frac{1}{5}}=\cfrac{5}{4}}$

Tendríamos entonces $\displaystyle{2<\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4}=\frac{15}{8}<2}$ , lo cual es claramente absurdo. Por tanto un número perfecto impar no puede tener sólo dos factores primos. Con esto concluye la demostración.

Pregunta: ¿es válida una demostración de este estilo si lo que queremos comprobar es que un número perfecto impar debe tener al menos cuatro factores primos? ¿Por qué?

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 24 de Septiembre de 2007
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Categorías: Demostraciones, Números enteros, Números primos | Imprime este post

12 comentarios

Domingo HA | 24 de Septiembre de 2007 | 20:25

Hola ^DiAmOnD^, hay un pequeña errata en el post.

En el primer apartado, donde dice: “Como N es un número perfecto debe ser igual a la suma de sus divisores propios. Como entre los divisores que hemos tomado está también el propio $N=p^{\alpha}$ entonces esa suma será igual a N”

debe decir lo mismo salvo al final, que es $2N$ .
^DiAmOnD^ | 24 de Septiembre de 2007 | 20:32

Ups, cierto. Ya está corregido. Gracias Domingo.
Mithril | 25 de Septiembre de 2007 | 2:47

Para demostrar que no puede tener sólo un factor primo, ¿no es más fácil, si suponemos que N es perfecto y tiene sólo un divisor primo,
N = p^a = p^(a-1)+p^(a-2)+…+p +1
N = p[p^(a-1)] = p[p^(a-2)+p^(a-3)+...+1] +1
? Asi se tiene un absurdo, p*m=p*n+1 no se cumple en estas condiciones.
Saludos.
Reginleif Lyserg.- | 25 de Septiembre de 2007 | 3:11

Disculpen que me desvie del ema, pero necesito ayuda…

es para un taller de la u…

“Sea f una funcion definida en todo eje real, con derivada f´ que satisface la ecuacion
f´(x)=c*f(x)
para todo x, donde c es una constante. Probar que existe una constante K talque f(x)=k*e^(cx) para cada x.
Considerar g(x)= f(x)*e^(-cx)

se me pasaron dos ideas por la mente, pero las descarte de inmediato porq les encontre errores enormes, ademas, me llevaban muy lejos de lo original, y soy malisimo para este tipo de ejercicios…

grax de antemano…
primera y unica vez q desvio un tema…
fede | 25 de Septiembre de 2007 | 12:18

La demostración extendida al caso de 3 primos no valdría porque el producto de 3 factores de la forma p/p-1, p primo, sí puede ser mayor que 2.

Pero sólo lo puede ser si uno de los primos es el 3, otro es el 5 y el tercero es el 7 o el 11 o el 13.
Descartando estos posibles casos se podría demostrar que un perfecto impar no puede ser divisible por sólo 3 primos…
fede | 25 de Septiembre de 2007 | 14:47

Usando que:
(1) Un múltiplo de un número abundante es abundante. (Un número es abundante si la suma de los divisores propios es mayor que el número.)
y
(2) Si n es un número perfecto impar, entonces $n=p^am^2$ donde p es un primo y $p \equiv a \equiv 1 \pmod{4}$

podemos demostrar que 105 = 3*5*7 no puede dividir a un número n si es perfecto impar.
Porque si 105 divide a n, por (2) en la descomposición en factores primos de n el 3 y el 7 están elevados a potencia par y por tanto 3^2 * 5 * 7^2 = 2205 divide a n. Pero 2205 es abundante y por (1) también lo sería n, que entonces no sería perfecto.

Por tanto un número de la forma 3^a * 5^b * 7^c no puede ser perfecto,

(1) y (2) también son útiles para descartar los casos (3,5,11) y (3,5,13)

Las proposiciones anteriores están propuestas como ejercicios en el libro de Rosen,”Elementary Number Theory and Its Applications”.
^DiAmOnD^ | 25 de Septiembre de 2007 | 20:37

Reginlefi calcula la derivada de $g(x)$ y aplica la condición sobre $f(x)$ que te da el ejercicio. Luego interpreta el resultado de la derivada y ejercicio resuelto.
Lyserg Reginleif.- | 26 de Septiembre de 2007 | 0:27

Muchas gracias!.-
Acid | 1 de Noviembre de 2007 | 21:00

“Pregunta: ¿es válida una demostración de este estilo si lo que queremos comprobar es que un número perfecto impar debe tener al menos cuatro factores primos? ¿Por qué? ”

Porque al final sería: p, q, r mayores o iguales que 3, 5 y 7 respectivamente.
Y 2 menor que 3/2 * 5/4 * 7/6 = 105/48 = 2,1875

Luego no se llega a contradicción.

Me ha parecido curioso lo que he leido en la Wikipedia:

“No se conoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, existen algunos resultados parciales. Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10300, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de esos factores debe ser mayor que 107, dos de ellos deben ser mayores que 10.000 y tres factores deben ser mayores que 100.”
Omar-P | 2 de Noviembre de 2007 | 0:23

Acid: Wiki dice mayor a 10^300.
Acid | 2 de Noviembre de 2007 | 1:01

sí, corrijo:
“Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10^300, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de esos factores debe ser mayor que 10^7″

al copiar y pegar, como estaba en HTML, se perdieron las operaciones de potencias
Trackback | 2 Ene, 2008

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